賈明子：題外話、自然數(shù)的正確打開(kāi)方式?zhuanlan.zhihu.com

這里就不再細(xì)說(shuō)了。

康托爾的一個(gè)顯著不同的貢獻(xiàn)在于，他在史上第一次，開(kāi)始認(rèn)真地討論實(shí)無(wú)窮的概念。例如說(shuō)，他直接使用“全體自然數(shù)”、“全體實(shí)數(shù)”類似的概念，而這在絕大多數(shù)前人數(shù)學(xué)家看來(lái)是不被允許的：實(shí)無(wú)窮不可能被當(dāng)作一種已經(jīng)完成的數(shù)來(lái)看（參見(jiàn)上一章）。在康托爾看來(lái)，無(wú)窮不但是一個(gè)真實(shí)的數(shù)，而且還存在著不同的“大小”：有些無(wú)窮比另一些無(wú)窮更大。而對(duì)于無(wú)窮集合而言，集合的一部分不見(jiàn)得比整體的數(shù)目少。這是非常違反常識(shí)的，比如說(shuō)，全體自然數(shù)的自然數(shù)的數(shù)目多，還是全體正偶數(shù)的數(shù)目多？我們一般認(rèn)為，自然數(shù)有一半是奇數(shù)，另一半是偶數(shù)，那么毫無(wú)疑問(wèn)自然數(shù)的數(shù)目當(dāng)然要比偶數(shù)的數(shù)目多。但是，根據(jù)康托爾的定義，如果兩個(gè)集合的元素之間可以形成一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，那么它們的數(shù)目是一樣多的。很明顯自然數(shù)和偶數(shù)之間就存在著這樣的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系：每個(gè)自然數(shù)乘以2就對(duì)應(yīng)著一個(gè)偶數(shù)，而每個(gè)偶數(shù)除以2就對(duì)應(yīng)著一個(gè)自然數(shù)。既然自然數(shù)和偶數(shù)之間一一對(duì)應(yīng)，那么我們就應(yīng)該認(rèn)為自然數(shù)和偶數(shù)一樣多。

類似地，我們還可以認(rèn)為，“所有的自然數(shù)”和“所有大于100的自然數(shù)”的數(shù)目也是一樣多的，而絕非后者比前者多100個(gè)。這就產(chǎn)生了一個(gè)非常有意思的悖論，叫做“希爾伯特旅館悖論”。一個(gè)無(wú)窮多房間的旅館，里面住滿了客人。這是來(lái)了一個(gè)新的客人，他還有房間可住嗎？答案是有的！因?yàn)槁灭^的管理員只需要讓每個(gè)房間的客人向著“上一個(gè)房間號(hào)碼”搬一下家，自然就把1號(hào)客房騰出來(lái)給新客人住了！此外更加違反直覺(jué)的是另一個(gè)悖論，“巴那赫-塔斯基悖論”。這個(gè)悖論中，一個(gè)圓球可以用某種特殊的分割方式分成四份，然后我們?cè)侔阉匦陆M合“拼”回去，然而拼回去的，卻變成了兩個(gè)與原來(lái)一模一樣的圓球！實(shí)無(wú)窮就是這么奇妙。

除此之外，康托爾還指出，所有自然數(shù)的個(gè)數(shù)和所有有理數(shù)的個(gè)數(shù)也是一樣多的。因?yàn)榭梢宰C明存在著某種排列方式，可以把所有的有理數(shù)從頭到尾排成一條無(wú)限長(zhǎng)的隊(duì)伍，然后我們可以從頭到尾地把這些有理數(shù)來(lái)編號(hào)或者數(shù)一數(shù)。（證明過(guò)程并不難，但是這里就不多說(shuō)了。）像這種可以把所有的元素按照某種排列方式從頭到尾“排成長(zhǎng)隊(duì)”然后數(shù)一數(shù)的集合，被稱作“可數(shù)集”。顧名思義，可數(shù)集必然可以與自然數(shù)集形成一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，因而所有的可數(shù)集的數(shù)目都與自然數(shù)集是一樣多的。這個(gè)數(shù)目不是我們所知的任何有限數(shù)，而是一個(gè)真正的無(wú)窮大，康托爾把它稱作所謂的“阿列夫零”。

任意一個(gè)集合，我們難道不是都可以把它的所有元素進(jìn)行排隊(duì)嗎？事實(shí)上不是的，有的集合就沒(méi)有任何辦法對(duì)其排隊(duì)。例如實(shí)數(shù)集。比如說(shuō)我們把0當(dāng)做“排頭”，那么第二個(gè)是誰(shuí)呢？如果我們按大小排列，那么不論我們?cè)趺催x，總是存在著一個(gè)更接近0的實(shí)數(shù) – 我們沒(méi)有辦法找到“第二個(gè)”元素！事實(shí)上康托爾證明，不可能存在任何方式對(duì)實(shí)數(shù)集進(jìn)行這種排隊(duì)。這就叫做“不可數(shù)集”，也就是說(shuō)，自然數(shù)與實(shí)數(shù)就無(wú)法形成一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，自然數(shù)集總是只能對(duì)應(yīng)實(shí)數(shù)集的一部分。也就是說(shuō)，實(shí)數(shù)的數(shù)目要比自然數(shù)多。這是一個(gè)比無(wú)窮大的阿列夫零 還要大的無(wú)窮大 。- 當(dāng)然，康托爾證明還存在著更多的更大的無(wú)窮大。

