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二元二次方程組的九種解法

 百眼通 2018-04-10

解二元二次方程組是初中數(shù)學中的重要內(nèi)容,它綜合了解方程()的各類知識和方法.解二元二次方程組的關鍵是根據(jù)方程組的特征,靈活運用消元降次的要領.現(xiàn)舉幾例供同學們復習時參考.

一、代入法

由一個二次方程和一個一次方程所組成的方程組通常用代入法來解,這是基本的消元降次方法.

解:由②,得y=2x1. ③

把③代入①,得15x223x+8=0

二、因式分解法

在二元二次方程組中,至少有一個方程可以分解時,可采用因式分解法通過消元降次來解.

2 解下列方程組:

解:(1)將第一個方程分解為(xy)(x2y)=0,則原方程組可化為兩個新方程組:

以下略.

(2)將方程組的兩個方程都因式分解后,原方程組可化為四個新方程組來解:

以下略.

三、配方法

解.

:①±②×2,分別得xy=±9xy=±11

于是原方程組可化為四個新方程組:

以下略.

四、韋達定理法

解:由①+②×2,得(xy)2=49x+y=±7. ③

由②和③,根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)關系,可得m2±7m+12=0

解這兩個方程,得m1=3m2=4,m3=3,m4=4

五、消常數(shù)項法

當方程組的兩個方程都缺一次項時,可用消去常數(shù)項的方法解.

解:①-②×2,得x22xy+y2=0,即(xy)2=0

以下略.

六、兩式相除法

分析:因為方程組中的②的左邊不等于零,并且能整除第一個方程的左邊,故兩式相除,既不失根,又可達到降次的目的.

解:顯然x+y=20

①÷②,得xy=8

七、加減法

如果方程組里兩個方程有一個未知數(shù)的同次項的系數(shù)成比例,可將這個未知數(shù)的系數(shù)化為絕對值相等,再用加或減消去這個未知數(shù),從而得到另一個未知數(shù)的一元二次方程再解.

解:①×2-②,得3y28y1=0.解出y值后,求原方程組的解便水到渠成.

以下略.

八、換元法

檢驗略.

九、用根的判別式法

這時方程組的解.

解:y=2x+m代入y2=4x整理,得4x2+4(m1)x+m2=0.方程組僅有一個實數(shù)解,說明x的二次方程有兩個相等的實數(shù)解,故有Δ=0,

江蘇宜興市大塍中學 吳耀華

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