車變速箱齒輪變位的理念探討之二

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接上文

一，瞬心線：節(jié)圓、分圓的基本概念。齒形嚙合基本定理。

二，漸開線的特點(diǎn)：作用線和接觸線。

三，齒輪變位：基準(zhǔn)齒條和產(chǎn)形齒條。

一，瞬心線、節(jié)圓和分圓的基本概念

    節(jié)圓和分圓都是瞬心線的一種特定的表示。只有弄清楚瞬心線，才能了解節(jié)圓和分圓以及齒形嚙合基本定理。

關(guān)于瞬心線的基本概念和理論推導(dǎo)，我認(rèn)為吳序堂教授的“齒輪嚙合原理”①，論述得比較清晰，我這里做部分擇錄。

1-1，瞬心：一對(duì)嚙合的直齒輪，分別以角速度ω₁和ω₂，繞其中心O₁和O₂做旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，它們?cè)谌我恻c(diǎn)M接觸，齒輪1在M點(diǎn)的瞬時(shí)圓周線速度（矢速）為 ,  齒輪2在M點(diǎn)的瞬時(shí)圓周線矢速  ,  為 和的矢速差，即齒輪1相對(duì)齒輪2的瞬時(shí)相對(duì)速度。不同的接觸點(diǎn)，瞬時(shí)相對(duì)速度也不相同。見圖（1-1）。

齒輪1相對(duì)齒輪2的瞬時(shí)相對(duì)速度等于零的點(diǎn)，即V₁（ 模）和V₂（模）的大小相等，方向相同的點(diǎn)，是為相對(duì)運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)中心，簡(jiǎn)稱瞬心。

因?yàn)?和的方向相同，所以瞬心只能位于齒輪中心線O₁O₂上。

瞬心是一個(gè)非常重要的點(diǎn)。瞬心又稱作節(jié)點(diǎn)。 

1-2，瞬心線：兩個(gè)齒輪分別做相對(duì)運(yùn)動(dòng)，其瞬心的移動(dòng)軌跡，稱為瞬心線。見圖（1-2a和b）。

令瞬心為  P，O₁P=r₁ , O₂P= r₂ , 中心距O₁O₂=A。

因?yàn)樗残牡乃俣却笮∠嗟?，?V₁= V₂ ，而V₁=ω₁r₁ ，                    

V₂=ω₂ r₂ ，所以ω₁ r₁=ω₂ r₂ ，即它們的瞬時(shí)傳動(dòng)比為 

=f……………（1-1）

當(dāng)瞬時(shí)傳動(dòng)比i_1,2為變量的齒輪運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)，P點(diǎn)沿中心線O₁O₂變動(dòng)，為非圓齒輪。當(dāng)瞬時(shí)傳動(dòng)比i _1，2為定值時(shí), P點(diǎn)固定。

  因?yàn)閞₁=A－r₂ = A－r₁f ,并且r₂= r₁f，所以，瞬心線方程式為

r₁= ……………………..（1-2）

r₂== …………………（1-3）

一般齒輪的傳動(dòng)比i_1-2為定值,中心距A也是定值，所以，r₁和r₂都是定值，因此，瞬心線是2個(gè)圓。1-2和.1-3瞬心線方程式是2個(gè)在P點(diǎn)相切的圓。

由于兩瞬心線在任意瞬時(shí)都只接觸在一點(diǎn)（瞬心），而在接觸點(diǎn)處，它們的相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度又等于零，所以它們作相對(duì)的純滾動(dòng)。這就相當(dāng)于兩個(gè)摩擦輪在純滾動(dòng)。它們的運(yùn)動(dòng)規(guī)律和兩個(gè)齒輪運(yùn)動(dòng)規(guī)律是相同的。