關(guān)于康托爾的無(wú)窮大，引起了軒然大波，有人盛贊其為杰出的發(fā)現(xiàn)，而有人斥之為毫無(wú)意義的文字游戲。但是細(xì)節(jié)我這里不多說(shuō)了，有興趣的話推薦你去看看Courant寫(xiě)的《數(shù)學(xué)是什么》。

與皮亞諾和康托爾同時(shí)代的弗雷格，完成了這場(chǎng)關(guān)于數(shù)學(xué)嚴(yán)密化行動(dòng)的最后一擊，也是引起數(shù)學(xué)和哲學(xué)大地震的一擊。鑒于弗雷格理論中抽象復(fù)雜的邏輯運(yùn)算和各種專業(yè)的數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)，我這里不打算歷數(shù)他的具體理論，而是從哲學(xué)層面上介紹他的思想以及他的思想所產(chǎn)生的后果。

應(yīng)該說(shuō)，弗雷格是一個(gè)傳統(tǒng)的柏拉圖主義者。而如前所述，在當(dāng)時(shí)出現(xiàn)了若干與柏拉圖主義分庭抗禮的數(shù)學(xué)思想，例如：

1、 一些物理主義者斷言，數(shù)學(xué)本身是具體事物的體現(xiàn)，例如我們不能談?wù)摮橄蟮臄?shù)字 “3”，這個(gè)數(shù)字只能依附于具體的事物出現(xiàn)，是3個(gè)什么東西？3個(gè)蘋(píng)果？還是3只狗？如此等等。也就是說(shuō)，數(shù)學(xué)是“歸納”的，它是我們對(duì)具體事物的總結(jié)、整理、以及推廣。因而，嚴(yán)格講，所有的數(shù)學(xué)理論都是“錯(cuò)誤的”，因?yàn)樗鼈兌寄撤N理想化的產(chǎn)物，它們只能是對(duì)物理世界的近似，因而這些理想化的數(shù)學(xué)概念在現(xiàn)實(shí)中似乎不存在的。

2、 如康德主義所斷言，數(shù)學(xué)是先驗(yàn)綜合判斷。首先，數(shù)學(xué)是先驗(yàn)的，它不依賴于任何經(jīng)驗(yàn)和觀察；而同時(shí)，它又是綜合的，它斷言了不同事物之間的聯(lián)系，而不是事物本身蘊(yùn)含的、邏輯自明的性質(zhì)。這與分析判斷不同，因?yàn)榉治雠袛嗍窃趯?duì)事物本身所蘊(yùn)含的性質(zhì)進(jìn)行闡釋（例如“紅蘋(píng)果是紅的”。）因此數(shù)學(xué)不依賴于人們的經(jīng)驗(yàn)和觀察，但是也不能從純粹理性中加以徹底證明，它只能來(lái)自人們的先天的數(shù)學(xué)直覺(jué)。

3、 而一些比較極端的經(jīng)驗(yàn)主義者和唯心主義者（如洛克）則認(rèn)為，數(shù)學(xué)只是人們心智的產(chǎn)物：它是心理學(xué)概念，而不具備客觀性。相應(yīng)地，整個(gè)數(shù)學(xué)體系就是人們心靈的產(chǎn)物，是人為創(chuàng)造的，是一個(gè)發(fā)明，而不是一個(gè)發(fā)現(xiàn)。

弗雷格對(duì)上述的思想是懷有鄙視的。他反對(duì)數(shù)學(xué)的物理主義觀點(diǎn)，因?yàn)閿?shù)字并非具體事物的性質(zhì)，而是概念的性質(zhì)。如果我們堅(jiān)持認(rèn)為數(shù)字只能表達(dá)具體事物，那么零是何意義？負(fù)數(shù)又是何意義？我們說(shuō)數(shù)字3，完全不必指定3個(gè)具體何物，它完全可以是3個(gè)抽象的集合元素。而且我們完全可以討論3本身的、不依賴任何外物的性質(zhì)，例如它的奇偶性、素?cái)?shù)性等等。同時(shí)他也反對(duì)數(shù)學(xué)的心理學(xué)主張：如果數(shù)學(xué)只是心理學(xué)概念，那么數(shù)學(xué)命題的真假就毫無(wú)客觀性，而是因人而異的，這無(wú)疑完全破壞了數(shù)學(xué)的根基。

而他對(duì)康德主義的批判，則是他影響最大的工作。在這方面，他開(kāi)辟了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的第一個(gè)主要流派，邏輯主義。

在弗雷格看來(lái)，先驗(yàn)綜合判斷是一個(gè)很奇怪的東西。從這里出發(fā)，而把數(shù)學(xué)最終歸結(jié)為先驗(yàn)直覺(jué)，更加難以立住腳。直覺(jué)是一個(gè)說(shuō)不清道不明的東西，把整個(gè)數(shù)學(xué)建立在這種迷迷糊糊的基礎(chǔ)上未免太不可靠。而且我們經(jīng)歷過(guò)太多的貌似違反直覺(jué)而實(shí)際上是正確的判斷，因而我們根本就不能真正地把直覺(jué)當(dāng)做一種嚴(yán)肅的東西來(lái)對(duì)待。他于是回到了前康德時(shí)代的觀念：所有先驗(yàn)的，必定是分析的；而所有綜合的，必定不是先驗(yàn)的。因此他完全同意數(shù)學(xué)是一種先驗(yàn)知識(shí)，但是他反對(duì)數(shù)學(xué)是綜合知識(shí)這種說(shuō)法。他說(shuō)，數(shù)學(xué)它是一種被巧妙包裝的分析判斷，從表面上看貌似綜合判斷，如此而已。例如，我們打一個(gè)不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)谋确?，說(shuō)如下命題：

