從旋轉(zhuǎn)和軸對(duì)稱兩個(gè)方向突破線段和最值問題

幾條線段和的最值問題，一直作為武漢地區(qū)數(shù)學(xué)題的特色，思維有難度，是選擇題或填空題的壓軸戲。而解決此類問題的基礎(chǔ)，不外乎兩條定理：兩點(diǎn)之間線段最短，垂線段最短。那么無論哪種方法，最終都要將線段和轉(zhuǎn)換成一條線段或一條垂線段。正好在某道填空題中，這兩種方法都能成功解決，所采用的轉(zhuǎn)換方法則是旋轉(zhuǎn)變換和軸對(duì)稱變換。

題目

如圖，△ABC中，∠BAC=30°，AB=AC，P是底邊上的高AH上一點(diǎn)，若AP+BP+CP的最小值為2√2，則BC=________

解析：

此題不走尋常路，告訴了線段和的最小值，反過來求其中一條邊長(zhǎng)。但無論路是否尋常，若找不到使線段和最小的點(diǎn)P位置，那都是死路。

(1)旋轉(zhuǎn)法

使此法，通常選擇的旋轉(zhuǎn)角是60°，好處是構(gòu)造出等邊三角形，我們將△APC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，如下圖：

△APP'是等邊三角形，于是我們完成了如下轉(zhuǎn)換，AP=PP'，PC=P'C'，原三條線段BP+CP+AP=BP+PP'+P'C'，即圖中紅色加粗線條，它們何時(shí)和最小？利用兩點(diǎn)之間線段最短，可知最短時(shí)，正好處于線段BC'上，即線段BC'的長(zhǎng)度為2√2.

接下來，觀察△ABC'，它是一個(gè)等腰直角三角形，∠BAP=∠P'AC'=15°，加中間60°，正好90°，于是得到AB=2，然后我們可以在△ABC中利用∠BAC=30°來求底邊BC了，作腰上的高，如下圖：

旋轉(zhuǎn)容易，最后求BC時(shí)，二次根式的化簡(jiǎn)是真要人命，卡在這一步的大有人在，畢竟這種二次根式的復(fù)雜程度已經(jīng)超過教材要求。

有沒有計(jì)算上稍簡(jiǎn)單的方法呢？我們換個(gè)方向來思考。

(2)軸對(duì)稱法

由于點(diǎn)P在AH上，因此我們將AH沿某條腰對(duì)稱，得到下圖：

AH關(guān)于AC的對(duì)稱線為AE，過點(diǎn)P作PD⊥AE于點(diǎn)D，下面開始轉(zhuǎn)換，在Rt△ADP中，∠PAD=2∠PAC=30°，因此AP=2DP，而BP=CP，于是BP+CP=2BP，即DP+BP始終為AP+BP+CP的一半，DP+BP何時(shí)最小？觀察圖中紅色加粗線段，利用垂線段最短，可知它們位于線段BE上時(shí)最短，此時(shí)DP+BP=√2=BE，而△ABE是一個(gè)等腰直角三角形，于是同樣可求得AB=2.

我們可簡(jiǎn)單計(jì)算一下∠FBC的度數(shù)，發(fā)現(xiàn)它正好也等于30°，于是在Rt△BFH中，我們?cè)O(shè)FH為x，BH為√3x，在Rt△ABH中利用勾股定理列方程可得結(jié)果，如下圖：

解題反思：

每次遇到這樣的思維障礙，突破無果之后，需要記下失敗原因，當(dāng)老師進(jìn)行點(diǎn)評(píng)講解的時(shí)候，要重點(diǎn)聽是如何突破的，自己在當(dāng)時(shí)缺少了哪個(gè)環(huán)節(jié)的思考，只有這樣循序漸進(jìn)，才能不斷提升自己的數(shù)學(xué)解題能力。