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初一數(shù)學(xué)培優(yōu)6:乘法公式的正應(yīng)用與逆應(yīng)用 尖子生培優(yōu)訓(xùn)練

 磊jkkl 2019-06-24

數(shù)學(xué)思想方法是在數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)過程中,形成具有獨(dú)特的解決問題的策略和方法.?dāng)?shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)是數(shù)學(xué)思想方法形成的基礎(chǔ),而數(shù)學(xué)思想對數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)、理解以及解決問題具有指導(dǎo)意義.

本講主要學(xué)習(xí)幾個重要的數(shù)學(xué)思想:“正”、“逆”互化、歸納類比、整體代入、分類討論、配方構(gòu)造、待定系數(shù)的數(shù)學(xué)思想方法.

一、核心知識

初一數(shù)學(xué)培優(yōu)6:乘法公式的正應(yīng)用與逆應(yīng)用 尖子生培優(yōu)訓(xùn)練

二、例題解析

(一)、數(shù)學(xué)公式“正”與“逆”的應(yīng)用

  • 【例1】計算:

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【點(diǎn)撥】正向應(yīng)用多項(xiàng)式乘法公式,觀察每個乘積的結(jié)果,得出規(guī)律

【解答】

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【反思與小結(jié)】對于結(jié)論探究問題,一般利用“特殊——一般——特殊”的規(guī)律,觀察最初的結(jié)論,從而找到規(guī)律,再進(jìn)行證明。本例觀察最初的兩個等式或三個等式,猜想規(guī)律,再進(jìn)行證明。

  • 【舉一反三】計算與化簡:

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【點(diǎn)撥】對于(1)能否利用例1的結(jié)論進(jìn)行計算與化簡?對于(2)、(3)如何將其轉(zhuǎn)化成例1的形式從而應(yīng)用例1的公式進(jìn)行解答.

【解答】

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  • 【例2】

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【點(diǎn)撥】“分析法”要求的式子值,要對所求的式子進(jìn)行通分變形,也要對已知的式子進(jìn)行變形,變形成次數(shù)相同的式子,帶入解決。

【解答】

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【反思與小結(jié)】分析法主要是從結(jié)論出發(fā),逆向推理,通過分析要得到結(jié)論,需要怎樣的條件,從而逐步接近已知條件的分析過程。本例要得到,就要得到,觀察已知條件,怎樣得到?需要將與的兩邊分別次方和次方,從而得出解答。

  • 【例3】計算:

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【點(diǎn)撥】思考一:能否從一個因數(shù)開始逐步應(yīng)用“不完全歸納”進(jìn)行解答?

思考二:觀察每個因式的特點(diǎn),能否“正”或“逆”用平方差公式?應(yīng)用公式后根據(jù)每個因數(shù)的特點(diǎn)進(jìn)行解答?

【解答】

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【反思與小結(jié)】應(yīng)用不完全歸納法需要大膽猜想,小心驗(yàn)證與證明。本例既可以根據(jù)各因數(shù)的特點(diǎn)利用乘法交換律和結(jié)合律進(jìn)行組合解決,又可以利用不完全歸納法進(jìn)行歸納探究。

  • 【舉一反三(1)】

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【點(diǎn)撥】能否通過“正”或“逆”用公式化簡所求的代數(shù)式,然后再證明呢?這也是求代數(shù)式的值的常用辦法。

【證明】

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  • 【舉一反三(2)】如果m為整數(shù),試說明:m*5-m 能被30整除

【證明】

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(二)、利用整體思想化簡求值

  • 【例4】

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【點(diǎn)撥】“分析法”思考一:要求代數(shù)式的值,觀察已知條件,能否用含x的一次代數(shù)式分別表示出所求式子中的每一項(xiàng),再進(jìn)行化簡求解呢?這種“各個擊破”的方法是解決此問題的關(guān)鍵。

思考二:要求代數(shù)式的值,能否將已知的條件作為一個整體代入求解?這種整體代入的方法也是一種常用方法。

【解答】

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【反思與小結(jié)】對于含“零值多項(xiàng)式”的問題一般將要求代數(shù)式當(dāng)成被除式,“零值多項(xiàng)式”作為除式,將要求代數(shù)式寫成“被除式=除式×商式+余式”的形式,一般的余式為已知常數(shù)。從而得出解答。也可以根據(jù)“零值多項(xiàng)式”的特點(diǎn),用含多項(xiàng)式中字母的一次式表示高次式,采取逐步“降次代入”,從而得出解答。本例采用兩種方法均可。

  • 【舉一反三】

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【點(diǎn)撥】本題的解決策略與例4一樣,可以考慮“各個擊破”法。

【解答】

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(三)、“整體思想”、“待定系數(shù)法”的初步應(yīng)用

  • 【例5】

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【點(diǎn)撥】思考一:根據(jù)題意列出算式,能否根據(jù)對應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)相等解決問題?