“旺財(cái)是一只狗?！?/p>

這個(gè)命題，看似是綜合的，因?yàn)樗枋隽恕巴?cái)”和“狗”兩個(gè)不相互蘊(yùn)含的事物之間的關(guān)系。但是，弗雷格說(shuō)，這種說(shuō)法是不對(duì)的。問(wèn)題出在“旺財(cái)”這個(gè)主語(yǔ)上。在數(shù)學(xué)中我們所說(shuō)的每一個(gè)概念都是由明確定義的，這個(gè)定義就包含了它的全部邏輯蘊(yùn)含。在這里我們說(shuō)“旺財(cái)”，并非指一個(gè)獨(dú)立的事物，而旺財(cái)本身是一個(gè)定義，是對(duì)這樣一只40斤的、饞嘴的、喜歡搖著尾巴隨時(shí)向我們賣萌撒嬌的、黑白色的、汪汪叫的動(dòng)物的命名 – 這種動(dòng)物叫做狗。那么上述命題說(shuō)的其實(shí)是：

“這只被命名為旺財(cái)?shù)墓肥枪贰！?/p>

這當(dāng)然是一個(gè)分析命題。因?yàn)樽鳛槎x的“旺財(cái)”本身就蘊(yùn)含了“是一只狗”的性質(zhì)。類似地，康德說(shuō)，2+3從這兩個(gè)數(shù)字本身并不蘊(yùn)含任何關(guān)于5的性質(zhì)，因而2+3=5是一個(gè)綜合判斷。但是實(shí)際上，從2、3、以及“+”的定義中，我們應(yīng)該可以找到一種必然的蘊(yùn)含關(guān)系：2+3本身就蘊(yùn)含了所有的5的性質(zhì)，因而它應(yīng)該是一個(gè)分析判斷。我們所要做的，就是要對(duì)2、3、“+”做出合理的定義來(lái)使得這種判斷是分析的 – 因而也就是必然的和先驗(yàn)的。而這種定義，也必然僅僅用到邏輯定律，而不包含其余，它是純邏輯的，因而必然是分析的。只有純邏輯的基礎(chǔ)，才是我們所能做到的最牢固的基礎(chǔ)。推而廣之，整個(gè)數(shù)學(xué)就是一種精巧包裝的復(fù)雜的邏輯關(guān)系，而不應(yīng)包含任何額外的非邏輯的“原生”數(shù)學(xué)成分。

事實(shí)上，任何一個(gè)定義，必須是基于其它已經(jīng)定義好的概念之上的，而不能用自身定義自身。那么我們?nèi)绻扛鶈?wèn)底，就會(huì)陷入無(wú)限遞歸而無(wú)從自拔。所以，我們總會(huì)有一個(gè)起點(diǎn)，在這個(gè)起點(diǎn)上，一切概念都非定義的，我們只能通過(guò)一些判斷來(lái)敘述和限制這些未嚴(yán)格定義的概念，使其成為其他一切概念的基礎(chǔ)。這種敘述和限制就是公理。邏輯主義很自然地認(rèn)為，公理，其實(shí)就是一種偽裝成判斷的原生定義。它是理論起點(diǎn)，但是并非我們以前認(rèn)為的、是理論本身的起點(diǎn)，而是理論的邏輯起點(diǎn)。在弗雷格這里，這個(gè)起點(diǎn)就是集合論。

總而言之，物理主義把數(shù)學(xué)歸結(jié)為對(duì)具體事物的歸納，康德主義把數(shù)學(xué)歸結(jié)為直覺(jué)，經(jīng)驗(yàn)主義把數(shù)學(xué)歸結(jié)為心理。而邏輯主義站起來(lái)說(shuō)，No no，你們?nèi)e(cuò)了！數(shù)學(xué)應(yīng)該歸結(jié)為純邏輯！數(shù)學(xué)就是邏輯學(xué)的一個(gè)分支。為了達(dá)成這一目標(biāo)，弗雷格必須要證明數(shù)學(xué)是純分析的，也就是說(shuō)，他需要建立一套邏輯體系，僅在這套邏輯體系中，通過(guò)基本的邏輯原理，即可定義和演繹出全部的數(shù)學(xué)。

