打開數(shù)據(jù)分析的大門，從感性走向理性。

“概率統(tǒng)計(jì)”正確理解，才能正確應(yīng)用！

本專欄從最通俗易懂的角度，用最易于理解的方法，真正內(nèi)化吸收概率統(tǒng)計(jì)的核心思想與算法，幫助您在工作生活中正確應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)知識。

征兵的故事

美國海軍每次征兵都會打出號召性的廣告，盡其所能地宣傳，讓最優(yōu)秀的年青人加入軍隊(duì)，還要想辦法不讓父母們擔(dān)心孩子的安危。

美軍征兵海報(bào)

這不，有一年廣告是這么說的：

權(quán)威統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表明，紐約市民的每年的死亡率為1.6%，而美國海軍每年的死亡率僅有0.9%！所以，美國海軍是比紐約市更安全的地方！

普通人一看，有這么3點(diǎn)反應(yīng)：

1. 不能吧，不合常理??？
2. 權(quán)威統(tǒng)計(jì)，數(shù)據(jù)應(yīng)該是真的。
3. 也許是因?yàn)楹＼姶_實(shí)安全吧！

恭喜，中計(jì)了！

這個(gè)詭計(jì)的要害其實(shí)一語即可道破：

紐約市民中包括老弱病殘，而美國海軍全是挑選出來的精壯青年，后者正常的死亡率應(yīng)該連0.2%都不到，而到了海軍要多犧牲出0.7%，還說不危險(xiǎn)？！

所以，想用概率的比較來說明問題，就必須很清晰概率的計(jì)算前提。

要想通過比較概率來說明問題，前提是：

分析事件的關(guān)聯(lián)性與獨(dú)立性。

具體地說，一個(gè)人是美國海軍這個(gè)事件，與一個(gè)人是普通市民的這個(gè)事件，二者是有隱含邏輯關(guān)聯(lián)的，因?yàn)橐粋€(gè)人100%是普通市民，但也許只有1%可以選中成為海軍士兵。

精要總結(jié)：

兩個(gè)概率的統(tǒng)計(jì)群體，擁有邏輯上的關(guān)聯(lián)性，但該關(guān)聯(lián)性沒有體現(xiàn)在概率計(jì)算中，因此兩個(gè)概率值是無法做比較的。

如果注意觀察，在生活甚至工作中，這樣的“偽對比”其實(shí)非常之多，稍不注意就會落入概率陷阱之中。

甚至可以說，我們?nèi)粘Ｒ姷降膹V告宣傳中，凡是出現(xiàn)概率或比率的，都需要擦亮雙眼仔細(xì)辨別。

條件概率

概率對比的正確操作，是使用“條件概率”。

直接上例子：

統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，人類患肺癌的概率為0.1%，而吸煙者患肺癌的概率為0.4%，如何知道不吸煙的人患肺癌的概率是多少呢？（人群中吸煙者的比率為20%）

第一反應(yīng)，0.4>0.1，不吸煙肯定不那么容易患肺癌，那么差多少呢？

歸納一下已條件：

P(肺癌)=0.1% 即P(不肺癌)=99.9%

P(吸煙)=20% 即P(不吸煙)=80%

P(肺癌|吸煙) = 0.4%

最后那一行的意思表示“條件概率”：

P(肺癌|吸煙) 表示 在吸煙的條件下 得肺癌的概率。

豎線后面就表示這個(gè)概率計(jì)算的總體，所以說，為什么要用一豎來表示條件概率，因?yàn)?strong>這一豎“|”其實(shí)就是除號“/”??！

那么，咱們要求的，不吸煙的人患肺癌的概率 可以表示為：

P(肺癌|不吸煙)

這里采用“分解法”，對于全體人類而言，患肺癌的人分兩類：

• 吸煙 且 患肺癌
• 不吸煙 且 患肺癌

所以：

P(肺癌)

= P(肺癌 且 吸煙) +P(肺癌 且 不吸煙)

= P(肺癌|吸煙) x P(吸煙)+P(肺癌|不吸煙) x P(不吸煙)

這種把一個(gè)事件（肺癌）用另一個(gè)事件（吸煙）給分割開的公式，叫做

全概率分解。

而式中，只有一個(gè)未知量，得到 P(肺癌|不吸煙)=0.025%。

可見：

• 不吸煙患病的概率要遠(yuǎn)低于吸煙患病的概率；
• 可以得到明確判斷吸煙與肺癌的關(guān)系。
• 概率對比要確定前提條件，即使用條件概率。

全概率分解展現(xiàn)的是兩個(gè)事件的關(guān)聯(lián)性。

貝葉斯公式

如果對上面式子中的乘號有疑問，可以再看看下面的圖形解釋。

假設(shè)有事件A 和 B ：

顯然，事件A 與 事件B有交集，也就是說他們可能同時(shí)發(fā)生，（比如一個(gè)人既吸煙，同時(shí)也患了肺癌），那么AB同時(shí)發(fā)生的概率可以表示為：

