University of Waterloo/Faculty of Engineering

 翼型，流體力學(xué)

故事要從1738年說(shuō)起，伯努力（Daniel Bernoulli，1700-1782）在這一年發(fā)現(xiàn)了著名的伯努力原理，并將其發(fā)表在自己的新書《水動(dòng)力學(xué)（Hydrodynamics）》上。伯努力原理描述了流體中的動(dòng)能和壓能之間存在著的巧妙平衡關(guān)系，即動(dòng)能越小，壓能越大。當(dāng)我們對(duì)一枚桌上的硬幣吹氣時(shí)，硬幣有時(shí)會(huì)跳起來(lái)，這種現(xiàn)象的產(chǎn)生就是由于氣流上下流速不同產(chǎn)生了硬幣上下表面的壓力差，這一壓差驅(qū)動(dòng)了硬幣的運(yùn)動(dòng)。從某種程度上說(shuō)，這個(gè)原理已經(jīng)可以用來(lái)解釋當(dāng)時(shí)的風(fēng)帆和風(fēng)車的動(dòng)力，甚至解析翼型動(dòng)力的來(lái)源問題。

但是伯努力并沒有找到這個(gè)原理的定量表述，于是他把自己的想法寫信寄給了在柏林科學(xué)院工作的自己的好朋（基）友歐拉（Leonhard Euler，1707-1783）。歐拉和伯努力是瑞士巴塞爾（Basel）大學(xué)的同學(xué)。同時(shí)伯努力的父親（Johann Bernoulli）是歐拉的大學(xué)老師，并曾經(jīng)勸說(shuō)歐拉從神學(xué)轉(zhuǎn)到數(shù)學(xué)研究。值得一提的是，從1726年開始，歐拉和伯努力保持著長(zhǎng)達(dá)42年的通信，通信內(nèi)容涉及了數(shù)學(xué)、力學(xué)和天文學(xué)中的各種難題。讀完伯努力的信之后，歐拉腦中想到解決這一問題的思路是將牛頓第二定律應(yīng)用到流體分析當(dāng)中，這在當(dāng)時(shí)是很超前的想法。

終于到了1752年，歐拉推導(dǎo)出了伯努力原理的一般表達(dá)式，并將其命名為伯努力方程式（Bernoulli’s Equation）。伯努力方程式成功地定量地描述了伯努力原理，但是它的缺點(diǎn)也是顯而易見的，即這個(gè)方程式只能描述流體沿著流線的變化規(guī)律，而復(fù)雜幾何體周圍的流線也是異常復(fù)雜的，所以很難通過這一方程求解一般幾何體的受力問題。

但是歐拉很快就發(fā)現(xiàn)了這一問題，并于1757年獲得了伯努力方程的更廣義的形式，即歐拉方程組（Euler Equations），而這個(gè)通信中誕生的方程組，竟在無(wú)意中打開了理想流體力學(xué)（Idealfluid Mechanics）的大門。嚴(yán)格來(lái)說(shuō)，歐拉方程組只包含兩個(gè)方程，一個(gè)動(dòng)量守恒方程和一個(gè)質(zhì)量守恒方程，寫在紙上不過是四五英寸長(zhǎng)（張量形式）。而就是這個(gè)四五英寸長(zhǎng)的公式，卻包含了從阿基米德（Archimedes）到當(dāng)時(shí)（1757）近兩千年人類的流體力學(xué)的所有知識(shí)，充分地體現(xiàn)了物理學(xué)的簡(jiǎn)潔美。而遺憾的是，歐拉方程組在提出之時(shí)是沒有辦法求解的，即使是歐拉自己也沒有獲得這個(gè)方程組的一般解。1783年，歐拉病逝在俄羅斯圣·彼得堡（Saint Petersburg）的家中，去世那一刻，他的案頭還放著關(guān)于熱氣球升空計(jì)算的手稿——也是一道流體力學(xué)問題。就像那首歌里唱的，他不知疲倦地翻越一座座山丘，未能如愿見到不朽，而自己卻先成了不朽。

