對(duì)于初中數(shù)學(xué)，我們從大層面去劃分，可以把整個(gè)初中數(shù)學(xué)大致分為"數(shù)與代數(shù)"、"圖形與幾何"、"統(tǒng)計(jì)與概率"和"綜合與實(shí)踐"這四個(gè)方面。其中代數(shù)一般包括實(shí)數(shù)、代數(shù)式、方程和你不等式（組）、函數(shù)這四方面的內(nèi)容。

從內(nèi)容劃分上看，與代數(shù)相關(guān)的問題自然是中考數(shù)學(xué)必考的重點(diǎn)內(nèi)之一。特別是方程和你不等式（組）和函數(shù)這兩塊內(nèi)容，更是中考中重點(diǎn)的重點(diǎn)，中考數(shù)學(xué)高分的必要保障。

縱觀歷年全國(guó)各地中考數(shù)學(xué)試卷，我們可以很直白的發(fā)現(xiàn)，與代數(shù)有關(guān)的綜合題一直是中考數(shù)學(xué)的熱門命題對(duì)象，深受中考命題老師的青睞。

什么是代數(shù)綜合題？

一般是指以代數(shù)知識(shí)為主的或以代數(shù)變形技巧為主的一類綜合題，主要包括方程、函數(shù)、不等式等內(nèi)容。

很多人聽到“代數(shù)”這一詞，腦子浮現(xiàn)的就是計(jì)算計(jì)算，其實(shí)不然，代數(shù)綜合題蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想方法，如有化歸思想、分類思想、數(shù)形結(jié)合思想以及代人法、待定系數(shù)法等。

中考數(shù)學(xué)，代數(shù)綜合題，典型例題分析1：

一玩具廠去年生產(chǎn)某種玩具，成本為10元/件，出廠價(jià)為12元/件，年銷售量為2萬(wàn)件．今年計(jì)劃通過適當(dāng)增加成本來(lái)提高產(chǎn)品檔次，以拓展市場(chǎng)．若今年這種玩具每件的成本比去年成本增加0.7X倍，今年這種玩具每件的出廠價(jià)比去年出廠價(jià)相應(yīng)提高0.5X倍，則預(yù)計(jì)今年年銷售量將比去年年銷售量增加X倍（本題中0＜X≤11）．

（1）用含X的代數(shù)式表示，今年生產(chǎn)的這種玩具每件的成本為　 　元，今年生產(chǎn)的這種玩具每件的出廠價(jià)為　  　元．

（2）求今年這種玩具的每件利潤(rùn)Y元與X之間的函數(shù)關(guān)系式．

（3）設(shè)今年這種玩具的年銷售利潤(rùn)為W萬(wàn)元，求當(dāng)X為何值時(shí)，今年的年銷售利潤(rùn)最大？最大年銷售利潤(rùn)是多少萬(wàn)元？

注：年銷售利潤(rùn)=（每件玩具的出廠價(jià)﹣每件玩具的成本）×年銷售量．

解（1）10+7x；12+6x；

（2）y=（12+6x）﹣（10+7x），

∴y=2﹣x （0＜x＜2）；

（3）∵W=2（1+x）·y

=﹣2（1+x）（x﹣2）

=﹣2x2+2x+4，

∴W=﹣2（x﹣0.5）2+4.5

∵﹣2＜0，0＜x≤11，

∴W有最大值，

∴當(dāng)x=0.5時(shí)，W最大=4.5（萬(wàn)元）．

答：當(dāng)x為0.5時(shí)，今年的年銷售利潤(rùn)最大，最大年銷售利潤(rùn)是4.5萬(wàn)元．

考點(diǎn)分析：

二次函數(shù)的應(yīng)用；應(yīng)用題。

題干分析：

（1）根據(jù)題意今年這種玩具每件的成本比去年成本增加0.7x倍，即為（10+10·0.7x）元/件；這種玩具每件的出廠價(jià)比去年出廠價(jià)相應(yīng)提高0.5x倍，即為（12+12·0.5x）元/件；