弗雷格對(duì)數(shù)字的看法，用最簡(jiǎn)的語(yǔ)言說(shuō)來(lái)就是：數(shù)字是一種特殊的集合，是集合的集合。而集合則是純邏輯的產(chǎn)物。如何理解集合是純邏輯產(chǎn)物呢？從邏輯上講，任何一個(gè)概念都有著它的外延。也就是說(shuō)，對(duì)任何一個(gè)概念而言，滿足這個(gè)概念屬性的所有事物就是它的外延。弗雷格說(shuō)，這些所有事物就構(gòu)成一個(gè)集合。弗雷格接著引入了一個(gè)原理，被稱作“第五定律（Basic Law V）”，這個(gè)原理是這么說(shuō)的（大致意思）：兩個(gè)概念F和G，F(xiàn)和G的外延相等的充要條件是滿足它們的每一個(gè)對(duì)象都相等。再通俗一點(diǎn)說(shuō)，就是性質(zhì)F定義的集合和性質(zhì)G定義的集合，這兩個(gè)集合相等的充要條件是F集合的每一個(gè)元素都與G集合的每一個(gè)元素相等（這是一個(gè)看似一目了然的、幾乎像是個(gè)廢話的原理。可誰(shuí)能想到就是它出了大問(wèn)題。）。接下來(lái)，他用這個(gè)原理證明了所謂的“休謨?cè)?/b>”：兩個(gè)概念的外延之間如果有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，那么這兩個(gè)概念就是“等基數(shù)”的。因而，所有等基數(shù)的概念，由它們的外延構(gòu)成的集合之間就是一一對(duì)應(yīng)的。弗雷格接著說(shuō)，所有的這些等數(shù)的概念的外延（所有這些所含元素一一對(duì)應(yīng)的集合）的集合（這些集合的集合），就是我們對(duì)自然數(shù)的定義。

前面這段話有點(diǎn)繞，我們可以用人類的語(yǔ)言重新表達(dá)一下。比如說(shuō)，對(duì)于“粲粲一家”這個(gè)概念，它的外延就是“爸爸、媽媽、粲粲”，它們構(gòu)成一個(gè)集合{爸爸、媽媽、粲粲}，這個(gè)集合就確定了“粲粲一家”的基數(shù)。而對(duì)于“粲粲家的寵物”這個(gè)概念，它的外延就是“旺財(cái)、來(lái)福、小烏龜”，它們同樣也構(gòu)成一個(gè)集合{旺財(cái)、來(lái)福、小烏龜}，這個(gè)集合也就確定了“粲粲家的寵物”的基數(shù)。我們可以看到，前面這兩個(gè)集合元素之間是一一對(duì)應(yīng)的：如果我們各自選擇喂一只寵物，如爸爸喂旺財(cái)，媽媽喂來(lái)福，粲粲喂小烏龜，結(jié)果就是每個(gè)人都喂一只寵物，而每個(gè)寵物都有一個(gè)人來(lái)喂。這兩個(gè)集合一一對(duì)應(yīng)，所以“粲粲一家”和“粲粲家的寵物”兩個(gè)概念是等基數(shù)的。等基數(shù)的概念可以有無(wú)窮多個(gè)，我們可以輕易列舉，例如， “TFBOYS”和前面的概念也是等基數(shù)的。這里所說(shuō)的基數(shù)是屬于某一個(gè)特定的概念的，它不可能是數(shù)字本身，因?yàn)閿?shù)字本身是一個(gè)獨(dú)立的、不從屬于任何一個(gè)單一概念的東西，那么如何從這些概念的基數(shù)推出獨(dú)立的數(shù)字的定義呢？很簡(jiǎn)單，所有與“粲粲一家”等基數(shù)的概念（“粲粲家的寵物”、“TFBoys”、“哈利羅恩赫敏三人組”、……），它們各自的外延所構(gòu)成的集合的元素之間都是一一對(duì)應(yīng)的，它們每一個(gè)集合都有一個(gè)性質(zhì)“三性（threeness）”，而所有這些有“三性”的集合的集合，就是數(shù)字3的定義。同理，所有“五個(gè)元素”構(gòu)成的集合的元素之間也是一一對(duì)應(yīng)的，它們都有“五性（fiveness）”，這些集合的集合就是數(shù)字5的定義。如此等等。

根據(jù)這種思想，弗雷格給出了自然數(shù)的具體定義[1]。首先，0屬于那些沒(méi)有任何外延的概念。具體講，就是所有“自身與自身不等價(jià)”的集合的集合 – 當(dāng)然這個(gè)“自身與自身不等價(jià)”的集合是不存在的，因而0就是空集。

而剩下的自然數(shù)就可以以皮亞諾的方式向下遞歸定義出來(lái)。這個(gè)遞歸的“后繼數(shù)”是這樣定義的：

對(duì)一個(gè)基數(shù)為n的概念F，我們已知F所定義的集合中的一個(gè)元素x。如果G是這樣的一個(gè)概念：“F定義的集合所包含的、但是不包括x”，G的基數(shù)是m，那么n是m的后繼數(shù)。

我們可以看出，上面這段話，其實(shí)是在用一種很繁瑣的、但是邏輯上很嚴(yán)格的方式在定義n=m+1。N就是m的后繼數(shù)。這樣從零開(kāi)始，每個(gè)數(shù)都有這樣的后繼數(shù)定義，因而整個(gè)自然數(shù)就被定義了。進(jìn)而可以通過(guò)戴德金的手法定義整個(gè)實(shí)數(shù)域。

弗雷格的整個(gè)推論過(guò)程，可以說(shuō)是很嚴(yán)密很牢靠了。至少看起來(lái)如此。1893年，他完成了著作《算術(shù)的基本定律》，把這種對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的重新構(gòu)建系統(tǒng)化地發(fā)表了。對(duì)這本書(shū)他顯然很得意，他說(shuō)：

“我希望現(xiàn)在我可以宣布，本書(shū)使得這樣的努力成為可能：把算術(shù)的基本原理歸結(jié)為分析判斷、進(jìn)而證明它們是先驗(yàn)的。這樣一來(lái)算術(shù)只不過(guò)是邏輯的一種延伸。數(shù)學(xué)的每一個(gè)判斷都是一種邏輯定律，或是其推演物。在科學(xué)中應(yīng)用數(shù)學(xué)就是在觀察到的事實(shí)中應(yīng)用邏輯關(guān)系；計(jì)算就是推理?！?/i>