在十八世紀(jì)末期的研究當(dāng)中，人們漸漸發(fā)現(xiàn)歐拉方程組可以拆分成兩個(gè)更簡(jiǎn)潔的方程式進(jìn)而分別求解，即上文提到的著名的伯努力方程（Bernoulli’s Equation）和大名鼎鼎的拉普拉斯方程（Laplace’s Equation, 1799）。人們對(duì)伯努力方程的研究已經(jīng)很清楚了，所以求解歐拉方程的關(guān)鍵就指向了拉普拉斯方程的求解。

幸運(yùn)的是，法國(guó)數(shù)學(xué)家拉普拉斯（Pierre-Simon, marquis de Laplace，1749-1827）在提出這組方程的時(shí)候已經(jīng)指出了方程的解是一種特殊的函數(shù)，即調(diào)和函數(shù)（Harmonic Function）。同時(shí)他還指出所有拉普拉斯方程的看似復(fù)雜的解空間其實(shí)是由幾種調(diào)和函數(shù)線性疊加而成的，這就像我們可以用簡(jiǎn)單的幾個(gè)音符去構(gòu)造豐富多彩的大型樂章。根據(jù)這一思想，科學(xué)家們通過復(fù)變函數(shù)理論（Complexfunction Theory）作為工具求解了拉普拉斯方程，從而順利地將關(guān)于圓柱繞流的歐拉方程解決了。這里插一句，拉普拉斯有句名言說(shuō)：“讀懂歐拉，讀懂歐拉，他是我們所有人的老師”，而歐拉方程的求解又將兩個(gè)人的名字暗暗的緊緊地聯(lián)系到了一起。根據(jù)這一方法，人們又進(jìn)一步求解了關(guān)于球體和橢球體的受力，但是此時(shí)對(duì)任意復(fù)雜的封閉幾何體的求解，依然缺乏行之有效的方法。

轉(zhuǎn)折點(diǎn)發(fā)生在近一個(gè)世紀(jì)后，還是在沉睡著歐拉的俄羅斯土地，數(shù)學(xué)家茹科夫斯基（Nikolay Yegorovich Zhukovsky，1847-1921）在復(fù)變函數(shù)的基礎(chǔ)上提出了保角變換（Conformal Mapping）的概念，這一變換可以將復(fù)雜的幾何體轉(zhuǎn)換成為另一空間里面的圓柱體。這就像兩個(gè)平行世界，兩個(gè)世界中的所有元素是一一對(duì)應(yīng)的，但是形態(tài)卻是完全不同的。而經(jīng)過保角變換，物理空間內(nèi)的復(fù)雜的幾何體都可以被簡(jiǎn)化成為另一空間上的偏心圓柱，而人們對(duì)圓柱繞流的研究工作在上個(gè)世紀(jì)剛好已經(jīng)完成了。依據(jù)這一方法，他進(jìn)一步推導(dǎo)出了著名的茹科夫斯基升力定理（Joukowsky Theorem），定理描述了任意幾何體受的流體作用力和來(lái)流速度矢量與物面速度環(huán)量（速度沿著物面的線積分）之間的外積成正比，從伯努力開始，歷經(jīng)兩個(gè)世紀(jì)，這一定量表達(dá)式終于被發(fā)現(xiàn)了。令人驚嘆的是這一公式的證明是如此優(yōu)雅，而結(jié)論又是如此簡(jiǎn)潔！接下來(lái)只要確定速度環(huán)量，人們就可以方便的計(jì)算出翼型的受力，從而設(shè)計(jì)翼型，我們?nèi)钡氖且粋€(gè)定解條件。

到了1910年，這個(gè)定解條件被茹科夫斯基和德國(guó)數(shù)學(xué)家?guī)焖∕artin Kutta，1864-1944）分別獨(dú)立地發(fā)現(xiàn)了（總有一個(gè)人和你遙遠(yuǎn)的心心相?。?。而后第一批真正意義上的現(xiàn)代翼型出現(xiàn)了（茹科夫斯基翼型，如圖二所示）。值得一提的是，茹科夫斯基還在俄國(guó)主持建造了世界上第一座風(fēng)洞，而翼型的發(fā)展也開始走上了快車道。

