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黃金分割率、斐波那契數(shù)列、楊輝三角與易經(jīng)河洛的關(guān)系 摘自 蒹葭人生 5小時(shí)前 黃金分割率，是人們經(jīng)常聽到的一個(gè)比率，它非常的有趣，非常的奇妙， 黃金分割是指將整體一分為二，較大部分與整體部分的比值等于較小部分與較大部分的比值，其比值約為0.618。這個(gè)比例被公認(rèn)為是最能引起美感的比例，因此被稱為黃金分割。 他們的比率叫做：黃金分割率， 為了更好的了解這一常識(shí)，我們必須了解：斐波那契數(shù)列， 斐波那契數(shù)列（Fibonacci sequence），又稱黃金分割數(shù)列、因數(shù)學(xué)家列昂納多·斐波那契（Leonardoda Fibonacci）以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”， 指的是這樣一個(gè)數(shù)列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、…… 在數(shù)學(xué)上，斐波納契數(shù)列以如下被以遞歸的方法定義：F(0)=0，F(xiàn)(1)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2)（n>=2，n∈N*） 在現(xiàn)代物理、準(zhǔn)晶體結(jié)構(gòu)、化學(xué)等領(lǐng)域，斐波納契數(shù)列都有直接的應(yīng)用，為此，美國數(shù)學(xué)會(huì)從1963起出版了以《斐波納契數(shù)列季刊》為名的一份數(shù)學(xué)雜志，用于專門刊載這方面的研究成果。 這個(gè)時(shí)候，我們來看看斐波那契數(shù)列與矩形面積的生成相關(guān)，由此可以導(dǎo)出一個(gè)斐波那契數(shù)列的一個(gè)性質(zhì)。 斐波那契數(shù)列前幾項(xiàng)的平方和可以看做不同大小的正方形，由于斐波那契的遞推公式，它們可以拼成一個(gè)大的矩形。這樣所有小正方形的面積之和等于大矩形的面積。則可以得到如下的恒等式：（如圖） 這個(gè)時(shí)候，斐波那契數(shù)列和黃金分割率就聯(lián)系了起來， 其實(shí)，我國古代的數(shù)學(xué)家，楊輝，發(fā)現(xiàn)了著名的楊輝三角，（如圖） 那么我們就會(huì)想，我們古代的數(shù)學(xué)家是如何得到這些智慧呢？ 其實(shí)，楊輝三角的排列，讓人們更容易聯(lián)系到易經(jīng)的主要內(nèi)容： 無極生太極，太極生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦，以此類推下去，每次生化出來，增加一個(gè)爻位。 六十四卦是什么，就是六爻卦，看到這里，楊輝三角和易經(jīng)是聯(lián)系起來的， 其中的聯(lián)系，是把同樣帶有相同數(shù)目陰陽爻分類的卦歸為一類，比如： 純陽卦、純陰卦卦各對(duì)應(yīng)一數(shù)， 卦中有一個(gè)陰爻的對(duì)應(yīng)一類，有多少個(gè)算多少， 卦中有一個(gè)陽爻的對(duì)應(yīng)一類，有多少個(gè)算多少， 以此類推，（如下圖） 那么楊輝三角和河圖洛書直接關(guān)聯(lián)的， 洛書、太極圖中隱含的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)和黃金分割， 《大戴禮記·明堂篇》載文王之廟“明堂”設(shè)有“九室”，其數(shù)制是“二九四，七五三，六一八”，此即洛書。后人更以“二、四為角，六、八為足，左三右七，戴九履一，五居中央”示之。由此洛書的結(jié)構(gòu)是很確定的。 洛書又稱九宮圖，為一三階幻方，即每行數(shù)相加都是十五，但其實(shí)在的意義并不止此。