或：

都是可以的。

所以顯然：

上面這三個(gè)式子叫做貝葉斯原理，這個(gè)公式非常擅于解決這樣一類問題：

假如已經(jīng)發(fā)生了一個(gè)事件，如事件B，那么，在此基礎(chǔ)上，事件A會發(fā)生的概率是多少呢？

其實(shí)，就是求 P(A|B)，由上式，顯然：

這個(gè)貝葉斯原理可厲害了，是人工智能算法中的一項(xiàng)重要技術(shù)，其實(shí)它在生活中的方方面面都有應(yīng)用，理解貝葉斯原理對于大腦進(jìn)行邏輯判斷非常有幫助。

上個(gè)實(shí)例吧。

檢查結(jié)果為陽性！

你懷疑自己得了一種嚴(yán)重的疾病，雖然這種疾病在人群中比較少見（概率為1%），但是你還是到醫(yī)院來檢查一下，檢查結(jié)果竟然是陽性（陽性意思就是判定有?。蠓蛘f他們醫(yī)院進(jìn)口的檢驗(yàn)機(jī)器正確率高達(dá)98%！

（要假設(shè)機(jī)器的檢驗(yàn)正確或錯(cuò)誤，與檢驗(yàn)樣品無關(guān)，是機(jī)器本身的功能性）

你更絕望了！

看起來好像必然會生病了，98%的正診率怕是跑不掉了。

是直接做手術(shù)？還是再做一次昂貴的檢查？

其實(shí)，學(xué)過上面的知識，你會更理智地更準(zhǔn)確地判斷問題。

首先，明確“陽性”與“有病”是兩個(gè)概念，“陽性”是醫(yī)院的診斷，而醫(yī)院是完全有可能誤診的，所以說有4種情況：

• 陽性 且 有病
• 陽性 且 沒病
• 陰性 且 有病
• 陰性 且 沒病

目前的情況是，事件“陽性”已經(jīng)發(fā)生了，所以我們想求的是：

有事件發(fā)生了，所以根據(jù)貝葉斯公式得到：

P(有病|陽性) = P(有病 且 陽性) / P(陽性)

根據(jù)貝葉斯定理——

根據(jù)全概率分解——

陽性包括 有病查出陽性 和 沒病查出陽性（誤診了）

P(陽性) = P(正診 且 有病) +P(誤診 且 沒病) = 0.98 x 0.01 + 0.02 x 0.99= 0.0296

最后計(jì)算結(jié)果為

也就是說，雖然檢查出了陽性，但你患病的概率其實(shí)中只有1/3，當(dāng)然要再檢查一次，不要著急做手術(shù)！

那么，這是什么道理呢？

原因就在于，這種病比較罕見，只有1%，這就造成了雖然誤診率小，但是不患病卻誤診成陽性的人數(shù)比例就顯得多，事實(shí)上是患病而正診成陽性的2倍之多。

當(dāng)然，這個(gè)例子在實(shí)際情況中不太成立，主要因?yàn)樵\斷的正誤不是隨機(jī)的，診斷主要還是根據(jù)醫(yī)生的經(jīng)驗(yàn)，而且檢查往往也不是一項(xiàng)指標(biāo)而是許多項(xiàng)指標(biāo)。

理解貝葉斯定理——相關(guān)度因子

貝葉斯定理是基于兩個(gè)事件的關(guān)聯(lián)性，是在B事件發(fā)生后，對A事件發(fā)生概率的重新評估與預(yù)測。

P(A) —— ''預(yù)估概率''，指在B發(fā)生前，對A事件發(fā)生概率的初步判斷，所以也叫“先驗(yàn)概率”。

P(A|B) —— ''修正概率''，指B事件發(fā)生后，對A事件概率的重新評估與預(yù)測，所以也叫“后驗(yàn)概率”。

P(B|A)/P(B)這一部分看起來都是“不對稱的”，所以想要徹底理解，有一個(gè)最關(guān)鍵的變形步驟，好像沒見有資料這么提，卻是理解貝葉斯的關(guān)鍵所在——

上文提到：

那么，就把 P(B|A) = P(A且B)/P(A)代入葉貝斯公式，得到：

更易理解的葉貝斯公式

下面精彩了，咱們把

這一部分，稱為：

關(guān)聯(lián)度因子（Likelihood ratio）

所以貝葉斯原理是在教你：如何根據(jù)出現(xiàn)的新信息修正概率預(yù)測呢！

修正概率 = 預(yù)估概率 x 關(guān)聯(lián)度因子

詳解關(guān)聯(lián)度因子

這個(gè)關(guān)聯(lián)度因子終于變得對稱了，它的深層含義就昭然若揭了