圖二：茹科夫斯基翼型。

在這一階段，人們將理論分析成果與風(fēng)洞試驗(yàn)成功地相結(jié)合，翼型的設(shè)計(jì)理論也逐漸完善了起來(lái)，而關(guān)于翼型的規(guī)律都凝結(jié)在了如下圖三左圖所示的升力曲線當(dāng)中。曲線的橫軸代表翼型的可調(diào)范圍（攻角），縱軸代表了翼型的出力（升力）。

圖三：NACA翼型升阻力曲線。

在這期間人們也逐漸認(rèn)識(shí)到：1.翼型的弧度有利于提高翼型的最大出力；2. 翼型的厚度可以增加其可調(diào)范圍（失速攻角增加，圖三中峰值對(duì)應(yīng)的橫軸位置右移）。這兩個(gè)特點(diǎn)（弧度和厚度）都體現(xiàn)在了當(dāng)時(shí)最有名的哥廷根翼型（G?ttingen Airfoils，見圖四）當(dāng)中。

圖四：哥廷根翼型。

在這期間最有趣的一個(gè)翼型是Clark Y翼型，該翼型是在美國(guó)航空工程師克拉克（Virginius Evans Clark，1886-1948）嘗試改造一個(gè)非常失敗的哥廷根翼型（G?ttingen 398）時(shí)提出的。Clark Y翼型的特點(diǎn)是，它的下底面幾乎全部是平的，如圖五所示。有趣的是，雖然這個(gè)翼型的氣動(dòng)性能完全沒有達(dá)到克拉克的期望，但是它卻大大的簡(jiǎn)化了機(jī)翼和螺旋槳的制造和安裝，一時(shí)之間竟然成為了最流行的翼型。

圖五：Clark Y翼型。

      而這些理論探索和工程實(shí)踐最終促成了應(yīng)用最廣泛的NACA翼型族。在這當(dāng)中貢獻(xiàn)最大的是兩位美國(guó)空氣動(dòng)力學(xué)家，雅可比（Eastman Jacobs，1902-1987）和西奧多森（Theodore Theodorsen，1897-1978）。而這兩位空氣動(dòng)力學(xué)家應(yīng)用的方法正是由茹科夫斯基構(gòu)建的那套復(fù)變函數(shù)分析法。

值得一提的是，西奧多森是一位非常有魅力的科學(xué)家，他不僅能夠完成最有難度的理論研究，又能夠?qū)⒆约旱难芯砍晒麘?yīng)用于NACA的實(shí)際需求。同時(shí)西奧多森的研究也是非常有自己風(fēng)格的，與當(dāng)時(shí)其他的空氣動(dòng)力學(xué)家（如von Karman）不同，他致力于找到翼型壓力分布的精確解而不是近似解[1]。而他的研究成果（空氣動(dòng)力、翼型顫振和相對(duì)論）對(duì)現(xiàn)在的研究工作者依然有所啟示。

有趣的是在NACA的會(huì)議室里，兩位科學(xué)家（Jacobs和Theodorsen）經(jīng)常發(fā)生爭(zhēng)論，大多數(shù)情況下，西奧多森會(huì)用自己高超的數(shù)學(xué)功底碾壓雅可比。但是在爭(zhēng)論中，雅可比漸漸發(fā)現(xiàn)了茹科夫斯基方法中最致命的問題——奇點(diǎn)。所有的分析都是在奇點(diǎn)（Singularity）之外進(jìn)行的，沒有人知道奇點(diǎn)內(nèi)部是什么。而當(dāng)時(shí)實(shí)驗(yàn)中人們又發(fā)現(xiàn)，茹科夫斯基的方法對(duì)翼型阻力和失速（升力曲線的下降段）分析是無(wú)能為力的。

