1452 人參與 2018年05月16日 14:31 分類 : 科學百科 評論

歐拉公式是什么？為什么歐拉公式被稱為世界上最完美的公式？下面我們就一起來了解一下吧。 

歐拉公式又稱為歐拉定理，也稱為尤拉公式，是用在復(fù)分析領(lǐng)域的公式，歐拉公式將三角函數(shù)與復(fù)數(shù)指數(shù)函數(shù)相關(guān)聯(lián)，之所以叫作歐拉公式，那是因為歐拉公式是由萊昂哈德·歐拉提出來的，所以用他的名字進行了命名。 

尤拉公式提出，對任意實數(shù) x，都存在

歐拉公式，世界上最完美的公式

其中 e是自然對數(shù)的底數(shù)， i是虛數(shù)單位，而 \cos和 \sin則是余弦、正弦對應(yīng)的三角函數(shù)，參數(shù) x則以弧度為單位。這一復(fù)數(shù)指數(shù)函數(shù)有時還寫作 {cis}(x)（英語：cosine plus i sine，余弦加i正弦）。由于該公式在 x為復(fù)數(shù)時仍然成立，所以也有人將這一更通用的版本稱為尤拉公式。

萊昂哈德·歐拉出生于1707年4月15日，死于公元1783年9月18日，萊昂哈德·歐拉是一位來自于瑞士的數(shù)學家和物理學家，是近代著名的數(shù)學家之一，此外，萊昂哈德·歐拉還有力學，光學和天文學上都作出了重大的貢獻。

萊昂哈德·歐拉被認為是18世紀，世界上最杰出的數(shù)學家，也是史上最偉大的數(shù)學家之一，而且萊昂哈德·歐拉還有許多的著作，他的學術(shù)著作就多達60-80冊。 

他對微分方程理論作出了重要貢獻。他還是歐拉近似法的創(chuàng)始人，這些計算法被用于計算力學中。此中最有名的被稱為歐拉方法。

在數(shù)論里他引入了歐拉函數(shù)。自然數(shù) n的歐拉函數(shù)image被定義為小于n并且與 n互質(zhì)的自然數(shù)的個數(shù)。

在計算機領(lǐng)域中廣泛使用的RSA公鑰密碼算法也正是以歐拉函數(shù)為基礎(chǔ)的。

在分析領(lǐng)域，是歐拉綜合了戈特弗里德·威廉·萊布尼茨的微分與艾薩克·牛頓的流數(shù)。

他在1735年由于解決了長期懸而未決的貝塞爾問題而獲得名聲： 

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其中image是黎曼函數(shù)。

歐拉將虛數(shù)的冪定義為如下公式

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這就是歐拉公式，它成為指數(shù)函數(shù)的中心。在初等分析中，從本質(zhì)上來說，要么是指數(shù)函數(shù)的變種，要么是多項式，兩者必居其一。被理查德·費曼稱為“最卓越的數(shù)學公式”的則是歐拉公式的一個簡單推論（通常被稱為歐拉恒等式）： 

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他在1735年定義了微分方程中的歐拉-馬斯刻若尼常數(shù)，也是歐拉-麥克勞林求和公式的發(fā)現(xiàn)者之一，這一公式在計算難于計算的積分、求和與級數(shù)的時候極為有效：

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歐拉還發(fā)現(xiàn)了公式的 V - e f = 2 的數(shù)量與頂點(Vertex, V)，邊(edge, e)和面(face, f)的凸多面體，因此，對一個平面圖形。此公式中的常數(shù)是現(xiàn)在被稱為歐拉示性數(shù)的圖形（或其他數(shù)學對象），是有關(guān)屬的對象。研究和推廣這一公式，特別是通過柯西和歐萊雅Huillier，是在原點的拓撲結(jié)構(gòu)。

