例1.ΔABC中，∠ACB=120°，AB=3，則ΔABC周長(zhǎng)的最大值為       。

法一：觀察聯(lián)想、猜測(cè)推理

在班級(jí)出示這道題給學(xué)生后，有的學(xué)生迅速猜出了答案：當(dāng)AC=BC時(shí)，周長(zhǎng)為3+2√3應(yīng)該是最大值。

我提醒學(xué)生：猜想可以，但不是瞎猜，要有合理的邏輯，你是怎樣判斷和推理的？

判斷依據(jù)：根據(jù)軌跡定位法，由定線對(duì)定角知C點(diǎn)在圓弧上運(yùn)動(dòng)，觀察可知，當(dāng)C與A、B重合時(shí)AC+BC=3為最小，在弧上運(yùn)動(dòng)時(shí)變大，并且周長(zhǎng)的變化是對(duì)稱的，所以畫成函數(shù)圖像周長(zhǎng)的變化趨勢(shì)應(yīng)該是這個(gè)樣子滴：

這樣就可以合理地推測(cè)，當(dāng)C在弧的中點(diǎn)時(shí)（或在AB的垂直平分線上）ΔABC的周長(zhǎng)最大。

法二：幾何變換

AB為定值先撇開不看，則AC+BC最小即可，如何得到AC+BC呢？咱們?cè)跁峡偨Y(jié)了，線段和差用截補(bǔ)呀！在AC延長(zhǎng)線長(zhǎng)截CP=BC，則∠APB=60°為定角，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是圓弧，轉(zhuǎn)化為定點(diǎn)A到定圓的最大路徑，AP過圓心即可（即AP為直徑時(shí)）。

法三：代數(shù)運(yùn)算

如圖，構(gòu)造直角三角形利用勾股定理得：a2+b2+ab=9，得9-3ab=(a-b)2≥0，ab≤3，所以(a+b)2=9+ab≤12，a+b的最大值為2√3。

由以上策略解決下面這道題就可以手到擒來了：正方形ABCD邊長(zhǎng)為4，正方形EFGH頂點(diǎn)在正方形各邊，則正方形EFGH的面積最小為        。

（1）從變化趨勢(shì)看，當(dāng)E點(diǎn)從D到A運(yùn)動(dòng)時(shí)，正方形EFGH的面積由大變小再變大，E點(diǎn)在AD中點(diǎn)時(shí)面積最大，是正方形ABCD面積的一半為8。

（2）用幾何方法：正方形EFGH面積為1/2EG2，EG最小為平行線間距離為4，得面積為8。

（3）用代數(shù)方法：設(shè)AE=x，面積S=x+(4-x)2，得最小值為8。

例2.如圖，∠MON=90°，邊長(zhǎng)為2的等邊三角形ABC的頂點(diǎn)A、B在線段OM、ON上滑動(dòng)，求OC的最大值。

法一：動(dòng)中尋定，以靜制動(dòng)

AB是直角三角形AOB的斜邊為定值，則斜邊上中線OP為定值，構(gòu)造ΔOCP可得OC≤OP+CP=1+√3，所以O(shè)C最大值為1+√3。

法二：動(dòng)靜互換，軌跡定位

運(yùn)動(dòng)是相對(duì)的，讓三角形ABC不動(dòng)，則O點(diǎn)在以AB為直徑的圓弧上運(yùn)動(dòng)，轉(zhuǎn)化為定點(diǎn)C到圓弧的最長(zhǎng)路徑，OC過圓心即可。

有了這個(gè)策略，下面這2題便可以秒解了（提示與答案在文末）：

練習(xí)1.已知點(diǎn)P（0，2√3），等邊ΔABC邊長(zhǎng)為2，BC邊在x軸上滑動(dòng)時(shí)，PA+PB的最小值為       。

練習(xí)2.如圖，已知ΔABC中，∠BAC=120°，AB=AC，AD⊥BC，將ΔABC沿AD剪開，得到ΔADB和ΔAEC，保持ΔAEC不動(dòng)，將ΔABD繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α°（0<α<360），當(dāng)BE=DE時(shí)，則旋轉(zhuǎn)角α=       。

例3.在菱形ABCD中以B為頂點(diǎn)作等腰ΔBEF，∠EBF+∠ABC=180°，G為AF的中點(diǎn)，求證：CE=2BG。

這里的線段AD、CD是無關(guān)緊要打醬油的角色，有無對(duì)問題毫無影響，我們依“簡(jiǎn)單化”原則用個(gè)“減”法把它們刪掉。題中的可供推理和嘗試的線索很明顯，一是“G是AF的中點(diǎn)”，可構(gòu)造“A”形或“X”形基本圖，二是“∠EBF+∠ABC=180°”，可作其中一角的鄰補(bǔ)角便與另一角相等，三是“BA=BC，BE=BF”，可以聯(lián)想雙等腰“手拉手”模型。

如此，下面的圖形就不難構(gòu)造了：

構(gòu)造1.

構(gòu)造2.

構(gòu)造3.

構(gòu)造4.

這里我們是從“完形構(gòu)造”的角度思考，關(guān)于中點(diǎn)最常用的基本圖形是“A形”和“X形”，“A形”構(gòu)造方法實(shí)質(zhì)是把其中一個(gè)三角形以端點(diǎn)為中心放大一倍或縮小一半，“X形”構(gòu)造方法實(shí)質(zhì)是以中點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心把其中一個(gè)三角形旋轉(zhuǎn)180度，這樣操作之后自然就可以看出證明的思路和方法。還記得書中一題“已知兩邊求第三邊上中線的取值范圍”的六種構(gòu)造方法嗎？如圖，已知ΔABC中，AB=5，AC=2，求中線AD的取值范圍。

我們的上述構(gòu)圖就是以不變應(yīng)萬變，貫徹構(gòu)造基本圖形這一通用策略，抓住縮放和旋轉(zhuǎn)這一常用方法，輔助線作法就可以信手拈來左右逢源，可見掌握解題的思維策略是多么地重要。