兩個(來自正交規(guī)范向量空間)向量 a = [a₁, a₂, … , a_n] 和 b = [b₁, b₂, … , b_n] 的點積定義為:

這里的 Σ 指示總和符號。

例如，兩個三維向量 [1, 3, ?5] 和 [4, ?2, ?1] 的點積是

使用矩陣乘法并把(縱列)向量當作 n×1 矩陣，點積還可以寫為:

這里的 a^T 指示矩陣 a 的轉置。

使用上面的例子，這將結果一個 1×3 矩陣(就是行向量)乘以 3×1 向量(通過矩陣乘法的優(yōu)勢得到 1×1 矩陣也就是標量):

兩個向量 a 和 b 的叉積寫作 a × b （有時也被寫成 a ∧ b，避免和字母 x 混淆）。叉積可以被定義為：

在這里 θ 表示 a 和 b 之間的角度（0° ≤ θ ≤ 180°），它位于這兩個矢量所定義的平面上。而 n 是一個與 a 和 b 均垂直的單位矢量。

這個定義有一個問題，就是同時有兩個單位向量都垂直于 a 和 b：若 n 滿足垂直的條件，那么 -n 也滿足。

“正確”的向量由向量空間的方向確定，即按照給定直角坐標系 (i, j, k) 的左右手定則。若 (i, j, k) 滿足右手定則，則 (a, b, a × b) 也滿足右手定則；或者兩者同時滿足左手定則。

一個簡單的確定滿足“右手定則”的結果向量的方向的方法是這樣的：若坐標系是滿足右手定則的，當右手的四指從a以不超過180度的轉角轉向b時，豎起的大拇指指向是c的方向。由于向量的叉積由坐標系確定，所以其結果被稱為偽向量。

給定直角坐標系的單位向量 i，j，k 滿足下列等式：

i × j = k           j × k = i           k × i = j

通過這些規(guī)則，兩個向量的叉積的坐標可以方便地計算出來，不需要考慮任何角度：設

a = a₁i + a₂j + a₃k = [a₁, a₂, a₃]

b = b₁i + b₂j + b₃k = [b₁, b₂, b₃]

則

a × b = [a₂b₃ ? a₃b₂, a₃b₁ ? a₁b₃, a₁b₂ ? a₂b₁]

上述等式可以寫成矩陣的行列式的形式：

叉積也可以用四元數(shù)來表示。注意到上述 i，j，k 之間的叉積滿足四元數(shù)的乘法。一般而言，若將向量 [a₁, a₂, a₃] 表示成四元數(shù) a₁i + a₂j + a₃k，兩個向量的叉積可以這樣計算：計算兩個四元數(shù)的乘積得到一個四元數(shù)，并將這個四元數(shù)的實部去掉，即為結果。更多關于四元數(shù)乘法，向量運算及其幾何意義請參見四元數(shù)與空間旋轉。

拉格朗日公式

• 這是一個著名的公式，而且非常有用：

a × (b × c) = b(a · c) ? c(a · b),

可以簡單地記成“BAC - CAB”。這個公式在物理上簡化向量運算非常有效。需要注意的是，這個公式對微分算子不成立。

這里給出一個和梯度相關的一個情形：

這是一個霍奇拉普拉斯算子的霍奇分解 的特殊情形。

• 另一個有用的拉格朗日恒等式是：

這是一個在四元數(shù)代數(shù)中范數(shù)乘法 | vw | = | v | | w | 的特殊情形。

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幾何意義：

點積：

在歐幾里得空間中，點積可以直觀地定義為

,

這里 |x| 表示 x 的范數(shù)（長度），θ 表示兩個向量之間的角度。

注意：點積的形式定義和這個定義不同；在形式定義中，a 和 b 的夾角是通過上述等式定義的。

這樣，兩個互相垂直的向量的點積總是零。若 a 和 b 都是單位向量（長度為 1 ），它們的點積就是它們的夾角的余弦。那么，給定兩個向量，它們之間的夾角可以通過下列公式得到：

這個運算可以簡單地理解為：在點積運算中，第一個向量投影到第二個向量上（這里，向量的順序是不重要的，點積運算是可交換的），然后通過除以它們的標量長度來“標準化”。這樣，這個分數(shù)一定是小于等于 1 的，可以簡單地轉化成一個角度值。

需要注意的是，點積的幾何解釋通常只適用于 ()。在高維空間，其他的域或模中，點積只有一個定義，那就是

點積可以用來計算合力和功。若 b 為單位向量，則點積即為 a 在方向 b 的投影，即給出了力在這個方向上的分解。功即是力和位移的點積。

叉積：