1902年，在他的著作第二卷即將發(fā)表之時(shí)，53歲的弗雷格收到了一個(gè)30歲年輕人的來(lái)信。這個(gè)年輕人，就是羅素；在這封信中，羅素表達(dá)了它對(duì)弗雷格猶如滔滔江水連綿不絕般的崇敬，然而，在信中的末尾，看似不起眼的一個(gè)小小的“但是”，卻摧毀了弗雷格的一切。弗雷格突然發(fā)現(xiàn)，他建立的牢固邏輯基礎(chǔ)本身，坐落在一個(gè)松軟的沙灘上搖搖欲墜。這里主要有兩個(gè)原因，一個(gè)是他大量使用“概念的外延”來(lái)定義集合，也就是說(shuō)用一個(gè)性質(zhì)來(lái)定義一個(gè)集合（非限制概括公理）；另一個(gè)，是他大量地使用“集合的集合”、“集合的集合的集合”這類嵌套集合。而羅素指出，這是不能隨意使用的。這會(huì)必然導(dǎo)致邏輯矛盾，而這個(gè)矛盾是后來(lái)大名鼎鼎的“羅素悖論”。

羅素悖論是如何引發(fā)矛盾的呢？如果你可以回憶起我們第一部分的內(nèi)容，在第13章中有詳細(xì)說(shuō)明，這里我就不再贅述了。

賈明子：13、只緣身在此山中?zhuanlan.zhihu.com

羅素悖論在數(shù)學(xué)史上是一個(gè)極其鮮明的轉(zhuǎn)折點(diǎn)，應(yīng)該說(shuō)它的提出其重要性絲毫不亞于無(wú)理數(shù)、虛數(shù)、以及非歐幾何的發(fā)現(xiàn)。它所產(chǎn)生的影響，是當(dāng)人們終于看到了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問(wèn)題的曙光時(shí)，又一次讓確定的數(shù)學(xué)真理之夢(mèng)變得虛無(wú)縹緲。事實(shí)上，在同時(shí)代還有若干個(gè)其它版本的悖論，它們都與羅素悖論相類似，而羅素悖論一起簡(jiǎn)潔和確定性成為這些悖論的代表。弗雷格看到羅素的信件之后，立即認(rèn)識(shí)到自己理論的缺陷，然而當(dāng)時(shí)他的第二卷著作已經(jīng)付印，不可能再進(jìn)行修改，他只得在書(shū)中加了這樣一段補(bǔ)遺：

“在工作完美收官之際，卻突然發(fā)現(xiàn)整個(gè)基礎(chǔ)都必須要放棄，對(duì)一個(gè)科學(xué)家來(lái)說(shuō)沒(méi)有什么能比這個(gè)更加不幸的了。是羅素的一封信件讓我認(rèn)識(shí)到這一點(diǎn)，我不得不在本書(shū)即將出版之際加以說(shuō)明?！?/i>

我們可以想見(jiàn)，弗雷格當(dāng)時(shí)的心情是何等沮喪。弗雷格在余生再也沒(méi)能夠從這個(gè)打擊中恢復(fù)過(guò)來(lái)。

弗雷格消沉了，但是始作俑者羅素卻接過(guò)了接力棒，繼續(xù)他的探索。羅素雖然發(fā)現(xiàn)了弗雷格的缺陷，但是他卻堅(jiān)信弗雷格的思想是一條康莊大道：數(shù)學(xué)，歸根結(jié)底就是邏輯。悖論不可怕，只要能想辦法解決之，悖論會(huì)推動(dòng)而不是打擊數(shù)學(xué)的發(fā)展，人們終將意識(shí)到數(shù)學(xué)的本質(zhì)。

其實(shí)羅素早在弗雷格還沒(méi)有完成他的工作之時(shí)就已經(jīng)深受悖論的困擾。為了解決這些悖論，他仔仔細(xì)細(xì)地研究了當(dāng)時(shí)的幾個(gè)著名的代表，最后他認(rèn)定，這些悖論有一個(gè)基本的根源：它們都是自指的。也就是說(shuō)，它們自己引用了自己。弗雷格的集合論中允許用一個(gè)性質(zhì)來(lái)定義一個(gè)集合，因而它是躲不過(guò)這種自指怪圈的，比如說(shuō)，“有無(wú)窮多個(gè)元素的集合”這個(gè)性質(zhì)本身也包含了無(wú)窮多個(gè)元素，因而它自己必然要包含它自己。我們形象地把集合當(dāng)做一個(gè)可以“裝”某種性質(zhì)的事物的口袋，那么我們可以說(shuō)“可以裝下所有蘋(píng)果的口袋”，但是“可以裝下所有口袋的口袋”，就需要它自己裝下它自己了！羅素把這種“自指”成為“惡性循環(huán)”（vicious circle）。要想消除悖論，就必須躲過(guò)惡性循環(huán)。他的方案就是“分層”。