2013年4月15日Google以doodle紀念歐拉306周年誕辰，展示了歐拉角、歐拉公式、歐拉恒等式、歐拉示性數(shù)和七橋問題等。

為什么歐拉公式被稱為世界上最完美的公式了？

歐拉公式的巧妙之處在于，它沒有任何多余的內(nèi)容，將數(shù)學中最基本的e、i、π放在了同一個式子中，同時加入了數(shù)學也是哲學中最重要的0和1，再以簡單的加號相連。高斯曾經(jīng)說：“一個人第一次看到這個公式而不感到它的魅力，他不可能成為數(shù)學家?！?雖然不敢肯定她是世界上“最偉大公式"，但是可以肯定它是最完美的數(shù)學公式之一。

理由如下：

1、自然數(shù)的“e”含于其中。 自然對數(shù)的底，大到飛船的速度，小至蝸牛的螺線，誰能夠離開它？

2、最重要的常數(shù) π 含于其中。 世界上最完美的平面對稱圖形是圓?！白顐ゴ蟮墓健蹦軌螂x開圓周率嗎？ (還有π和e是兩個最重要的無理數(shù)！)

3、最重要的運算符號 含于其中。 之所以說加號是最重要的符號，是因為其余符號都是由加號派生而來。減號是加法的逆逆運算，乘法是累計的加法……

4、最重要的關(guān)系符號 = 含于其中。 從你一開始學算術(shù)，最先遇見它，相信你也會同意這句話。

5、最重要的兩個元在里面。零元0 ，單位1 ，是構(gòu)造群，環(huán)，域的基本元素。如果你看了有關(guān)《近世代數(shù)》的書，你就會體會到它的重要性。

6、最重要的虛單位 i 也在其中。 虛單位 i 使數(shù)軸上的問題擴展到了平面，而在哈密爾的 4 元數(shù)與 凱萊的 8 元數(shù)中也離開不了它。 之所以說她美，是因為這個公式的精簡。她沒有多余的字符，卻聯(lián)系著幾乎所有的數(shù)學知識。 有了加號，可以得到其余運算符號； 有了0，1，就可以得到其他的數(shù)字； 有了 π 就有了圓函數(shù)，也就是三角函數(shù)； 有了 i 就有了虛數(shù)，平面向量與其對應(yīng)，也就有了哈密爾的 4 元數(shù)，現(xiàn)實的空間與其對應(yīng)； 有了 e 就有了微積分，就有了和工業(yè)革命時期相適宜的數(shù)學。

歐拉公式，世界上最完美的公式

三角形中的歐拉公式： 設(shè)r為三角形外接圓半徑，r為內(nèi)切圓半徑，d為外心到內(nèi)心的距離，則： d＾2=r＾2-2rr

拓撲學里的歐拉公式： v f-e=x(p)，v是多面體p的頂點個數(shù)，f是多面體p的面數(shù)，e是多面體p的棱的條數(shù),x(p)是多面體p的歐拉示性數(shù)。 如果p可以同胚于一個球面（可以通俗地理解為能吹脹而繃在一個球面上），那么x(p)=2，如果p同胚于一個接有h個環(huán)柄的球面，那么x(p)=2-2h。 x(p)叫做p的歐拉示性數(shù)，是拓撲不變量，就是無論再怎么經(jīng)過拓撲變形也不會改變的量，是拓撲學研究的范圍。

在多面體中的運用: 簡單多面體的頂點數(shù)v、面數(shù)f及棱數(shù)e間有關(guān)系 v f-e=2 這個公式叫歐拉公式。公式描述了簡單多面體頂點數(shù)、面數(shù)、棱數(shù)特有的規(guī)律。

歐拉公式，世界上最完美的公式

初等數(shù)論里的歐拉公式： 歐拉φ函數(shù)：φ(n)是所有小于n的正整數(shù)里，和n互素的整數(shù)的個數(shù)。n是一個正整數(shù)。 歐拉證明了下面這個式子： 如果n的標準素因子分解式是p1^a1*p2^a2*……*pm^am，其中眾pj(j=1,2,……,m)都是素數(shù)，而且兩兩不等。則有 φ(n)=n(1-1/p1)(1-1/p2)……(1-1/pm) 利用容斥原理可以證明它。 此外還有很多著名定理都以歐拉的名字命名