圖（1-2a）和（1-2b）給出兩個(gè)齒輪嚙合的瞬心線，（1-2）c為齒輪和齒條嚙合的瞬心線。

1-3，齒輪和齒條嚙合的瞬心線方程式：齒輪和齒條的嚙合時(shí)情況和齒輪副嚙合相似，它們相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度等于零的點(diǎn)，是為瞬心。瞬心一定位于過齒輪中心O₂并且與齒條平移速度方向V₁垂直的直線上。因?yàn)橹挥性谶@一點(diǎn)，齒輪的圓周速度V₂的方向才與V₁相同。如圖（1-2c）所示。

齒輪中心O₂到瞬心的距離為r₂，瞬心點(diǎn)通常標(biāo)為P，齒條平移的瞬時(shí)速度V₁，齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)的瞬時(shí)角速度ω₂，則齒條與齒輪的瞬時(shí)傳動(dòng)比

ψ（φ₂）

上式表示當(dāng)傳動(dòng)比i_1,2是變數(shù)時(shí)，i_1,2為齒輪轉(zhuǎn)角φ₂的函數(shù)。

因?yàn)樵谒残狞c(diǎn)    ω₂ r₂=V₂= V₁

所以           r₂= = =i_1,2，，，，，，，，，，，，，，（1-4）

因?yàn)閕_1,2 是一個(gè)定值，所以與齒條嚙合的齒輪的瞬心線是一個(gè)圓。

齒條的瞬心線是平行于它的平移方向并與它相距R₂的直線。瞬心點(diǎn)（節(jié)點(diǎn)）P的位置固定不動(dòng)。

1-4，節(jié)圓和分圓。

齒輪與齒輪嚙合運(yùn)轉(zhuǎn)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)瞬心線稱為節(jié)圓。

兩個(gè)齒輪的傳動(dòng)速比i_1-2等于它們節(jié)圓半徑的反比。

齒輪與齒條嚙合運(yùn)轉(zhuǎn)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)，該齒輪的瞬心線稱為分圓，齒條的瞬心線稱為齒條的節(jié)線。

節(jié)圓：?jiǎn)为?dú)齒輪，不存在節(jié)圓，只有分圓。這是因?yàn)楣?jié)圓是只能和其它齒輪嚙合時(shí)而存在，它的直徑大小與其中心距A以及傳動(dòng)比

i _1,2有關(guān)。這從公式（1-2），（1-3）可以看出。因此，同一個(gè)齒輪，可以有不同的節(jié)圓直徑(在一定范圍內(nèi))。

分園：因?yàn)榉謭A直徑與其相嚙合齒輪的大小無關(guān)，它有完全確定的數(shù)值，這個(gè)分圓直徑的數(shù)值，由與其相嚙合的齒條參數(shù)決定。

齒條中線：將齒條的瞬心線平分齒距（即齒厚和齒間相等）的直線，稱為中線。這時(shí)它和節(jié)線重合。齒條中線是一個(gè)固定的直線。

齒條節(jié)線：?jiǎn)为?dú)齒條，不存在節(jié)線，只有中線。分圓直徑與齒條節(jié)線有固定的關(guān)系。節(jié)線到分圓中心距離，等于分圓的半徑R₂ ，即節(jié)線始終與分圓相切，在齒條變位時(shí)，也是如此。和兩個(gè)齒輪嚙合情況相同，齒條節(jié)線與齒輪的分圓也是作相對(duì)的純滾動(dòng)、沒有滑動(dòng)。

在標(biāo)準(zhǔn)（非變位）情況下，齒條與齒輪嚙合，它的的節(jié)線與中線重合。對(duì)于變位齒輪，節(jié)線和中線分開，但它始終和分圓相切。中線和節(jié)線的距離，為變位量。在變位齒輪一節(jié)中，將做詳細(xì)介紹。

1-5，齒形嚙合基本定理：

     齒形嚙合基本定理：共軛齒形在傳動(dòng)的任一瞬時(shí)，它們?cè)诮佑|點(diǎn)的公法線必然通過該瞬時(shí)的瞬心點(diǎn)，即節(jié)點(diǎn)P。

