1735年，巴塞爾級(jí)數(shù)和的成功破解，讓歐拉逐步坐穩(wěn)了18世紀(jì)數(shù)學(xué)盟主的地位。

我們先來(lái)回顧一下巴塞爾級(jí)數(shù)是什么？

如果把這里的2改成1，那就是大名鼎鼎的調(diào)和級(jí)數(shù)。戲謔地說(shuō)，調(diào)和級(jí)數(shù)應(yīng)該是巴塞爾級(jí)數(shù)的大哥，因?yàn)闊o(wú)論從誕生的歷史，還是內(nèi)容的深度上都遠(yuǎn)勝于二弟。

為啥這個(gè)級(jí)數(shù)有個(gè)如此清新的名字？調(diào)和級(jí)數(shù)“調(diào)和”什么呢？

這個(gè)級(jí)數(shù)名字源于泛音及泛音列（泛音列與調(diào)和級(jí)數(shù)英文同為harmonic series）：一條振動(dòng)的弦的泛音的波長(zhǎng)依次是基本波長(zhǎng)的1/2、1/3、1/4……等等。

看到這個(gè)級(jí)數(shù)，就有種讓人想去求和的沖動(dòng)。但是對(duì)一個(gè)數(shù)列來(lái)說(shuō)，想求和，首先你要證明收斂性才行，巴塞爾級(jí)數(shù)的收斂性很好證明。但是對(duì)于調(diào)和級(jí)數(shù)，斂散性卻不是那么顯而易見(jiàn)。

大約在1360年，尼克爾·奧里斯姆就已經(jīng)證明調(diào)和級(jí)數(shù)是發(fā)散的了，既然是發(fā)散，也就就不能求出來(lái)這個(gè)級(jí)數(shù)的和了。他證明的方法，其實(shí)不算什么高深技巧，用到的是一種證明不等式的基本方法，放縮法。我讀高中的時(shí)候，數(shù)學(xué)課上還專門(mén)講過(guò)，印象里最深的就是，老師說(shuō)：放縮一定要適量，放縮法用得恰到好處，結(jié)論是不證自明的，要是放縮地太狠，不但得不到最后結(jié)論，甚至還會(huì)把你誤入歧途。好像現(xiàn)在高中數(shù)學(xué)里已經(jīng)取消這個(gè)方法了，畢竟，相對(duì)于其他解題方法，放縮法的任意性要更高，也更難掌握一些。下面我們來(lái)看一下，這位中世紀(jì)的數(shù)學(xué)家是如何來(lái)證明調(diào)和級(jí)數(shù)的發(fā)散性的。

(1) 式中[ ]內(nèi)的項(xiàng)一次遞增成2ⁿ個(gè)，為什么要這么操作？這樣操作之后，(2)式中就可以把[]內(nèi)的每一項(xiàng)都縮小到2^-n，于是每個(gè)[]內(nèi)的項(xiàng)相加都等于1/2,這樣持續(xù)下去，就可以得到調(diào)和級(jí)數(shù)的和大于無(wú)窮多個(gè)1/2了，顯而易見(jiàn)，調(diào)和級(jí)數(shù)是發(fā)散的。

這是人們對(duì)于調(diào)和級(jí)數(shù)第一次探索的成果。后來(lái)的研究過(guò)程中，人們?cè)絹?lái)越想用別的計(jì)算公式來(lái)逼近調(diào)和級(jí)數(shù)的和，因?yàn)檎{(diào)和級(jí)數(shù)和太過(guò)繁雜了。在這個(gè)問(wèn)題的研究上，歐拉邁出第一步。

至此，歐拉得出調(diào)和級(jí)數(shù)的一個(gè)很好的逼近公式。但是后面[ ]內(nèi)存在的那一大串是什么呢？有了巴塞爾級(jí)數(shù)的知識(shí)做基礎(chǔ)，我們很明顯看出來(lái)[ ]內(nèi)的項(xiàng)都是收斂的，事實(shí)上歐拉給這大串的項(xiàng)的和用了一個(gè)專門(mén)的字母γ表示。

于是

這里的γ大約是0.5772156649...，我們當(dāng)然又把這個(gè)數(shù)叫作歐拉常數(shù)。可千萬(wàn)不要以為這個(gè)數(shù)的誕生這么奇怪，人們刻意造出這個(gè)數(shù)有什么用途呢？實(shí)際上這個(gè)常數(shù)會(huì)出現(xiàn)在許多數(shù)學(xué)分析的問(wèn)題中，它與伽馬函數(shù)Γ(x),黎曼函數(shù)ζ(s)，連分?jǐn)?shù)展開(kāi)式都有著千絲萬(wàn)縷的關(guān)系。奇怪的是這個(gè)常數(shù)的性質(zhì)，人們卻知之甚少，甚至是有理數(shù)還是無(wú)理數(shù)都難以判定。

你以為歐拉得出調(diào)和函數(shù)和的逼近函數(shù)和歐拉常數(shù)就完了？當(dāng)然沒(méi)有！

之后的某一天，歐拉在紙上涂涂畫(huà)畫(huà)，瞄著瞄著就把調(diào)和級(jí)數(shù)改造了一番，歐拉寫(xiě)出這樣的一個(gè)式子：

很明顯歐拉是想看看所有素?cái)?shù)的倒數(shù)和是怎么的情況，這個(gè)新的級(jí)數(shù)斂散性還是跟調(diào)和級(jí)數(shù)一樣呢？

于是歐拉又開(kāi)始慘無(wú)人道地“蹂躪”這個(gè)可憐的級(jí)數(shù)了，歐拉第一個(gè)發(fā)現(xiàn)，所有素?cái)?shù)的倒數(shù)和其實(shí)也是發(fā)散的。

