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理解微積分真諦:積分——降維投影

 tottey 2019-01-27

微積分其實(shí)很簡(jiǎn)單!

只有理解,才會(huì)應(yīng)用!

本專欄將和您一起,從最通俗易懂的角度,用最易于理解的方法,真正內(nèi)化吸收微積分的核心概念與算法,幫您輕松掌握與應(yīng)用!

精要復(fù)習(xí)

前兩課我們首先講了導(dǎo)數(shù)/微分:

導(dǎo)數(shù)的“導(dǎo)”,理解為“方向”。

方向決定了函數(shù)的運(yùn)行,所以“導(dǎo)數(shù)”是函數(shù)的原因,函數(shù)是“導(dǎo)數(shù)”的結(jié)果。

進(jìn)一步,借助泰勒展開公式加深了對(duì)導(dǎo)數(shù)“原因”作用的認(rèn)識(shí)。

泰勒展開公式,是對(duì)展開點(diǎn)附近的函數(shù),進(jìn)行的一個(gè)“誤差可控多項(xiàng)式仿真”。

導(dǎo)數(shù)(原因),把結(jié)果和現(xiàn)狀聯(lián)系在了一起

不定積分

函數(shù) F(x) 的導(dǎo)函數(shù)為 F''(x),如果定義 F''(x)=f(x),則:

f(x) 是 F(x) 的導(dǎo)函數(shù);

F(x) 是 f(x) 的原函數(shù)。

這里注意,F(x) +C 的導(dǎo)數(shù)也是 f(x),所以

f(x) 有一族原函數(shù)—— F(x) +C

(C在數(shù)學(xué)里表示常數(shù),常數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0)

表示為:

等號(hào)左邊那堆,叫做 f(x) 的“不定積分”。

為啥“不定”呢?

主要是為了相對(duì)于下面要講的“定積分”,而且不定積分有“一族”而不是“一個(gè)”(下面會(huì)講)。

重要的微積分維度意義

思考一個(gè)問(wèn)題,為什么從原函數(shù) F 到 導(dǎo)函數(shù) f ,沒(méi)有常數(shù)C的出現(xiàn);而從導(dǎo)函數(shù) f 到原函數(shù) F 就突然多出來(lái)一個(gè) 常數(shù) C 呢?

因?yàn)椋?strong>原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)不在一個(gè)維度上!

維度不同,角度完全不同!

原函數(shù)比導(dǎo)函數(shù)低一個(gè)維度!

為什么這么說(shuō)?

舉個(gè)例子,一個(gè)燈下的三維物體,比如如一個(gè)橄欖球,向墻面上的投影可能是一個(gè)橢圓,但是換一個(gè)角度再去投影,影子完全可能是另一個(gè)大小/形狀,有可能變成一個(gè)圓形!

即,三維物體有無(wú)窮多個(gè)二維的投影。

正如,導(dǎo)函數(shù)有無(wú)窮多個(gè)原函數(shù)!

低維的原函數(shù) 是 高維的導(dǎo)函數(shù) 的投影。

投影,將三維信息降為了二維信息

常數(shù) C ,就是代表燈與物所成的一系列角度罷了。

原因在高維 結(jié)果在低維

原因(導(dǎo)函數(shù))在高維,比如小車的速度 v,這是本身一個(gè)高維的信息,因?yàn)樗?/p>

  1. 決定了低維信息位移 s;
  2. “不直觀”,如果不投影低維的位移信息,我們甚至不易理解;
  3. 表達(dá)簡(jiǎn)單,“高維的表達(dá)反而簡(jiǎn)單”。

第三條詳細(xì)解釋一下,這個(gè)原理叫:

高維低階

舉個(gè)例子,位移 s=x^2 +x+1,則速度v=2x+1。

發(fā)現(xiàn)什么了?v比s的階低,v是1次多項(xiàng)式,s是2次多項(xiàng)式。

高維下的表達(dá),往往就比低維下簡(jiǎn)單!

二維到三維,是工程制圖的升維飛躍

學(xué)過(guò)工程制圖的同學(xué)深有體會(huì),一個(gè)復(fù)雜結(jié)構(gòu),如果畫在平面圖中,需要有:正視圖/左視圖/上視圖/甚至斜視圖/剖面圖等等,特別復(fù)雜,但如果在三維作圖軟件中作三維模型,一個(gè)模型就足夠了。

就是這個(gè)道理。

物理學(xué)發(fā)展史中,這樣的故事層出不窮。最開始探索的物理學(xué)家的理解比較淺也比較局限,提出的理念往往很復(fù)雜,后來(lái)的物理學(xué)家在他們基礎(chǔ)上,統(tǒng)一整合了一類理論,提出新的理論反而是形式簡(jiǎn)潔美妙,這就是升維思維的奇功。

簡(jiǎn)潔的物理公式,其實(shí)是最高級(jí)的

MATLAB求不定積分

不定積分,在數(shù)學(xué)上最大的意義就是求原函數(shù),手算方法很多:

換元積分法 分部積分法

教材上都一樣,咱們直接用MATLAB解決問(wèn)題:

F=int(fun,x) % 求函數(shù)fun關(guān)于x的不定積分

SO EASY!

定積分

提問(wèn),如何求一個(gè)曲線 f(x) 下包圍的面積?

我們采用分割法,把曲線下分割成許多小矩形,如圖:

當(dāng)分割得越來(lái)越小,面積就越來(lái)越接近真實(shí)值。

然后把它們加起來(lái),這就是“定積分”。

這就是定積分在書本上的定義,從中也能看出,積分其實(shí)就是求和,你看積分號(hào)長(zhǎng)得就像一個(gè)拉長(zhǎng)的 S 啊,S就是 sum 唄!

定積分的真正內(nèi)含

定積分到底在算啥?

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