關(guān)于四色定理，采用易經(jīng)模型的超簡(jiǎn)潔證明

有了之前的論述，關(guān)于易經(jīng)八元數(shù)系統(tǒng)（九元數(shù)系統(tǒng)），四元數(shù)系統(tǒng)（五行系統(tǒng)）等論述，

今天我們就采用四元數(shù)系統(tǒng)的變換原理，來證明世界難題：四色定理，

四色定理（世界近代三大數(shù)學(xué)難題之一），又稱四色猜想、四色問題，是世界三大數(shù)學(xué)猜想之一。

地圖四色定理（Four color theorem）最先是由一位叫古德里（Francis Guthrie）的英國大學(xué)生提出來的。

四色問題的內(nèi)容是“任何一張地圖只用四種顏色就能使具有共同邊界的國家著上不同的顏色?！?/p>

也就是說在不引起混淆的情況下一張地圖只需四種顏色來標(biāo)記就行。

用數(shù)學(xué)語言表示即“將平面任意地細(xì)分為不相重疊的區(qū)域，

每一個(gè)區(qū)域總可以用1234這四個(gè)數(shù)字之一來標(biāo)記而不會(huì)使相鄰的兩個(gè)區(qū)域得到相同的數(shù)字?！?/p>

這里所指的相鄰區(qū)域是指有一整段邊界是公共的。

如果兩個(gè)區(qū)域只相遇于一點(diǎn)或有限多點(diǎn)就不叫相鄰的。因?yàn)橛孟嗤念伾o它們著色不會(huì)引起混淆。

四色定理的本質(zhì)正是二維平面的固有屬性，即平面內(nèi)不可出現(xiàn)交叉而沒有公共點(diǎn)的兩條直線。

很多人證明了二維平面內(nèi)無法構(gòu)造五個(gè)或五個(gè)以上兩兩相連區(qū)域，但卻沒有將其上升到邏輯關(guān)系和二維固有屬性的層面，以致出現(xiàn)了很多偽反例。

不過這些恰恰是對(duì)圖論嚴(yán)密性的考證和發(fā)展推動(dòng)。計(jì)算機(jī)證明雖然做了百億次判斷，終究只是在龐大的數(shù)量?jī)?yōu)勢(shì)上取得成功，這并不符合數(shù)學(xué)嚴(yán)密的邏輯體系，至今仍有無數(shù)數(shù)學(xué)愛好者投身其中研究。

到目前為止，四色定理的最終證明是通過計(jì)算機(jī)完成的。

還沒有一種簡(jiǎn)潔的證明這個(gè)簡(jiǎn)單的原理：任何一張地圖只用四種顏色就能使具有共同邊界的國家著上不同的顏色。

今天我們就介紹一種簡(jiǎn)潔的證明方法，其過程如下：（估計(jì)3張A4紙就夠了。）

第一步：地圖上國家的拓?fù)浠?/p>

如果整張地圖只有4個(gè)國家，包括4個(gè)以下的國家，不需要證明。

為了簡(jiǎn)明證明過程，我們直接證明五個(gè)以及五個(gè)以上國家的地圖著色問題。

首先，我們對(duì)任一張指定的地圖，設(shè)定他們是空白的，沒有著色，

我們對(duì)這些國家進(jìn)行拓?fù)渥兓衙總€(gè)國家變成一個(gè)一個(gè)獨(dú)立的點(diǎn)，分散鋪在平面上。

我們經(jīng)?？吹降膰沂沁@樣的，如圖：

經(jīng)拓?fù)渥儞Q后，地圖都只是一個(gè)個(gè)點(diǎn)，相鄰的國家就有連線，不相鄰國家就沒有連線，如圖：

把相鄰國家進(jìn)行連線后，可以進(jìn)一步拓?fù)浠蛇@樣：

第二步：確定平面上的坐標(biāo)系，

根據(jù)平面的二維特性，二元有理數(shù)（x，y）可以表達(dá)整個(gè)平面上的任一個(gè)點(diǎn)，

也就是說，每一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，都可以通過坐標(biāo)軸X軸、Y軸上的數(shù)值來表達(dá)。

了解到，地圖國家之間，著色問題就是一個(gè)狀態(tài)的問題，我們把問題進(jìn)一步建模，

一個(gè)國家代表一種狀態(tài)，考慮到坐標(biāo)軸的二元形狀，從一個(gè)國家，到另外一個(gè)相鄰的國家，

從一種狀態(tài)到達(dá)另外一種狀態(tài)，一旦越界，我們就認(rèn)為發(fā)生了變化，我們把這些國家的點(diǎn)進(jìn)一步拉伸到對(duì)應(yīng)在數(shù)軸上的整數(shù)點(diǎn)位置。