他的這個(gè)證明非常精彩，遠(yuǎn)比上面得出調(diào)和逼近函數(shù)要精彩得多。

歐拉曾經(jīng)在研究ζ(s)函數(shù)時(shí)，得到一個(gè)堪稱金鑰匙的工具，這個(gè)工具把求和與連乘等價(jià)在一起，非常漂亮。

歐拉的金鑰匙怎么得出來(lái)的，這里就不做特別細(xì)致的探討了。這里，我就主要說(shuō)一下(9),(10)之間的轉(zhuǎn)換，（9）的連乘形式看起來(lái)非?？植?，實(shí)際上，我們可以從另外一個(gè)角度來(lái)考慮。我們從小學(xué)就學(xué)過(guò)把一個(gè)數(shù)分解成唯一的素?cái)?shù)乘積的形式，比如36=2*3*2*3,50=2*2*5*2，如果這個(gè)數(shù)本身就是素?cái)?shù)，那就不用分解了。我們只是把這個(gè)要分解的數(shù)限制是自然數(shù)即可，換句話說(shuō)，我們只要用素?cái)?shù)乘積的組合就可以得出任意所有的自然數(shù)。這個(gè)也叫算術(shù)基本定理，是一個(gè)高斯曾經(jīng)極度癡迷的數(shù)學(xué)定理。我們把這個(gè)定理放在這里簡(jiǎn)單應(yīng)用下。如果我們不嫌麻煩，將(9)完全展開(kāi)，我們將會(huì)得到任意素?cái)?shù)的冪乘積的倒數(shù)和，由算術(shù)基本定理的逆定理得知，我們也將得到所有自然數(shù)的倒數(shù)和！于是，自然而然，我們就得到(10)式了。（當(dāng)然完整嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明還是要用到歐拉的金鑰匙，這里只是做個(gè)形象的解釋）

如果說(shuō)調(diào)和級(jí)數(shù)和的發(fā)散性是反常識(shí)的，那么素?cái)?shù)倒數(shù)和的發(fā)散性就更加反人類了。素?cái)?shù)要遠(yuǎn)比自然數(shù)少的多，沒(méi)想到經(jīng)過(guò)歐拉這么一推導(dǎo)，仍然是發(fā)散的！我們?cè)賮?lái)分析一下歐拉的證明過(guò)程，在最后一步里，用了素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)是無(wú)窮多個(gè)這個(gè)前提來(lái)得到最終結(jié)論，那么假如，我們可以先得到素?cái)?shù)的倒數(shù)和是發(fā)散的，那么不就可以逆推出素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)是無(wú)窮多個(gè)的嗎？

這樣的思路是非常正確的，有人就學(xué)著走這條路。

1919年，挪威數(shù)學(xué)家布隆以此思路開(kāi)辟了一條可能證明孿生素?cái)?shù)猜想的“捷徑”。他把所有孿生素?cái)?shù)的倒數(shù)對(duì)全部加在一起，他考慮到，假如這個(gè)級(jí)數(shù)仍然發(fā)散，不就可以證明孿生素?cái)?shù)是無(wú)窮多個(gè)了嗎？？？這個(gè)思路的確相當(dāng)振奮人心。

于是他列出這個(gè)級(jí)數(shù)來(lái)：

然而根據(jù)之前所有的研究經(jīng)驗(yàn)來(lái)看，真正涉及到素?cái)?shù)核心問(wèn)題的證明都絕不會(huì)是以一個(gè)簡(jiǎn)單巧妙的方法就可以解決的，孿生素?cái)?shù)猜想也不例外。布隆企圖證明這個(gè)級(jí)數(shù)是發(fā)散的，然而，他嘗試半天，卻憂傷地得到了這個(gè)級(jí)數(shù)收斂在1.90216054...附近，這個(gè)常數(shù)也叫布隆常數(shù)。毫無(wú)疑問(wèn)，這條證明孿生素?cái)?shù)的道路是根本走不通的，歐拉的極盡巧思是布隆根本學(xué)不來(lái)的。到了這里，我仿佛聽(tīng)見(jiàn)歐拉在天堂里遠(yuǎn)遠(yuǎn)地對(duì)布隆說(shuō)：

“數(shù)學(xué)好，真的可以為所欲為！”

然而，上天也算待布隆不薄，布隆在這個(gè)問(wèn)題的研究上并非顆粒無(wú)收，他證明了一個(gè)很有趣的結(jié)論：

對(duì)于任何一個(gè)給定的整數(shù)m，都可以找到m個(gè)相鄰素?cái)?shù)，其中沒(méi)有一個(gè)孿生素?cái)?shù)。

歐拉對(duì)于調(diào)和級(jí)數(shù)壓榨出了幾個(gè)重要成果：歐拉乘積公式，調(diào)和級(jí)數(shù)逼近公式，素?cái)?shù)倒數(shù)和發(fā)散。充分說(shuō)明了，調(diào)和級(jí)數(shù)就像是一股寶貴的數(shù)學(xué)源泉，而歐拉如抽絲剝繭般地慢慢把這個(gè)問(wèn)題壓榨，提煉，改造成各種各樣有力的數(shù)學(xué)成果，為以后的數(shù)學(xué)研究準(zhǔn)備相當(dāng)多的工具，我個(gè)人已經(jīng)不能用語(yǔ)言去形容這位超級(jí)大神了。

我相信調(diào)和級(jí)數(shù)里仍然還有很多不曾被注意到的性質(zhì)，好似感覺(jué)這里就是一個(gè)寶藏， 我們所有人窮盡一生也得不到全部的結(jié)果。