點(diǎn)擊標(biāo)題下面一行中的“北京 邵勇”右邊的藍(lán)字“數(shù)學(xué)教學(xué)研究”,關(guān)注本微信公眾號(hào)。本公眾號(hào)每周推送兩到三篇有分量的數(shù)學(xué)文章,但在行文上力爭(zhēng)做到深入淺出。幾分鐘便可讀完。輕松學(xué)數(shù)學(xué),毫不費(fèi)力。 (1)一個(gè)正三角形(下圖中左側(cè)的深紫色三角形),置于一條水平直線上,我們準(zhǔn)備要它在水平直線上向右側(cè)翻轉(zhuǎn)。翻轉(zhuǎn)前先把正三角形最左側(cè)的頂點(diǎn)標(biāo)以紅色。三角形繞著位于直線上的右頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)120度使三角形另一邊落在直線上算作一次翻轉(zhuǎn)(轉(zhuǎn)到了下圖中中間那個(gè)稍淺一些的紫色三角形的位置)。這個(gè)紅色頂點(diǎn)也隨之變化到一個(gè)新的位置(中間三角形上面的頂點(diǎn))。繼續(xù)這樣的翻轉(zhuǎn),三角形到達(dá)了下圖右邊淺紫色三角形的位置,這時(shí)紅色頂點(diǎn)從翻轉(zhuǎn)開(kāi)始后第一次又落在水平直線上。我們依次把紅色頂點(diǎn)用直線段連接進(jìn)來(lái),形成一條折線。我們來(lái)研究這條折線與水平直線所圍成圖形的面積。所圍成圖形是一個(gè)等腰三角形(圖中的黑色三角形)。那么,這個(gè)黑色三角形的面積是多少呢?很明顯,它的面積是正三角形面積的3倍。請(qǐng)記住這個(gè)“3倍”。 (2)我們用正方形來(lái)代替上面的三角形,進(jìn)行類似的翻轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。如下圖所示。原來(lái)位于水平直線上的正方形左邊頂點(diǎn)也將隨著每次翻轉(zhuǎn)變化到另外的位置。翻轉(zhuǎn)三次后,原紅色頂點(diǎn)又一次落在水平直線上。依次連接紅色頂點(diǎn),得到一條折線,它與水平直線圍成的圖形是一個(gè)等腰梯形。很容易看出,它的面積是正方形面積的3倍。注意,這里也是3倍的關(guān)系。 (3)下面該輪到正五邊形了。如下圖所示。下圖中的(上)圖是正五邊形運(yùn)動(dòng)過(guò)程圖。紅色頂點(diǎn)連接成折線,并與水平直線圍成一個(gè)區(qū)域,這個(gè)區(qū)域的面積是正五邊形面積的3倍。這里的3倍關(guān)系不是很容易看出,下圖中的(下)圖給出了圖說(shuō):所求區(qū)域中已包含了一個(gè)正五邊形,那么,左右對(duì)稱的兩個(gè)不規(guī)則五邊形的面積若都等于正五邊形的面積就OK了。圖中我們把左邊不規(guī)則五邊形(粗黑框所圍)分割成三塊(紅、粉、綠),然后,把這三塊等面積變換到水平直線下方構(gòu)成一個(gè)新的正五邊形。(留下幾個(gè)問(wèn)題請(qǐng)您自己考慮:為什么兩個(gè)綠色三角形面積是相等的?為什么兩個(gè)紅色三角形面積也是相等的?) (4)下面,我們翻轉(zhuǎn)正六邊形。如下圖所示。最后所得類似的折線與水平直線圍成圖形的面積,是正六邊形面積的3倍。這點(diǎn)可以通過(guò)數(shù)一數(shù)小三角形的個(gè)數(shù)而得以證明。正六邊形由6個(gè)正三角形組成,而所求區(qū)域正好由16個(gè)這樣的正三角形及兩個(gè)與小正三角形面積相等的等腰三角形組成,總面積正好是18個(gè)小正三角形面積的和。這正好就是三個(gè)正六邊形的面積和。所以,還是3倍關(guān)系。 (5)再來(lái)看一下正八邊形的情況(對(duì)七邊形情況,3倍關(guān)系也是對(duì)的,這里不討論了)。下圖中有三個(gè)小圖,(上)圖是正八邊形在直線上翻轉(zhuǎn)的過(guò)程。一共翻轉(zhuǎn)7次,留下8個(gè)紅點(diǎn)。依次連接這8個(gè)紅點(diǎn)所得折線與水平直線圍成圖形的面積,也是3個(gè)正八邊形面積之和。(中)圖和(下)圖以顏色給出了答案。(中)圖中是三個(gè)正八邊形,每個(gè)正八邊形被劃分成六個(gè)三角形,并涂以顏色:全等的三角形涂以相同顏色,不全等的三角形涂以不同的顏色。這樣,得到紅色、藍(lán)色和綠色三角形各6個(gè)。下圖中,一半的面積用了各三個(gè)這三種顏色的三角形,所以,所求圖形面積正好是3個(gè)正八邊形面積的和。仍然是3倍關(guān)系。 (6)最后,不斷加大正多邊形的邊數(shù),讓它接近于圓??梢韵胂?,圓上最初落在直線上的一點(diǎn)隨著圓的滾動(dòng),留下運(yùn)動(dòng)軌跡,這個(gè)軌跡就叫做擺線。由前面從邊長(zhǎng)較少的正三形開(kāi)始,然后,邊數(shù)逐漸增多,最后趨近于圓。這個(gè)正多邊形邊數(shù)逐漸增多的過(guò)程就是一個(gè)取極限的過(guò)程,圓就是這個(gè)極限。一個(gè)周期的擺線(也叫做一拱,即原本落在水平直線上的點(diǎn)再次落到直線上時(shí)的這段軌跡),與水平直線圍成圖形的面積也必然等于圓的面積的3倍。下面的小動(dòng)畫(huà)是擺線生成的過(guò)程。其中圓心走過(guò)的距離正好等于圓的周長(zhǎng)。
(7)知識(shí)拓展:把上面的上凸擺線轉(zhuǎn)180度成為上凹擺線,截取半拱。則這個(gè)半拱是最速降線。也就是說(shuō),一個(gè)小球從半拱上端自由下滑到末端所用時(shí)間,比沿其他曲線下滑到同一點(diǎn),所用時(shí)間最少。并且,擺線還是等時(shí)曲線,即從半拱擺線最高端放開(kāi)小球,它到達(dá)最末端所用時(shí)間,與從半拱中途任意一處放開(kāi)小球,它到達(dá)底端所用時(shí)間是相等的。 |
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