將其中的偶數(shù)提取出來，即成如下圖式： 直觀此圖，似乎并無特色。但按右旋結(jié)構(gòu)，即可發(fā)現(xiàn)2+6=8，6+8=14，8+4=12，4+2=6，為方便起見，舍去10位數(shù)，只留個(gè)位數(shù)，即可發(fā)現(xiàn)其右旋結(jié)構(gòu)為一加法序列，2+6=8，6+8=4，8+4=2，4+2=6，這一序列是循環(huán)的，按其左旋結(jié)構(gòu)，則2×2＝4，4×2＝8，8×2＝16，6×2＝12，亦舍去10位數(shù)，即可發(fā)現(xiàn)其左旋結(jié)構(gòu)為一乘法序列，2×2＝4，4×2＝8，8×2＝6，6×2＝2，這一序列也是循環(huán)的。事實(shí)上，2，6，8，4這一序列是斐波那契數(shù)列2（1，3，4，7，11……）的個(gè)位數(shù)的循環(huán)序列，2，4，8，6這一序列是等比數(shù)列2（1，2，4，8，16……）的個(gè)位數(shù)的循環(huán)序列。再將此圖簡化，即是如下圖式： 對(duì)其略加調(diào)整，即是： 3 4 2 1  這一簡單圖式竟然包含著正旋為加法序列，反旋為乘法序列的奇妙結(jié)構(gòu)，若不細(xì)思，實(shí)難發(fā)現(xiàn)。前又已述，加法表示事物之間距離較大的關(guān)系，乘法表示事物之間距離較小的關(guān)系，那么能否把二者協(xié)調(diào)起來呢，能不能找到一個(gè)既有加法序列的特點(diǎn)，使事物保持各自的特性，又有乘法序列的特點(diǎn)，使事物保持足夠程度的相互聯(lián)系呢了？ 先設(shè)定1為為始數(shù)，斐波那契數(shù)列的特點(diǎn)是在a,b,c數(shù)列中a+b=c，而乘法數(shù)列的規(guī)律是b2=ac，設(shè)a=1，則1+b=c，b2=c，由此得到一個(gè)一元二次方程， 即b2－b－1＝0，則b1= ，b2=— 這正是黃金分割的比率。因此，黃金分割分割數(shù)列 ，1，1+ ……正好是同時(shí)符合加法序列與乘法序列兩種序列特點(diǎn)的黃金分割序列。 左旋序列即在傳統(tǒng)文化中頗有地位的“太極生兩儀，兩儀生四象，四象變八卦”的1，2，4，8……序列。 右旋序列即為西方數(shù)學(xué)家斐波那契所發(fā)現(xiàn)的一種斐波那契數(shù)列，即1，3，4，7……。 眾所周知，斐波那契數(shù)列的特點(diǎn)是其相鄰兩數(shù)的比率無限地趨向黃金分割，表現(xiàn)出一種不斷進(jìn)化和選擇的精神。而乘法序列則是按照一個(gè)固定的比率無限地裂變，體現(xiàn)了穩(wěn)定的遺傳牲。乘法序列還體現(xiàn)了一種平等原則，1分為2，2之中每個(gè)1都是完全一樣的，是平等的。而加法序列則體現(xiàn)了一種自性（或自由）原則，合二為一，一之中兩個(gè)數(shù)（c=a+b）是不均勻的，保持著各自的特點(diǎn)。但乘法序列中的平等是同一等級(jí)之間的相互平等，不同等級(jí)之間是不平等的，加法序列則沒有明顯的等級(jí)關(guān)系，前一等級(jí)中的大數(shù)又構(gòu)成后一等級(jí)中的小數(shù)，級(jí)差不太顯著。黃金分割序列則是自由原則與平等原則，均勻與非均勻的同一，是圓滿而又完美的序列，它既代表了一分為二的裂變而生的簡單的單性生殖，又代表了合二為一的和合而生的復(fù)雜的雙性繁殖，是潛藏的美妙結(jié)構(gòu)。 這一玄妙的結(jié)構(gòu)是如何產(chǎn)生的呢，是出于偶然的數(shù)學(xué)游戲還是必然的宇宙結(jié)構(gòu)，其實(shí)按照中國的傳統(tǒng)思想，這一結(jié)構(gòu)是非常自然的。 |
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