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已知一角和對(duì)邊,求周長、面積、高、中線、角平分線的取值范圍

 昵稱32901809 2019-05-12

在高中數(shù)學(xué)解三角形的解答題中,很多題的第二問是已知一角和對(duì)邊,求周長的取值范圍,或是面積、高、中線、角平分線的取值范圍

下面我們用一個(gè)例題來“攻克”這種題

已知一角和對(duì)邊,求周長、面積、高、中線、角平分線的取值范圍

第一問周長問題,利用正弦定理、余弦定理均可

用正弦定理將邊化為角,在結(jié)合三角恒等變換、輔助角公式、三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)可求值域(范圍)

如用余弦定理,則需要結(jié)合基本不等式、三角形三邊之間的大小關(guān)系

具體如下圖:

已知一角和對(duì)邊,求周長、面積、高、中線、角平分線的取值范圍

第二問面積問題:同樣是正弦定理、余弦定理均可用

如果只需要求最值而不是求取值范圍的話,用余弦定理結(jié)合基本不等式會(huì)更簡潔一些

已知一角和對(duì)邊,求周長、面積、高、中線、角平分線的取值范圍

第三問高的范圍:根據(jù)三角形的面積公式,轉(zhuǎn)化為面積問題即可

已知一角和對(duì)邊,求周長、面積、高、中線、角平分線的取值范圍

第四問中線范圍:可利用平面向量中的三角形中線的結(jié)論,然后平方,再化簡,也可利用中點(diǎn)作輔助線,比如中線倍長或中位線,最終也是轉(zhuǎn)化為面積問題求范圍

已知一角和對(duì)邊,求周長、面積、高、中線、角平分線的取值范圍

第五問角平分線問題,首先在兩個(gè)小三角形中使用正弦定理,在利用邊BC為定值,將AD表示成關(guān)于角B或是邊b,c的表達(dá)式,利用整體法,結(jié)合函數(shù)單調(diào)性可求出相應(yīng)的取值范圍

已知一角和對(duì)邊,求周長、面積、高、中線、角平分線的取值范圍

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