（2）今年這種玩具的每件利潤(rùn)Y等于每件的出廠價(jià)減去每件的成本價(jià)，即y=（12+6x）﹣（10+7x），然后整理即可；

（3）今年的年銷售量為（2+2x）萬(wàn)件，再根據(jù)年銷售利潤(rùn)=（每件玩具的出廠價(jià)﹣每件玩具的成本）×年銷售量，得到W=﹣2（1+x）（x﹣2），然后把它配成頂點(diǎn)式，利用二次函數(shù)的最值問題即可得到答案。

解題反思：

本題考查了二次函數(shù)的頂點(diǎn)式：y=a（x﹣k）2+h，（a≠0），當(dāng)a＜0，拋物線的開口向下，函數(shù)有最大值，當(dāng)x=k，函數(shù)的最大值為h．也考查了代數(shù)式的表示和利潤(rùn)的含義以及配方法。

這是一道以二次函數(shù)相關(guān)知識(shí)內(nèi)容為背景，結(jié)合實(shí)際生產(chǎn)生活中的問題，應(yīng)用相關(guān)代數(shù)知識(shí)內(nèi)容和方法技巧去解決，此類問題不僅能很好考查考生知識(shí)掌握程度，更能考查考生運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力和思維品質(zhì)。

中考數(shù)學(xué)，代數(shù)綜合題，典型例題分析2：

如圖，拋物線y＝（x+1）2+k與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，－3）

（1）求拋物線的對(duì)稱軸及k的值；

（2）拋物線的對(duì)稱軸上存在一點(diǎn)P，使得PA+PC的值最小，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)M是拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，且在第三象限．

①當(dāng)M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，△AMB的面積最大？求出△AMB的最大面積及此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；

②當(dāng)M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形AMCB的面積最大？求出四邊形AMCB的最大面積及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．

考點(diǎn)分析：

二次函數(shù)綜合題.

題干分析：

（1）由拋物線y＝（x+1）2+k與y軸交于點(diǎn)C（0，－3），即可將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，解方程即可求得k的值，由拋物線y＝（x+1）2+k即可求得拋物線的對(duì)稱軸為：x＝－1；

（2）連接AC交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)P，則PA+PC的值最小，求得A與C的坐標(biāo)，設(shè)直線AC的解析式為y＝kx+b，利用待定系數(shù)法即可求得直線AC的解析式，則可求得此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）①設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為：（x，（x+1）2－4），即可得S△AMB＝1/2×4×|（x+1）2－4|，由二次函數(shù)的最值問題，即可求得△AMB的最大面積及此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；

②如圖3，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為：（x，（x+1）2－4），然后過點(diǎn)M作MD⊥AB于D，由S四邊形ABCM＝S△OBC+S△ADM+S梯形OCMD，根據(jù)二次函數(shù)的最值問題的求解方法，即可求得四邊形AMCB的最大面積及此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)。

解題反思：

此題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的最值問題，三角形與四邊形的面積問題以及線段和最短問題等知識(shí)．此題綜合性較強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用。

很多考生只知道方程，卻忽視方程思想的積累，如果遇到此類問題，就會(huì)造成思維上的“短路”，很可能找不到解題思路，無(wú)法正確解決問題。

要想正確解決代數(shù)綜合題，大家一定要注意各知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系和數(shù)學(xué)思想方法、解題技巧的靈活運(yùn)用，要抓住題意，化整為零，層層深人，各個(gè)擊破。 

在一些復(fù)雜的中考代數(shù)綜合題里，命題老師往往會(huì)在此類試題中設(shè)計(jì)一些審題障礙或解題陷阱，既能考查同學(xué)們的基礎(chǔ)知識(shí)是否全面、基本功是否扎實(shí)，又能考查同學(xué)們的數(shù)學(xué)思維是否縝密，還能考查同學(xué)們的數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)能力是否達(dá)標(biāo)。