回答這些問題的是德國(guó)科學(xué)家普朗特（Ludwig Prandtl，1875-1953），在他新近提出的邊界層理論當(dāng)中指出在“奇點(diǎn)”內(nèi)部，物面邊界之外存在著一個(gè)粘性很強(qiáng)的“薄層”。同時(shí)普朗特提出了這一“薄層”的控制方程——邊界層方程。邊界層理論不僅在理論界回答了奇點(diǎn)內(nèi)部的問題，同時(shí)在工程界解釋了翼型阻力和失速的原因，它是近代流體力學(xué)的開端。雅可比了解了邊界層理論后，將其成功地應(yīng)用在翼型的設(shè)計(jì)當(dāng)中，這項(xiàng)技術(shù)催生了低阻力的NACA層流翼型（Low-draglaminar Flow Airfoil）和當(dāng)時(shí)美國(guó)空軍最先進(jìn)的野馬戰(zhàn)斗機(jī)（P-51 Mustang），從而影響了二次世界大戰(zhàn)的進(jìn)程。

1928年，英國(guó)空氣動(dòng)力學(xué)家格勞特（Hermann Glauert，1892-1934）提出了可壓縮空氣動(dòng)力學(xué)理論，這標(biāo)志著人類可以設(shè)計(jì)更高速的飛行器。在當(dāng)時(shí)軍事工業(yè)的推動(dòng)下，人類的運(yùn)動(dòng)速度比上世紀(jì)快了整整一個(gè)數(shù)量級(jí)，從而人類社會(huì)的信息、交通和戰(zhàn)爭(zhēng)等等都發(fā)生了巨變。

普朗特在他的邊界層理論中提出了一個(gè)近似模型（混合長(zhǎng)度模型）用以考慮湍流邊界層的效應(yīng)（湍流邊界層阻力較層流邊界層要高）。他的許多學(xué)生都嘗試拋棄這個(gè)近似模型，去獲取一個(gè)描述湍流的精確模型以封閉邊界層方程，但是無(wú)一例外都失敗了。

其實(shí)“湍流”這個(gè)問題起源于英國(guó)科學(xué)家雷諾（Osborne Reynolds，1842-1912）關(guān)于管道流動(dòng)的研究（1883），在“一定條件”，管道入口的微小擾動(dòng)可以導(dǎo)致整個(gè)管道內(nèi)的流體變得湍動(dòng)起來(lái)（蝴蝶效應(yīng)）。有趣的是，粘性流體方程組（Navier-Stokes Equations）的解也會(huì)在“一定條件”下存在著不確定的解，也就是說(shuō)它的解是混沌的。所以在湍流誕生之初，就帶著謎一樣的特性。據(jù)說(shuō)，德國(guó)物理學(xué)家海森堡（Werner Heisenberg，1901-1976）逝世前就曾經(jīng)說(shuō)過：“如果我見到上帝一定要問他兩個(gè)問題，什么是相對(duì)論，什么是湍流，但是我只相信他對(duì)第一個(gè)問題有答案”。不幸的是，在大多數(shù)翼型上面，都能看到湍流的影子。

1945年我國(guó)物理學(xué)家周培源在日軍炮火下的昆明完成了關(guān)于湍流的一篇論文——《on velocity correlations and the solutions of the equations of turbulent equation》,1946年世界上第一臺(tái)計(jì)算機(jī)（ENIAC）誕生了，這兩項(xiàng)成果直接地催生了現(xiàn)代應(yīng)用最廣泛的工程湍流模型[2]，這使得人們可以用計(jì)算機(jī)求解湍流問題。但是人類對(duì)于湍流問題探索的腳步才只是剛剛開始。而回首過去，從伯努力到歐拉，再?gòu)睦绽沟饺憧品蛩够?，再?gòu)奈鲓W多森到普朗特，總感覺有什么冥冥中把這延續(xù)兩百多年的科學(xué)研究聯(lián)系在了一起，也許是“翼型”，也許是人類對(duì)于未知的好奇和對(duì)真理的不懈追求吧。