這個(gè)定理又稱Willis定理。它在研究齒輪傳動(dòng)中廣泛應(yīng)用。

何為共軛齒形？：齒輪在傳動(dòng)過程中，兩個(gè)瞬心線作純滾動(dòng)，兩個(gè)齒形時(shí)時(shí)保持相切接觸，這種齒形稱為共軛齒形(Conjugate Profile)。

   在某個(gè)瞬時(shí)，齒輪1和2的瞬心線在P（瞬心）點(diǎn)相切，齒形切點(diǎn)在M，它們既然在M點(diǎn)相切，必有公法線和公切線。而它們要能連續(xù)地相切傳動(dòng)，既不產(chǎn)生干涉，又不互相脫開（即是齒形共軛），則它們?cè)谇悬c(diǎn)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度一定要在公切線方向，即相對(duì)滑動(dòng)方向。也就是 要與法線矢量 垂直，如圖（1-3）所示。

相對(duì)運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)中心P的相對(duì)速度為零，它也是齒輪1相對(duì)齒輪2的相對(duì)角速度 （ 和）的中心①，它的相對(duì)運(yùn)動(dòng)的圓周速度就是接觸點(diǎn)M的相對(duì)速度 ，即 和PM垂直。即

    = × ………...……..（1- 5）

（1-5）式說明，兩齒輪齒形在任意接觸點(diǎn)M的相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度，就等于這一點(diǎn)以角速度 繞P點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的線速度。由此又可知， 與 是垂直的。

這就是齒形嚙合基本定理：共軛齒形在傳動(dòng)的任一瞬時(shí)，它們?cè)诮佑|點(diǎn)的公法線（又稱作用線）必然通過位于齒輪中心線上的一個(gè)固定點(diǎn)P，此點(diǎn)稱為節(jié)點(diǎn)。

這個(gè)定理是齒輪嚙合概念的基礎(chǔ)。它的理念貫徹本文始終。

二，漸開線的特性

2-1，漸開線方程：一條纏繞在一個(gè)圓的圓周上的線，將其末端拉伸，末端展開所形成的曲線，稱為漸開線。如圖2-1所示。這個(gè)圓稱為基圓。漸開線方程式如下

設(shè)r=漸開線任一點(diǎn)M的半徑

=徑矢角（vectorial angle）

  ψ=M點(diǎn)的漸開線展開角

  R_b=基圓半徑

 =漸開線的展形線。

從漸開線起始點(diǎn)M_b沿圓周移動(dòng)到P點(diǎn)，這段弧長(zhǎng)⌒PM_b，和從M_b 點(diǎn)展開到M點(diǎn)的直線的長(zhǎng)度相等，即 ⌒PM_b = ，弧長(zhǎng)⌒PM_b所對(duì)圓心角為ψ。因此，

 ⌒PM_b=ψR(shí)_b=（）R_b

因?yàn)?⌒PM_b = ，則

在直角三角形POM內(nèi)，   =    

所以

…………….（2-1）

  (2-1)式是一個(gè)非常重要的漸開線極坐標(biāo)方程式，將角以inv 表示 （以弧度計(jì)），

即       inv =tan － ……………….(2-2)

inv 稱為漸開線函數(shù)。齒輪計(jì)算經(jīng)常使用。在計(jì)算機(jī)時(shí)代以前，它和三角函數(shù)表一樣，給出漸開線函數(shù)表，計(jì)算時(shí)查用。

另外        …………………（2-3）

(2-3)式表明漸開線的特性。M是漸開線上的任一點(diǎn)，線為漸開線的法線，它始終和基圓相切；下面將證明，它也是漸開線在M點(diǎn)的曲率半徑。漸開線各點(diǎn)的徑向位置不同，其壓力角大小也不相同，在基圓R_b處， =0，在齒頂圓R_a處， 角最大。

