線段的垂直平分線與線段的兩種關系：位置關系——垂直，數量關系——平分，利用線段垂直平分線的性質可以求線段的長度、角的度數等，還可以解決實際生活中的選址問題等。今天我們將介紹幾種線段垂直平分線的應用。

應用一：應用線段垂直平分線的性質求線段的長

例1：如圖，△ABC中，AB、AC的垂直平分線交BC于點D、E，已知△ADE的周長為12cm，求BC．

【分析】先根據線段垂直平分線的性質得出AD＝BD，AE＝CE，再根據AD+DE+AE＝BD+DE+CE即可得出結論．

【解答】解：∵DF、EG分別是線段AB、AC的垂直平分線，

∴AD＝BD，AE＝CE，

∴AD+DE+AE＝BD+DE+CE＝BC，

∵△ADE的周長為12cm，即AD+DE+AE＝12cm，

∴BC＝12cm．

【點評】本題考查的是線段垂直平分線的性質，即線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等．

例2：如圖，已知AB比AC長3cm，BC的垂直平分線交AB于點D，交BC于點E，△ACD的周長是15cm，求AB和AC的長．

【分析】根據線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等可得CD＝BD，然后求出△ACD的周長＝AB+AC，再解關于AC、AB的二元一次方程組即可．

【解答】解：∵DE是BC的垂直平分線，

∴CD＝BD，

∴△ACD的周長＝AC+AD+CD＝AC+BD+AD＝AC+AB，

由題意得AB-AC=3,

AB+AC=15

解得：AB=9,AC=6

∴AB和AC的長分別為9cm，6cm．

【點評】本題考查了線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等的性質，解二元一次方程組，熟記性質并求出△ACD的周長＝AC+BC是解題的關鍵．

應用二：應用線段垂直平分線的性質求角的度數

例3：如圖，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，已知∠ADE＝40°，求∠DBC

【分析】根據線段垂直平分線求出AD＝BD，推出∠A＝∠ABD＝50°，根據三角形內角和定理和等腰三角形性質求出∠ABC，即可得出答案．

【解答】解：∵DE垂直平分AB，

∴AD＝BD，∠AED＝90°，

∴∠A＝∠ABD，

∵∠ADE＝40°，

∴∠A＝90°﹣40°＝50°，

∴∠ABD＝∠A＝50°，

∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠C＝65°，

∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝65°﹣50°＝15°，

【點評】本題考查了等腰三角形的性質，線段垂直平分線性質，三角形內角和定理的應用，能正確運用定理求出各個角的度數是解此題的關鍵，難度適中．

例4：如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分線交BC于D，連接AD．若AD將∠CAB分成兩個角，且∠CAD：∠DAB＝2：5，求∠ADC的度數．

【分析】由DE是AB的垂直平分線，根據線段垂直平分線定理得到AD＝BD，根據等邊對等角得到∠ABD＝∠BAD，又∠CAD：∠DAB＝2：5，可設∠CAD＝2x，∠DAB＝5x，根據直角三角形的兩銳角互余，可得∠CAD+∠DAB+∠ABD＝90°，列出關于x的方程，求出方程的解得到x的值，確定出∠DAB與∠ABD的度數，又∠ADC為三角形ABD的外角，根據三角形的外角等于與它不相鄰的兩內角之和，由∠DAB與∠ABD的度數之和即可求出∠ADC的度數．

解：∵DE是AB的垂直平分線，

∴AD＝BD，

∴∠BAD＝∠ABD，

∵∠CAD：∠DAB＝2：5，

設一份為x，即∠CAD＝2x，∠DAB＝∠ABD＝5x，

又∠C＝90°，

∴∠ABD+∠BAC＝90°，即2x+5x+5x＝90°，

解得：x＝7.5°，

∵∠ADC為△ABD的外角，

∴∠ADC＝∠DAB+∠ABD＝5x+5x＝10x＝75°

【點評】此題考查了線段垂直平分線定理，等腰三角形的性質，以及三角形的外角性質，要求學生借助圖形，多次利用等量代換的方法，達到解決問題的目的，同時對于比例問題，一般情況設每一份，表示出各角，利用三角形的內角和定理列出方程，進而求出各角的度數．

應用三：應用線段垂直平分線的性質解決實際問題

例5：某城區(qū)規(guī)劃局為了方便居民的生活，計劃在三個住宅小區(qū)A，B，C（如圖所示） 之間建購物商場，該購物商場建在何處才能使這三個住宅小區(qū)的居民到該購物商場距離相等？

（1）在圖中用尺規(guī)作圖確定購物商場的位置（簡述作法，并說明作圖依據）；

（2）證明你所確定的位置到三個住宅小區(qū)的距離相等．

【分析】（1）根據線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等，連接BC、AC，△ABC兩邊垂直平分線的交點就是花園的位置；

（2）利用垂直平分線的性質證明即可．

【解答】（1）解：連接AB，分別以A、B為圓心，大于AB為半徑畫弧，兩弧交于兩點，連接這兩點即是作AB的垂直平分線；

同理連接BC，作出BC的垂直平分線，兩條直線交于點P，則點P就是商場的位置；

（2）證明：如圖，

【點評】此題主要考查了應用設計與作圖，利用線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等的性質解決問題．

應用四：應用線段垂直平分線的性質判斷兩線的位置關系

例6：如圖，OE，OF分別是△ABC中AB，AC邊的中垂線（即垂直平分線），∠OBC、∠OCB的平分線相交于點I，試判定OI與BC的位置關系，并給出證明．

【分析】首先連接OA，過點I作IM⊥OB于點M，過點I作IN⊥OC于點N，過點I作IG⊥BC于點G，由OE，OF分別是AB，AC邊的中垂線，可得OA＝OB＝OC，又由∠OBC，∠OCB的平分線相交于點I，可得點I在∠BOC的角平分線上，然后由三線合一，證得結論．

【解答】解：OI⊥BC．

理由：連接OA，過點I作IM⊥OB于點M，過點I作IN⊥OC于點N，過點I作IG⊥BC于點G，

∵OE，OF分別是AB，AC邊的中垂線，

∴OA＝OB，OA＝OC，

∴OB＝OC，

∵∠OBC，∠OCB的平分線相交于點I，

∴IM＝IG，IN＝IG，

∴IM＝IN，

∴點I在∠BOC的角平分線上，

∴OI⊥BC．

【點評】此題考查了線段垂直平分線的性質以及角平分線的性質．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數形結合思想的應用．