這個(gè)方案極其復(fù)雜，我也不能深刻理解，它的大意是，集合是“分層”的：基本的具體對(duì)象是最底層，這些對(duì)象的集合和對(duì)象的性質(zhì)是第二層，這些對(duì)象的集合的集合、性質(zhì)的性質(zhì)是第三層，以此類推。這樣一來(lái)，諸如“所有集合的集合”之類就不再包含它自己了：因?yàn)樗潜取八屑稀备弦粚拥母拍睢＿@樣一來(lái)我們就可以繼續(xù)使用集合論中那些有效的部分，又避免了悖論的產(chǎn)生。但是代價(jià)就是理論極盡繁復(fù)之能事：我們沒(méi)涉及一個(gè)集合就必須要搞清楚它是“哪一層”的，進(jìn)而要一層層向下窮究，原本一兩行就可以說(shuō)明的事情，需要幾十頁(yè)才行 – 而且還不總是可行。據(jù)稱這套三卷2000頁(yè)的巨著，知道300多頁(yè)之后才開(kāi)始定義自然數(shù)“1”，而直到600多頁(yè)才開(kāi)始定義加法！此外，為了解決層層嵌套帶來(lái)的麻煩，羅素還引入了一個(gè)公理，叫做“還原公理（axiom of reducibility）”，這個(gè)公理的大意是說(shuō)，一個(gè)高層集合的邏輯描述總是可以表示為等效的底層對(duì)象的邏輯描述[2] – 這樣一來(lái)我們就可以把所有的高層對(duì)象全部“拉低”到最底層，從而省去了大量的層層嵌套帶來(lái)的邏輯困難。

這是什么鬼？且不說(shuō)這個(gè)公理的有效性如何，從根本上說(shuō)，它就不是一個(gè)邏輯定律 – 它不是純邏輯的。那么羅素的整個(gè)工作的初衷 – 把數(shù)學(xué)還原成為純邏輯 – 就被徹底破壞掉了。羅素本人也為這個(gè)公理反復(fù)糾結(jié)，最終只能承認(rèn)它并非邏輯必需。更何況，羅素在他的理論中用到了無(wú)窮公理和選擇公理，這兩個(gè)貨雖然不那么不招人待見(jiàn)，但是一般也不被認(rèn)可為純邏輯公理，因而數(shù)學(xué)的邏輯化就難以為繼。最后，他只能無(wú)奈地宣稱，或許集合論也不是數(shù)學(xué)中最基礎(chǔ)的理論，我們?cè)跀?shù)學(xué)基礎(chǔ)探索道路上可能還有很長(zhǎng)的路要走。

此時(shí)的邏輯主義面臨的情況，可以用一句詩(shī)來(lái)描述，“云橫秦嶺家何在，雪擁藍(lán)關(guān)馬不前?！?/b>

邏輯主義之路雖然暫時(shí)進(jìn)入進(jìn)退維谷的境況，但是弗雷格和羅素的工作卻無(wú)疑極具啟發(fā)性和開(kāi)創(chuàng)性。在羅素陷入苦戰(zhàn)的同時(shí)，另外一個(gè)思路出現(xiàn)了，就是公理化集合論。這個(gè)思路的要義是， “滿足一個(gè)性質(zhì)的所有對(duì)象構(gòu)成一個(gè)集合”這樣的前提導(dǎo)致了悖論，那么說(shuō)明這種對(duì)集合的約定方式有不妥之處。我們只要試著對(duì)集合的概念提出一些規(guī)則，增加一些限制，結(jié)果讓悖論消失就行了。同時(shí)，樸素的集合論雖然陷入悖論，但是它取得的成功卻是極有價(jià)值的。我們對(duì)它的限制又不能過(guò)于嚴(yán)格，把它給限死了。這個(gè)補(bǔ)丁怎么個(gè)打法？與邏輯主義的出發(fā)點(diǎn)不同，它不追求把數(shù)學(xué)還原為邏輯，而是要找到一種平衡，適當(dāng)?shù)刂贫ǔ鲆?guī)則，在規(guī)則下既能實(shí)現(xiàn)邏輯自洽，又能最大可能地保留原有成果。于是就有了ZFC公理體系，這個(gè)公理體系在樸素集合論的基礎(chǔ)上修正、增加了若干公理，對(duì)集合的用法加以限制，這樣做的結(jié)果在操作層面上是相當(dāng)成功的。這種思路，其實(shí)就是把數(shù)學(xué)基礎(chǔ)看作是一系列規(guī)則的組合，而整個(gè)數(shù)學(xué)，就像是一個(gè)棋類游戲一樣，在規(guī)則內(nèi)衍生變化，得到一個(gè)完整的棋局。這樣一來(lái)，數(shù)學(xué)本身并沒(méi)有什么現(xiàn)實(shí)的含義 – 它只是一種游戲規(guī)則，是一種形式語(yǔ)言。只有當(dāng)我們把它應(yīng)用到現(xiàn)實(shí)事物中，它才有了現(xiàn)實(shí)含義。這種觀點(diǎn)的代表人物就是希爾伯特，而這種觀點(diǎn)則被稱為數(shù)學(xué)的“形式主義”綱領(lǐng)。

舉個(gè)例子說(shuō)，我們前面提到的三段論推理：

（大前提）所有的狗狗都會(huì)汪汪叫；

（小前提）旺財(cái)是一只狗狗；

（所以）旺財(cái)會(huì)汪汪叫。

這里面“旺財(cái)”、“狗狗”、“汪汪叫”是現(xiàn)實(shí)問(wèn)題賦予這個(gè)推演規(guī)則的含義。而這個(gè)推理本身是純形式的，我們完全可以把它寫(xiě)成：