如果考生答題過于隨意，或是知識(shí)掌握不扎實(shí)，很容易落入題中的圈套或陷阱，造成失分。

中考數(shù)學(xué)，代數(shù)綜合題，典型例題分析3：

如圖，已知點(diǎn)O（0，0），A（﹣5，0），B（2，1），拋物線l：y=﹣（x﹣h）2+1（h為常數(shù)）與y軸的交點(diǎn)為C．

（1）l經(jīng)過點(diǎn)B，求它的解析式，并寫出此時(shí)l的對(duì)稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）設(shè)點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為yc，求yc的最大值，此時(shí)l上有兩點(diǎn)（x1，y1），（x2，y2），其中x1＞x2≥0，比較y1與y2的大??；

（3）當(dāng)線段OA被l只分為兩部分，且這兩部分的比是1：4時(shí)，求h的值．

解：（1）把點(diǎn)B的坐標(biāo)B（2，1）代入y=﹣（x﹣h）2+1，

得1=﹣（2﹣h）2+1．

解得h=2．

則該函數(shù)解析式為y=﹣（x﹣2）2+1（或y=﹣x2+4x﹣3）．

故拋物線l的對(duì)稱軸為x=2，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（2，1）；

（2）點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為0，則yC=﹣h2+1．

當(dāng)h=0時(shí)，yC=有最大值1，

此時(shí)，拋物線l為：y=﹣x2+1，

對(duì)稱軸為y軸，開口方向向下，

所以，當(dāng)x≥0時(shí)，y隨x的增大而減小，

所以，x1＞x2≥0，y1＜y2；

（3）∵線段OA被l只分為兩部分，且這兩部分的比是1：4，

且O（0，0），A（﹣5，0），

∴把線段OA被l只分為兩部分的點(diǎn)的

坐標(biāo)分別是（﹣1，0），（﹣4，0）．

把x=﹣1，y=0代入y=﹣（x﹣h）2+1，

得0=﹣（﹣1﹣h）2+1，

解得h1=0，h2=﹣2．

但是當(dāng)h=﹣2時(shí)，

線段OA被拋物線l分為三部分，不合題意，舍去．

同樣，把x=﹣4，y=0代入y=﹣（x﹣h）2+1，

得h=﹣5或h=﹣3（舍去）．

綜上所述，h的值是0或﹣5．

考點(diǎn)分析：

二次函數(shù)綜合題．

題干分析：

（1）把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，列出關(guān)于h的方程，借助于方程可以求得h的值；利用拋物線函數(shù)解析式得到該圖象的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）把點(diǎn)C的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式得到：yC=﹣h2+1，則由二次函數(shù)的最值的求法易得yc的最大值，并可以求得此時(shí)拋物線的解析式，根據(jù)拋物線的增減性來(lái)求y1與y2的大??；

（3）根據(jù)已知條件“O（0，0），A（﹣5，0），線段OA被l只分為兩部分，且這兩部分的比是1：4”可以推知把線段OA被l只分為兩部分的點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（﹣1，0），（﹣4，0）．由二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可以求得h的值．

解題反思：

本題考查了二次函數(shù)綜合題．該題涉及到了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)最值的求法以及點(diǎn)的坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，綜合性比較強(qiáng)，難度較大。解答（3）題時(shí)，注意對(duì)h的值根據(jù)實(shí)際意義進(jìn)行取舍。

代數(shù)綜合題既能考查學(xué)生閱讀理解、接受新知識(shí)、認(rèn)識(shí)新事物的能力，又能考查學(xué)生知識(shí)掌握情況，在中考數(shù)學(xué)中占有相當(dāng)高的比重，大家一定要認(rèn)真對(duì)待。解決代數(shù)綜合題，大家要學(xué)會(huì)全面地分析問題，掌握一些解題技巧或套路，慢慢就能掌握好解題思路。