他的變化只有以下情形：

（1）到達(dá)相鄰國家，x軸上的數(shù)值變化奇數(shù)次，或者變化偶數(shù)次（0不動(dòng)，也歸屬于偶數(shù)次），

（2）到達(dá)相鄰國家，y軸上的數(shù)值變化奇數(shù)次，或者變化偶數(shù)次（0不動(dòng)，也歸屬于偶數(shù)次），

假定，原點(diǎn)設(shè)定為初始狀態(tài)的國家，那么，相鄰的國家可能的情形如下圖：

我們給它定義為（x，y），其中：x，y=n，n為任意整數(shù)值。

到這個(gè)時(shí)候?yàn)橹?，為了?jiǎn)便證明過程，我們把地圖安放在第一象限，

那么所有國家的狀態(tài)只有以下四種：（奇數(shù)，奇數(shù)），（奇數(shù)，偶數(shù)），（偶數(shù)，奇數(shù)），（偶數(shù)，偶數(shù)），

第三步：構(gòu)造一個(gè)四元變化系統(tǒng)，

為了方便，我們采用四元數(shù)系統(tǒng)的四元數(shù)標(biāo)識(shí)：

那么，四元數(shù)系統(tǒng)就構(gòu)造起來了，

證明過程：

第一，我們證明一個(gè)國家到達(dá)另外一個(gè)國家，必定是這四種狀態(tài)中的一種，

反證法，如果存在第五種狀態(tài)，這個(gè)國家必然不存在這個(gè)地圖上。

因?yàn)榻?jīng)過拓?fù)渥兓?，所有國家的狀態(tài)都變成了：（整數(shù)，整數(shù)），

這樣只有四種情形：（奇數(shù)，奇數(shù)），（奇數(shù)，偶數(shù)），（偶數(shù)，奇數(shù)），（偶數(shù)，偶數(shù)），

第二，一個(gè)國家到另外一個(gè)國家，狀態(tài)必然發(fā)生變化，

如果不發(fā)生變化，那么要么原步不動(dòng)，要么那個(gè)和初始國家狀態(tài)一樣的國家，不和初始國家相鄰。

因?yàn)槊康揭粋€(gè)相鄰國家，X軸，Y軸上的變化，只發(fā)生一次，如果變回原來的狀態(tài)，意味著不變或者不相鄰，

到這里，就完全證明，一個(gè)國家到另外一個(gè)過，必然發(fā)生一直變化，而且是必定變換到四元數(shù)系統(tǒng)里面的一個(gè)其他因子（另外三個(gè)因子的其中一種）。

一旦越界，必然變化，而且只能是四種狀態(tài)互相變化。

而且，所有國家的狀態(tài)，都只能是四元數(shù)系統(tǒng)的四個(gè)因子：

其中的任一種。

越過地圖邊界狀態(tài)必然變化，變化有且只有三種，如果自己變化成自己，這種變化是不相鄰的。

然后，把四種狀態(tài)分別對(duì)應(yīng)換成四種顏色，那么四色定理，證明完畢！

推論1：

任何一個(gè)立體空間中的子空間區(qū)域，只用8種顏色就能使具有共同邊界的子空間區(qū)域著上不同的顏色。

采用八元數(shù)系統(tǒng)，這個(gè)是在三維立體空間的推論。

推論2：

我們都在討論四維時(shí)空，或者說四維時(shí)空，對(duì)于一個(gè)四維超空間，邊界問題是16種不同的顏色就足夠了。

也就是四維超空間，有十六種狀態(tài)。

推論3：

一直到六維超空間，（我們的研究結(jié)果是六維度標(biāo)準(zhǔn)時(shí)空）采用的著色問題是64種顏色。

到了這里，大家應(yīng)該不陌生，就是六爻位對(duì)應(yīng)的六十四卦模型。其實(shí)，古人說的八卦真的不玄乎，在說真正的科學(xué)，說很實(shí)在的數(shù)學(xué)模型。

后記：

這些推論，不知道具體的應(yīng)用廣泛程度，但是在超級(jí)計(jì)算機(jī)陣列問題，提高運(yùn)算速度，和多維度計(jì)算，肯定是用得上。