(警告！本文含有大量讓人痛不欲生的數(shù)學課程，請謹慎閱讀，郁悶致死科普君不管)

在天文學上，有這樣一個神奇的點，在每個由兩大天體構成的系統(tǒng)中，有五個點相對于兩大天體基本保持靜止，其中有兩個點是穩(wěn)定的，小物體在該點處即使受外界引力的攝擾，仍然有保持在原來位置處的傾向。人們甚至設想把它當作攔截危險小行星的布防點。這個點就是拉格朗日點，它就是由本文的主角--法國數(shù)學家--拉格朗日（歐拉發(fā)現(xiàn)了3個，拉格朗日發(fā)現(xiàn)了剩余的兩個）通過計算發(fā)現(xiàn)的。拿破侖說他是：'一座高聳在數(shù)學界的金字塔'。

拉格朗日點

約瑟夫·拉格朗日于1736年出生在意大利的都靈，不過他的祖上是法國人。拉格朗日幼年時家道中落，還算幸運的是他還能上學，不過學的是古典文學。17歲時他讀到了哈雷（正確預言了現(xiàn)被稱為哈雷的彗星作回歸運動的事實的那個人）寫的一篇關于微積分的文章，他徹底被迷住了。在極短的時間內(nèi)，他就掌握了他那時候的數(shù)學分析，開始了他數(shù)學史上最光輝的經(jīng)歷。

拉格朗日

拉格朗日從一開始就跟幾何說了再見，他從來都是一個分析學者。他在19歲的時候設想的《分析力學》就強烈地表現(xiàn)出他對分析學的偏愛。拉格朗日用分析解決力學問題，標志著與希臘傳統(tǒng)的一次徹底決裂（我們知道，傳統(tǒng)希臘數(shù)學是最注重幾何的）。正是通過拉格朗日的努力，使數(shù)學分析與幾何與力學脫離開來，數(shù)學的獨立性更為清楚，從此數(shù)學不再僅僅是其他學科的工具。在對于分析學的開拓性工作上，拉格朗日是僅次于歐拉的最大的開拓者，具有決定性的貢獻。

數(shù)學分析教材

變分法是拉格朗日最早研究的領域，以歐拉的思路和結果為依據(jù)，但從純分析方法出發(fā)，得到更完善的結果。他的第一篇論文'極大和極小的方法研究'是他研究變分法的序幕； 而'關于確定不定積分式的極大極小的一種新方法'是用分析方法建立變分法的代表作。拉格朗日方法是對積分進行極值化，函數(shù)y=y(x)待定。他不像歐拉和前人用改變極大或極小化曲線的個別坐標的辦法，而是引進通過端點(x1，y1)，(x2，y2)的新曲線y(x)+δy(x)，δy(x)叫曲線y(x)的變分。J相應的增量△J按δy，δy'展開的一、二階項叫一次變分δJ和二次變分δ2J。他用分析方法證明了δJ為零的必要條件就是歐拉方程。1770年以后，拉格朗日研究了被積函數(shù)f包含高階導數(shù)的單重和多重積分時的情況，已發(fā)展成為變分法的標準內(nèi)容。

拉格朗日對變系數(shù)常微分方程研究做出重大成果。他在降階過程中提出了以后所稱的伴隨方程，并證明了非齊次線性變系數(shù)方程的伴隨方程的伴隨方程，就是原方程的齊次方程。他還把歐拉關于常系數(shù)齊次方程的結果推廣到變系數(shù)情況，證明了變系數(shù)齊次方程的通解可用一些獨立特解乘上任意常數(shù)相加而成；而且在知道方程的m個特解后，可以把方程降低m價。在1774年完成的'關于微分方程特解的研究'中系統(tǒng)地研究了奇解和通解的關系，明確提出由通解及其對積分常數(shù)的偏導數(shù)消去常數(shù)求出奇解的方法；還指出奇解為原方程積分曲線族的包絡線。拉格朗日在1772年完成的'論三體問題'中，找出了三體運動的常微分方程組的五個特解，這就是本文一開始所說的'拉格朗日點'的來歷。

常微分方程教材

拉格朗日是一階偏微分方程理論的建立者，他在1772年完成的'關于一階偏微分方程的積分'和1785年完成的'一階線性偏微分方程的一般積分方法'中系統(tǒng)地完成了一階偏微分方程的理論和解法。他首先提出了一階非線性偏微分方程的解分類為完全解、奇解、通積分等，并給出它們之間的關系。

偏微分方程教材

拉格朗日花了大量時間在代數(shù)方程和超越方程的解法上，在代數(shù)方程解法中有歷史性貢獻。在長篇論文'關于方程的代數(shù)解法的思考'中，把前人解三、四次代數(shù)方程的各種解法，總結為一套標準方法，而且還分析出一般三、四次方程能用代數(shù)方法解出的原因。三次方程有一個二次輔助方程，其解為三次方程根的函數(shù)，在根的置換下只有兩個值；四次方程的輔助方程的解則在根的置換下只有三個不同值，因而輔助方程為三次方程。拉格朗日稱輔助方程的解為原方程根的預解函數(shù)（是有理函數(shù)）。因而拉格朗日是群論的先驅(qū)。

拉格朗日在數(shù)論上也成果斐然，他在1772年證明了費馬的另一個猜想：一個正整數(shù)能表示為最多四個平方數(shù)的和。又在1773年證明了著名的定理：n是質(zhì)數(shù)的充要條件為(n-1)！+1能被n整除。

最后他還提出了著名的拉格朗日插值公式。直到現(xiàn)在計算機計算大量中點插值時仍在使用。另外在求多元函數(shù)相對極大極小及解微分方程中的拉格朗日任意乘子法，至今也在用。

拉格朗日插值公式

近百余年來，數(shù)學領域的許多新成就都可以直接或間接地溯源于拉格朗日的工作。所以他在數(shù)學史上被認為是對分析數(shù)學的發(fā)展產(chǎn)生全面影響的數(shù)學家之一。

最后，由于拉格朗日當初為了研究等時曲線問題（一種特殊的曲線，把物體放在此曲線的任何位置，它都會在相同的時間內(nèi)滑落到底部）而發(fā)明了一套全新的數(shù)學工具，那就是著名的變分法。我們來欣賞一下這個等時曲線吧。