所有的A都有B的性質(zhì)；

C屬于A；

所以C有B的性質(zhì)。

希爾伯特說(shuō)，數(shù)學(xué)體系中所包含的一切數(shù)學(xué)概念，我們可以把它隨便替換，例如把數(shù)字全部換成“啤酒”、“桌子”，這不會(huì)影響數(shù)學(xué)體系的有效性 – 因?yàn)樗徊贿^(guò)是一個(gè)形式體系而已。我們完全可以說(shuō)：

所有的啤酒都會(huì)汪汪叫；

桌子屬于啤酒；

所以桌子會(huì)汪汪叫。

這個(gè)看起來(lái)很滑稽無(wú)厘頭的推理，從形式上是毫無(wú)問(wèn)題的。它的真假知識(shí)在我們把它賦予一定含義時(shí)才會(huì)發(fā)生。從純數(shù)學(xué)角度，一個(gè)命題為“真”就是指它在現(xiàn)有的規(guī)則框架下可以證明為自洽（不矛盾），而“假”則是它被證明為矛盾。而數(shù)學(xué)命題本身完全沒(méi)有物理意義上的現(xiàn)實(shí)含義，也不會(huì)有理念世界中的“存在”或“不存在”之分。

這種看法繞開(kāi)了許多麻煩的問(wèn)題，但是會(huì)讓很多人，尤其是持有實(shí)在論觀點(diǎn)的人很不舒服。例如說(shuō)，如果數(shù)學(xué)只是一套高級(jí)的游戲，那么為何自古代以來(lái)，各個(gè)文明會(huì)各自獨(dú)立地分別建立起相同的算術(shù)和幾何體系？他們難道不會(huì)建立起不同的游戲規(guī)則嗎？例如幾何的畢達(dá)哥拉斯定理和勾股定理說(shuō)的是同一回事，是中國(guó)和古希臘各自獨(dú)立建立的。如果說(shuō)它們只是一個(gè)特定公理體系指定的游戲規(guī)則，為何古希臘人和先秦中國(guó)人會(huì)心有靈犀？類似的例子不要太多。另外，如果數(shù)學(xué)只是一個(gè)游戲，為何數(shù)學(xué)會(huì)如此和諧地用于實(shí)證科學(xué)？

如果說(shuō)這種詰難尚可自圓其說(shuō)，另一個(gè)困難它就很難回答了。形式主義對(duì)數(shù)學(xué)體系的最低要求就是自洽性。也就是說(shuō)，這種規(guī)則體系中必須要保證沒(méi)有任何矛盾之處。我們不能在我們的規(guī)則下同時(shí)得到一個(gè)命題A為真且不為真。這不僅僅是矛盾律的要求，而且是這個(gè)套規(guī)則是否有效的判據(jù)。因?yàn)椋绻覀兡呐率侵挥幸粋€(gè)矛盾，我們就可以利用這個(gè)矛盾證明所有的命題全部為真。那么這套規(guī)則就毫無(wú)意義。比如說(shuō)，我們有一套公理體系，對(duì)某一個(gè)極特殊的命題A得到了同時(shí)為真又為假的結(jié)論，那么，我可以用它來(lái)證明這樣一個(gè)命題：“爸爸是一盤(pán)意大利面”。

首先，既然A為真，那么“爸爸是意大利面”和“A”兩者至少有一個(gè)為真。

既然“爸爸是意大利面”和“A”兩者至少有一個(gè)為真，而A為假，那么，“爸爸是一盤(pán)意大利面”就必然為真。

所以，對(duì)形式主義者而言，能夠證明一套規(guī)則自身的自洽性就是一個(gè)必需的要求。這在1900年提出的著名的“希爾伯特綱領(lǐng)”中，是位列第二的問(wèn)題。希爾伯特本人對(duì)此堅(jiān)稱：

“我們必須做到，我們終將做到?！?/i>

這句話也是他的墓志銘。

然而，我們可以回想一下第一部分地14章“邏輯不確定性”談到的哥德?tīng)柌煌陚涠ɡ?。這個(gè)定理之間證明了，算術(shù)系統(tǒng)不可能證明自身的自洽性。這給了希爾伯特墓碑上憑空增加了古希臘神話式的悲劇性 。

賈明子：14、邏輯不確定性?zhuanlan.zhihu.com

而此時(shí)，以數(shù)學(xué)家布勞威爾為首的另一批人，則有著明顯的康德主義傳承。他認(rèn)為，邏輯主義和形式主義都是錯(cuò)誤的。數(shù)學(xué)就存在于數(shù)學(xué)家的意識(shí)中，是建立在康德式的“數(shù)學(xué)直覺(jué)”之上的體系。它的最終起源是時(shí)間這個(gè)“數(shù)學(xué)的原生直觀”，它是人類智慧的先天框架，也是人類智慧建筑在直觀之上的構(gòu)建物。而數(shù)學(xué)的客觀性體現(xiàn)在數(shù)學(xué)直覺(jué)這種人類知性的先天形式中。這種觀點(diǎn)被稱作“直覺(jué)主義”。布勞威爾說(shuō)：

“在數(shù)學(xué)中，存在就意味著由直觀構(gòu)建出來(lái)。它的形式語(yǔ)言是否自洽這一點(diǎn)都不重要，不但不重要，而且連對(duì)數(shù)學(xué)存在的檢驗(yàn)都算不上?！?/i>

