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選自《從一到無窮大》 G.伽莫夫著 張卜天譯 點擊圖片進入卜天譯館購買 神秘的 現(xiàn)在，我們來做點兒高級算術(shù)。二二得四，三三得九，四四一十六，五五二十五。因此，四的平方根是二，九的平方根是三，十六的平方根是四，二十五的平方根是五。[1] 但一個負數(shù)的平方根會是什么呢？ 如果你試圖以理性的方式來理解這樣的數(shù)，你一定會得出結(jié)論說，上述表達式?jīng)]有任何意義。我們可以引用12世紀(jì)的印度數(shù)學(xué)家婆什迦羅（Brahmin Bhaskara）的話：“正數(shù)的平方是正數(shù)，負數(shù)的平方也是正數(shù)。因此，正數(shù)的平方根有兩個：一個正的、一個負的。負數(shù)沒有平方根，因為負數(shù)不是平方數(shù)。” 但數(shù)學(xué)家都是固執(zhí)的人。如果有某個看上去沒有意義的東西不斷出現(xiàn)在其公式中，他們就會盡力為其賦予意義。負數(shù)的平方根顯然持續(xù)出現(xiàn)在各種地方，無論是過去的數(shù)學(xué)家所思考的簡單算術(shù)問題，還是20世紀(jì)在相對論框架內(nèi)將時間和空間統(tǒng)一起來的問題。 最早將負數(shù)的平方根這個看似沒有意義的東西寫到公式中的勇士是16世紀(jì)的意大利數(shù)學(xué)家卡爾丹（Cardan）。在討論是否有可能將10分成乘積等于40的兩部分時，卡爾丹表明，雖然這個問題沒有任何有理解，但如果把答案寫成5+ 和5- 卡爾丹雖然承認這兩個表達式?jīng)]有意義，是虛構(gòu)和想像的，但還是把它們寫下來了。 如果有人敢把負數(shù)的平方根寫下來，那么將10分成乘積等于40的兩部分的問題就迎刃而解了，盡管它們是虛構(gòu)的。一旦打破堅冰，負數(shù)的平方根，或如卡爾丹所稱的“虛數(shù)”，就越來越被數(shù)學(xué)家們頻繁使用了，盡管使用時總是很有保留，并且要找適當(dāng)?shù)慕杩凇?/span>在著名德國科學(xué)家歐拉1770年出版的代數(shù)著作中，我們看到了對虛數(shù)的大量運用。但作為緩和，他又加上了如下評論：“所有像 然而，盡管有這些毀謗和借口，虛數(shù)很快就成了數(shù)學(xué)中像分數(shù)或根式一樣無法避免的東西。如果不使用虛數(shù)，幾乎可以說寸步難行。 可以說，虛數(shù)家族代表著實數(shù)的一個虛構(gòu)的鏡像。正如我們從基本數(shù)1可以產(chǎn)生所有實數(shù)，我們也可以把 不難看出，
因此每一個實數(shù)都有自己的虛數(shù)搭擋。我們還能像卡爾丹起初所做的那樣把實數(shù)和虛數(shù)結(jié)合起來，組成像 闖入數(shù)學(xué)領(lǐng)域之后足足兩個世紀(jì)，虛數(shù)仍然被一張難以置信的神秘面紗包裹著，直到兩位業(yè)余數(shù)學(xué)家，即挪威的測量員韋塞爾（Wessel）和巴黎的簿記員阿爾岡（Robot Argand），最終對虛數(shù)做出了簡單的幾何解釋。 按照他們的解釋，一個復(fù)數(shù)，例如3＋4i，可以像在圖10中那樣表示出來，其中3對應(yīng)著水平距離，4對應(yīng)著垂直距離。 事實上，所有實數(shù)（無論是正是負）都可以用橫軸上的點來表示，所有純虛數(shù)都可以用縱軸上的點來表示。我們把一個實數(shù)（代表橫軸上的一個點）比如3乘以虛數(shù)單位i，就得到了位于縱軸上的純虛數(shù)3i。因此，一個數(shù)乘以i，在幾何上等價于逆時針旋轉(zhuǎn)90°。（見圖 10）。
圖10 如果把3i再乘以i，則須再旋轉(zhuǎn)90°，結(jié)果又回到了橫軸，不過現(xiàn)在位于負數(shù)那一邊。因此， 3i × i = 或