思考二:能否用“方程、等式”的觀點(diǎn)分析解決?觀察得到的方程解有何特點(diǎn)?能否代入幾個特殊解進(jìn)行解答?

【解答】

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【反思與小結(jié)】解決多項(xiàng)式的整除、含因式問題一般有兩種解決策略。第一種:利用待定系數(shù)法寫成等式形式,利用對應(yīng)系數(shù)相等,解決問題;第二種:寫成等式形式,對于含未知數(shù)的等式看成方程,而這個方程有無數(shù)個解(每個數(shù)都是它的解),可以利用幾個特殊的數(shù)進(jìn)行解答。

  • 【例6】如果多項(xiàng)式能夠被整除,求的值

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【點(diǎn)撥】根據(jù)已知條件將其轉(zhuǎn)化成等式形式解答.

【解答】

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【反思與小結(jié)】本例既可以利用待定系數(shù)法又可以應(yīng)用等式方程法解答。

(四)、完全平方數(shù)的構(gòu)造與證明

  • 【例7】觀察一列數(shù):

49,4489,444889,44448889,4444488889,………,

這列數(shù)中的每個數(shù)是否是完全平方數(shù)?如果是,請說明它們是完全平方數(shù)的理由.

【點(diǎn)撥】觀察49=7*2,能否得到4489=( )2?作出猜想,思考如何表示這列數(shù)?如何證明它們是完全平方數(shù)?

【解答】

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【反思與小結(jié)】對于猜想驗(yàn)證或證明完全平方式的問題,一般采用字母表示要驗(yàn)證的式子,從而利用多項(xiàng)式的完全平方式解決問題。解答此類問題,主要注意的應(yīng)用。

(五)、整除問題的驗(yàn)證與證明(以下例題為選講內(nèi)容)

【例8】若m為正整數(shù),求證:m*3+11m必定能被6整除;

【點(diǎn)撥】“分析法”要證明能被6整除,只要證明能被2整除和能被3整除即可.

對于能被2整除,只要說明是偶數(shù)即可;對于能被3整除,則需要分類說明能被3整除,則問題解決.

【解答】

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【反思與小結(jié)】對于含m多項(xiàng)式能被具體數(shù)字n整除的問題的解決策略是分類討論,將m分成n類,分類討論,分別進(jìn)行證明,從而問題得證。

  • 【舉一反三】若正整數(shù)a、b、c滿足a*2+b*2=c*2,且a、b、c的最大公約數(shù)為1,

①試說明:a、b、c中至少有一個能被3整除;

②試說明:a、b、c中至少有一個能被5整除;

【點(diǎn)撥】要證明:a、b、c中至少一個能被3整除,不容易證明,能否假設(shè)a、b、c都不能被3整除,推出矛盾,從而說明a、b、c中至少一個能被3整除?進(jìn)一步思考:正整數(shù)a、b、c被3除的余數(shù)如何表示?有幾種情況?能否對每種情況分析討論?

同樣方法證明:a、b、c中至少有一個能被5整除;

【解答】

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【課后練習(xí)】①若a為奇數(shù),說明:a*2被8除的余數(shù)是1;

②利用①證明:若正整數(shù)a、b、c滿足a*2+b*2=c*2,且a、b、c的最大公約數(shù)為1,

試說明:a、b、c中至少有一個能被4整除;

三、積累與反思

本講主要學(xué)習(xí)了公式的“正”、“逆”的應(yīng)用以及歸納類比、整體代入、分類討論、配方構(gòu)造、待定系數(shù)的數(shù)學(xué)思想方法。關(guān)于多項(xiàng)式的理論中含有的數(shù)學(xué)思想方法比較廣泛,在進(jìn)行恒等式變形時,要注意應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法解決問題,從而提高解決問題的能力。

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