2-2，漸開線的曲率半徑

   齒形的曲率半徑是一個(gè)非常重要的參數(shù)，它與齒面強(qiáng)度有關(guān)。

2-2a，漸開線的微分

設(shè) =漸開線任一點(diǎn)的曲率半徑

  r=漸開線任一點(diǎn)的徑矢（radius vector）

φ=漸開線切線和徑矢r的夾角,如圖2-1所示，則

tan = = …………………..(2-4)

但是后面的數(shù)值也是角的正切，所以這條漸開線的切線，平行于漸開線的展成線起始點(diǎn)的徑向線。所以漸開線的切線是垂直于展成線，換句話說，展成線是漸開線的法線。

2-2b，漸開線的曲率半徑

設(shè) =漸開線曲率半徑，則從(2-4)式可知

……（a）  

 …….……（b）

微分幾何學(xué)給出漸開線的曲率半徑公式，為

1），對(duì)于直角坐標(biāo)系

       = …………..（2-5）

2），對(duì)于極坐標(biāo)系

   = ………（2-6）

將（a）、（b）式代入（2-6）式，化簡(jiǎn)后，可得

       …………….（2-7）

由（2-7）式可知：

1）， =，說明漸開線任一點(diǎn)的曲率半徑長(zhǎng)度，就是由切于基圓的展形線到漸開線這個(gè)M點(diǎn)的長(zhǎng)度，也就是切于基圓的展形線到漸開線M點(diǎn)的法線長(zhǎng)度。

2）， 和r成正比。在基圓處，r=R_b， =0, 即在基圓處漸開線的曲率半徑為零；在齒頂，r = r_a，  ，r_a為齒輪的外圓半徑。

2-3，漸開線像一個(gè)勻速舉升的凸輪

漸開線的簡(jiǎn)單概念，是一個(gè)勻速舉升的凸輪，它沿著切于半徑為R_b的基圓的直線上升，基圓每轉(zhuǎn)，它的舉升高度等于基圓圓周長(zhǎng)度。如圖2- 2所示。如果這個(gè)凸輪按照?qǐng)D示的箭矢方向勻速旋轉(zhuǎn)，它將推動(dòng)帶有圓形滾子的隨從體勻速上升。如果凸輪反方向旋轉(zhuǎn)，隨從體將勻速下降。

     隨從體滾子和凸輪漸開線的接觸途徑是一條切于基圓的直線。這說明漸開線作用于圓形隨從物的接觸路線，是一條切于基圓的直線。這是漸開線唯一的特性，區(qū)別于其它所有的齒形曲線。

2-4，一條漸開線作用于另一條漸開線

   上面說明，漸開線作用于圓滾子的接觸路線，是一條切于基圓的直線，下面將闡述兩個(gè)漸開線齒形的相互作用接觸路線，也是一條分別切于兩個(gè)基圓的直線。

在兩條漸開線的接觸點(diǎn)處，它們的切線是重合的。這兩條切線總是分別垂直于它們自己的展形線。只有當(dāng)其中一條展形線是另一條展形線的延長(zhǎng)線時(shí)，這條切線才能重合。所以，兩條漸開線的接觸點(diǎn)軌跡是兩個(gè)基圓的公切線。如圖2-3所示。                                 

     當(dāng)一條漸開線勻速旋轉(zhuǎn)時(shí)，從基圓切點(diǎn)到漸開線P點(diǎn)的展形線長(zhǎng)度，也是在勻速改變著。如果旋轉(zhuǎn)方向按圖2-3的箭頭所示，則此線的長(zhǎng)度增加。與此同時(shí)，與之相嚙合的另外一條漸開線的展形線，其長(zhǎng)度是按同等的速率減小著。這是因?yàn)閮蓚€(gè)基圓的公切線總長(zhǎng)是一個(gè)定值。這說明第二條漸開線也必定是在勻速旋轉(zhuǎn)著，旋轉(zhuǎn)方向如圖2-3的箭頭所示。