說“i的平方等于-1”遠比說“兩次逆時針旋轉(zhuǎn)90°便成反向”更容易理解。 當(dāng)然，同樣的規(guī)則也適用于混合的復(fù)數(shù)。把3＋4i乘以i，我們得到 （3 + 4i）i = 3i + 4 由圖10立即可以看到，-4 + 3i這個點對應(yīng)于3 + 4i這個點圍繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)90°。同樣，由圖 10也可以看出，一個數(shù)乘以-i不過是它圍繞原點順時針旋轉(zhuǎn) 90°罷了。 如果你仍然覺得虛數(shù)蒙有一層神秘的面紗，那就讓我們通過解決一個虛數(shù)有實際應(yīng)用的簡單問題來揭開它吧。 有一個喜歡冒險的年輕人，在他曾祖父的遺稿中發(fā)現(xiàn)了一張羊皮紙，上面透露了一個藏寶地點。它是這樣寫著的：
這些指令清楚而明確。于是，這位年輕人租了一條船駛往南太平洋。他找到了這座島，也找到了橡樹和松樹，但讓他大失所望的是，絞架不見了。此時距離寫下那份遺稿已經(jīng)過去太長時間，風(fēng)吹日曬雨淋已使絞架的木頭徹底腐爛，歸于泥土，當(dāng)初所在的位置一點痕跡也沒有留下來。 我們這位愛冒險的年輕人陷入了絕望。憤怒而狂亂的他開始在地上胡亂挖掘。但這個島面積太大了，他的所有努力都付諸東流。一無所獲的他只得返航。如今，那財寶可能還在島上埋著呢！ 這是一個不幸的故事，但更為不幸的是，如果這個小伙子懂點數(shù)學(xué)，特別是懂得如何運用虛數(shù)，他或許能夠找到財寶。現(xiàn)在讓我們?yōu)樗艺铱?，盡管對他來說已經(jīng)太晚了。
圖11 用虛數(shù)尋寶 把這個島看成一個復(fù)數(shù)平面。過兩樹的根畫出一軸（實軸），過兩樹的中點作另一軸（虛軸）與實軸垂直（見圖11）。取兩樹距離的一半作為我們的長度單位，于是可以說，橡樹位于實軸上的-1點，松樹位于+1點。我們不知道絞架在哪里，不妨用希臘字母Γ（這個字母的樣子倒像個絞架！）來表示它的假設(shè)位置。由于該位置并不一定在兩根軸中的某一軸上，所以應(yīng)把Γ看成一個復(fù)數(shù)，即 Γ = a + bi。 現(xiàn)在我們來做些簡單的計算，別忘了前面講過的虛數(shù)的乘法規(guī)則。如果絞架在Γ，橡樹在－1，則兩者的方位距離為 –1–Γ=–(1＋Γ)。 同樣，絞架與松樹的方位距離為1–Γ。根據(jù)上述規(guī)則，將這兩段距離分別沿順時針（向右）和逆時針（向左）旋轉(zhuǎn) 90°，就是把它們分別乘以–i和i，這樣便求出了我們打的兩根樁的位置： 第一根樁：(–i)[–(1＋Γ)] + 1= i(Γ + 1) + 1， 第二根樁：( +i)(1–Γ)－1= i(1–Γ)–1。 由于財寶在兩根樁的正中間，所以我們應(yīng)求出上述兩個復(fù)數(shù)之和的一半，即 1/2［i(Γ + 1) + 1 + i(1–Γ)–1］ =1/2 (iΓ + i + 1 + i–iΓ–1)= 1/2(2i) = i。 由此可見，Γ所表示的絞架的未知位置已經(jīng)從我們的運算過程中消失了。無論絞架在哪里，財寶都必定在+i這個點上。 因此，如果這個年輕人能做這么一點簡單的數(shù)學(xué)運算，他就無須在整個島上挖來挖去，而只要在圖11中打×的地方尋找財寶。 如果你仍然不相信，要找到財寶完全不需要知道絞架的位置，你可以在一張紙上標(biāo)記出兩棵樹的位置，再為絞架假設(shè)幾個不同的位置，然后按照羊皮紙上的指令去做。你將總是得到復(fù)數(shù)平面上對應(yīng)于+i的那個位置！ 通過運用-1的平方根這個虛數(shù)，我們還找到了另一項隱秘的財寶：我們驚訝地發(fā)現(xiàn)，普通的三維空間能與時間結(jié)合成受四維幾何學(xué)規(guī)則支配的四維空間。我們將在接下來的某一章討論愛因斯坦的思想和他的相對論，屆時會回到這一發(fā)現(xiàn)。 選自《從一到無窮大》 G.伽莫夫著 張卜天譯
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[1]其他許多數(shù)的平方根也很容易求出。例如
[2] [3]為保密起見，這里略去了文件上實際給出的經(jīng)緯度數(shù)字。 [4]出于與前面同樣的理由，這里也改變了樹的名稱。在熱帶的寶島上顯然會有其他各種樹木。 |
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