直覺(jué)主義有兩個(gè)鮮明的特征，第一個(gè)，它激烈反對(duì)實(shí)無(wú)窮的概念。在它看來(lái)，數(shù)學(xué)是人類智慧構(gòu)建的，而人類的智慧總是有限的，因而不可能對(duì)一個(gè)已完成的無(wú)窮大進(jìn)行任何直觀上的構(gòu)建。康托爾的超限數(shù)和實(shí)無(wú)窮，實(shí)在是一種妄自尊大的胡言亂語(yǔ)。

第二個(gè)，就是它對(duì)構(gòu)建的熱衷。它認(rèn)為數(shù)學(xué)存在的一切，都應(yīng)該能夠被數(shù)學(xué)家以有限的步驟構(gòu)建出來(lái)，而那種無(wú)法被構(gòu)建、又能通過(guò)反證法證明（如果不存在則證明產(chǎn)生矛盾）的所謂的“存在”毫無(wú)意義。一個(gè)無(wú)法被真正構(gòu)建出來(lái)的東西，談何存在？其實(shí)我們可以看到這種觀點(diǎn)受到了經(jīng)驗(yàn)主義影響的痕跡，經(jīng)驗(yàn)主義說(shuō)，一個(gè)不能被觀察的東西，談何存在？因而，直覺(jué)主義旗幟鮮明地反對(duì)把邏輯的排中律 - 一個(gè)命題要么是真的，要么是假的 - 應(yīng)用于無(wú)限集，這是一種不可靠的推廣。在一個(gè)有限集中，我們可以通過(guò)歷數(shù)的方式證明排中律，但是在一個(gè)包含了無(wú)限多的事物中，一定存在既非真又非假的命題 – 因?yàn)槲覀儧](méi)有任何的現(xiàn)有辦法對(duì)它進(jìn)行判定。那么，反證法（歸謬法）的運(yùn)用必將受到極大的限制，甚至淪為無(wú)用之舉：有限集中我們可以通過(guò)遍歷的方法取代它，而無(wú)限集中它被禁止使用。

直覺(jué)主義與形式主義形成了激烈沖突，表現(xiàn)為希爾伯特與布勞威爾之間的持續(xù)嘴炮。希爾伯特說(shuō)：

“沒(méi)有人能夠把我們從康托爾為我們建立的樂(lè)園（指實(shí)無(wú)窮，括弧中為我添加，非原文。）中驅(qū)趕出去！”

在布勞威爾剛剛出道時(shí)，展現(xiàn)出了優(yōu)秀的數(shù)學(xué)天賦，曾經(jīng)得到希爾伯特的賞識(shí)，并力邀他加入自己主編的《數(shù)學(xué)年鑒》的編委會(huì)。但是隨著兩人觀點(diǎn)越來(lái)越分歧，兩人的關(guān)系急劇惡化，爭(zhēng)論也越來(lái)越有火藥味。后來(lái)希爾伯特更加用了一點(diǎn)不太光彩的手段，把布勞威爾從編委會(huì)中踢出去。這個(gè)被愛(ài)因斯坦蔑視地稱之為“蛙鼠之爭(zhēng)”。

直覺(jué)主義的真正困難在于，他們?cè)噲D在剔除實(shí)無(wú)窮和歸謬法的情況下重建整個(gè)數(shù)學(xué)體系，但是這個(gè)過(guò)程并不成功，很多原有的有意義（哪怕是直覺(jué)主義的視角中）的定理無(wú)法被建立，他們的重建過(guò)程只能完成一小部分。另外一個(gè)直覺(jué)主義者外爾坦言“這是一個(gè)令人汗顏的尷尬”。主流的數(shù)學(xué)家們沒(méi)有幾個(gè)真正相信直覺(jué)主義。它作為一個(gè)思想綱領(lǐng)得以存活，主要是他的領(lǐng)袖的數(shù)學(xué)才能，以及它產(chǎn)生了很多后來(lái)應(yīng)用于計(jì)算機(jī)算法的理論。

總而言之，在現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)端，隨著形式邏輯和集合論的發(fā)展，人們終于對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問(wèn)題作出了重大突破，從原來(lái)的毫無(wú)邏輯基礎(chǔ)，終于開(kāi)始看上去比較牢靠了，盡管這些牢靠的基礎(chǔ)仍然是建立在沙灘之上。舊的問(wèn)題得以解決，而新的、更加深刻的問(wèn)題產(chǎn)生了。針對(duì)這些問(wèn)題，邏輯主義試圖把數(shù)學(xué)歸結(jié)為純邏輯，形式主義試圖把數(shù)學(xué)歸結(jié)為無(wú)意義的形式語(yǔ)言；而直覺(jué)主義則把它歸結(jié)為心靈的直覺(jué)。三個(gè)思想綱領(lǐng)各自面臨著自己的困難而舉步維艱。但是三個(gè)思想綱領(lǐng)同時(shí)各有傳承在堅(jiān)持不懈地奮力前行。例如羅素之后多年，在上世紀(jì)80年代，新邏輯主義又有了發(fā)現(xiàn)，把數(shù)學(xué)歸結(jié)為邏輯這條道路似乎有了新的曙光。

在這種情形下，古老的柏拉圖主義開(kāi)始煥發(fā)第二春，一個(gè)全新的“數(shù)學(xué)柏拉圖主義”正在醞釀形成。