微積分其實(shí)很簡(jiǎn)單！

只有理解，才會(huì)應(yīng)用！

本專欄將和您一起，從最通俗易懂的角度，用最易于理解的方法，真正內(nèi)化吸收微積分的核心概念與算法，幫您輕松掌握與應(yīng)用！

精要復(fù)習(xí)

前兩課我們首先講了導(dǎo)數(shù)/微分：

導(dǎo)數(shù)的“導(dǎo)”，理解為“方向”。

方向決定了函數(shù)的運(yùn)行，所以“導(dǎo)數(shù)”是函數(shù)的原因，函數(shù)是“導(dǎo)數(shù)”的結(jié)果。

進(jìn)一步，借助泰勒展開公式加深了對(duì)導(dǎo)數(shù)“原因”作用的認(rèn)識(shí)。

泰勒展開公式，是對(duì)展開點(diǎn)附近的函數(shù)，進(jìn)行的一個(gè)“誤差可控多項(xiàng)式仿真”。

導(dǎo)數(shù)（原因），把結(jié)果和現(xiàn)狀聯(lián)系在了一起

不定積分

函數(shù) F(x) 的導(dǎo)函數(shù)為 F''(x)，如果定義 F''(x)=f(x)，則：

f(x) 是 F(x) 的導(dǎo)函數(shù)；

F(x) 是 f(x) 的原函數(shù)。

這里注意，F(x) +C 的導(dǎo)數(shù)也是 f(x)，所以

f(x) 有一族原函數(shù)—— F(x) +C

（C在數(shù)學(xué)里表示常數(shù)，常數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0）

表示為：

等號(hào)左邊那堆，叫做 f(x) 的“不定積分”。

為啥“不定”呢？

主要是為了相對(duì)于下面要講的“定積分”，而且不定積分有“一族”而不是“一個(gè)”（下面會(huì)講）。

重要的微積分維度意義

思考一個(gè)問(wèn)題，為什么從原函數(shù) F 到 導(dǎo)函數(shù) f ，沒(méi)有常數(shù)C的出現(xiàn)；而從導(dǎo)函數(shù) f 到原函數(shù) F 就突然多出來(lái)一個(gè) 常數(shù) C 呢？

因?yàn)椋?strong>原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)不在一個(gè)維度上！

原函數(shù)比導(dǎo)函數(shù)低一個(gè)維度！

為什么這么說(shuō)？

舉個(gè)例子，一個(gè)燈下的三維物體，比如如一個(gè)橄欖球，向墻面上的投影可能是一個(gè)橢圓，但是換一個(gè)角度再去投影，影子完全可能是另一個(gè)大小/形狀，有可能變成一個(gè)圓形！

即，三維物體有無(wú)窮多個(gè)二維的投影。

正如，導(dǎo)函數(shù)有無(wú)窮多個(gè)原函數(shù)！

低維的原函數(shù) 是 高維的導(dǎo)函數(shù) 的投影。

常數(shù) C ，就是代表燈與物所成的一系列角度罷了。

原因在高維 結(jié)果在低維

原因（導(dǎo)函數(shù)）在高維，比如小車的速度 v，這是本身一個(gè)高維的信息，因?yàn)樗?/p>

1. 決定了低維信息位移 s；
2. “不直觀”，如果不投影低維的位移信息，我們甚至不易理解；
3. 表達(dá)簡(jiǎn)單，“高維的表達(dá)反而簡(jiǎn)單”。

第三條詳細(xì)解釋一下，這個(gè)原理叫：

高維低階

舉個(gè)例子，位移 s=x^2 +x+1，則速度v=2x+1。

發(fā)現(xiàn)什么了？v比s的階低，v是1次多項(xiàng)式，s是2次多項(xiàng)式。

高維下的表達(dá)，往往就比低維下簡(jiǎn)單！

學(xué)過(guò)工程制圖的同學(xué)深有體會(huì)，一個(gè)復(fù)雜結(jié)構(gòu)，如果畫在平面圖中，需要有：正視圖/左視圖/上視圖/甚至斜視圖/剖面圖等等，特別復(fù)雜，但如果在三維作圖軟件中作三維模型，一個(gè)模型就足夠了。

就是這個(gè)道理。

物理學(xué)發(fā)展史中，這樣的故事層出不窮。最開始探索的物理學(xué)家的理解比較淺也比較局限，提出的理念往往很復(fù)雜，后來(lái)的物理學(xué)家在他們基礎(chǔ)上，統(tǒng)一整合了一類理論，提出新的理論反而是形式簡(jiǎn)潔美妙，這就是升維思維的奇功。

MATLAB求不定積分

不定積分，在數(shù)學(xué)上最大的意義就是求原函數(shù)，手算方法很多：

換元積分法 分部積分法 等

教材上都一樣，咱們直接用MATLAB解決問(wèn)題：

SO EASY!

定積分

提問(wèn)，如何求一個(gè)曲線 f(x) 下包圍的面積？

我們采用分割法，把曲線下分割成許多小矩形，如圖：

當(dāng)分割得越來(lái)越小，面積就越來(lái)越接近真實(shí)值。

然后把它們加起來(lái)，這就是“定積分”。

這就是定積分在書本上的定義，從中也能看出，積分其實(shí)就是求和，你看積分號(hào)長(zhǎng)得就像一個(gè)拉長(zhǎng)的 S 啊，S就是 sum 唄！

定積分的真正內(nèi)含

定積分到底在算啥？