一、導(dǎo)數(shù)的概念

例1、若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，

則函數(shù)在區(qū)間上的圖象可能是

解析：因?yàn)楹瘮?shù)的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，即在區(qū)間上各點(diǎn)處函數(shù)的變化率是遞增的，故圖像應(yīng)越來(lái)越陡峭. 由圖易知選A.

說(shuō)明：考查了導(dǎo)數(shù)的概念——函數(shù)的變化率以及圖像的變化規(guī)律，是以高等數(shù)學(xué)中函數(shù)圖像的凹凸性為背景命制的，雖然試題的設(shè)計(jì)來(lái)源于高等數(shù)學(xué)，但考查的還是中學(xué)所學(xué)的初等數(shù)學(xué)知識(shí). 

二、導(dǎo)數(shù)的幾何意義

例2、已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程是，則             。

解析：因?yàn)?/span>，所以，由切線過(guò)點(diǎn)，可得點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為，所以，所以

答案：3

三、求曲線的切線方程

例3、求曲線：過(guò)點(diǎn)的切線方程。

解析：可判定P點(diǎn)不在曲線C上。設(shè)切點(diǎn)為，

切線斜率

故切線方程為，

則，

解得：或。

所以切線方程為及。

反思：已知曲線C：，求過(guò)點(diǎn)的曲線的切線方程。其步驟為：

第一步：判定點(diǎn)P是否在曲線C上

第二步：求導(dǎo)數(shù)

第三步：若P點(diǎn)在曲線C上，則所求的切線方程為；若P點(diǎn)不在曲線上，可設(shè)切點(diǎn)，由解出。進(jìn)而確定過(guò)P點(diǎn)的曲線C的切線方程為。

四、利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義研究曲線的切線問(wèn)題

例4、已知曲線C：，直線，且直線與曲線C相切于點(diǎn)（），求直線的方程及切點(diǎn)坐標(biāo)。

解析：直線過(guò)原點(diǎn)，則。由點(diǎn)在曲線C上，則，       。又，在處曲線C的切線斜率為，，整理得：，解得：或（舍），此時(shí)，，。所以，直線的方程為，切點(diǎn)坐標(biāo)是。

答案：直線的方程為，切點(diǎn)坐標(biāo)是

說(shuō)明：本小題考查導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用。解決此類(lèi)問(wèn)題時(shí)應(yīng)注意“切點(diǎn)既在曲線上又在切線上”這個(gè)條件的應(yīng)用。函數(shù)在某點(diǎn)可導(dǎo)是相應(yīng)曲線上過(guò)該點(diǎn)存在切線的充分條件，而不是必要條件。

例5、若存在過(guò)點(diǎn)的直線與曲線和都相切，則等于

A. 或

B. 或

C. 或

D. 或

解析：設(shè)過(guò)的直線與相切于點(diǎn)，所以切線方程為

即，又在切線上，則或，

當(dāng)時(shí)，由與相切可得，

當(dāng)時(shí)，由與相切可得，所以選.

說(shuō)明：函數(shù)的切線問(wèn)題，切點(diǎn)是關(guān)鍵，因?yàn)樗锹?lián)結(jié)曲線和其切線的“橋梁”，在做題中往往需要設(shè)出切點(diǎn).