數(shù)學(xué)是幫助我們理解一些模型的有用工具。然而，當(dāng)我們憑直覺去解釋這些模型的時(shí)候，往往會(huì)出現(xiàn)一些錯(cuò)誤。在本文中，我們將介紹我們常犯的一些錯(cuò)誤，以及如何在考慮統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，概率和風(fēng)險(xiǎn)時(shí)避免這些錯(cuò)誤的出現(xiàn)。

生活中你經(jīng)常會(huì)看到一些新聞或者文章，它們宣稱某種事物或者某種行為，可以使人們活得更加健康，抑或者危害我們的身體，也許有的還宣稱利弊皆有。為什么看似嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)研究能產(chǎn)生相反的結(jié)論呢？

現(xiàn)如今，研究人員可以通過一些軟件隨時(shí)地分析數(shù)據(jù)并輸出復(fù)雜的統(tǒng)計(jì)測試結(jié)果。雖然這些軟件的功能很強(qiáng)大，但是它們同時(shí)也為那些對(duì)統(tǒng)計(jì)知識(shí)知之甚少的人打開了誤解之門，他們往往會(huì)不能正確理解數(shù)據(jù)之間的微妙關(guān)系，并得出錯(cuò)誤的結(jié)論。

以下是常見的謬誤和悖論，我們將進(jìn)行詳細(xì)的解釋，剖析它們是如何蒙蔽我們的雙眼從而得出錯(cuò)誤的結(jié)論的。

辛普森悖論

將不同組別的數(shù)據(jù)合并時(shí)，會(huì)導(dǎo)致各組原本表現(xiàn)出來的某種規(guī)律消失，當(dāng)這種情況發(fā)生時(shí)，合并之后呈現(xiàn)出的新規(guī)律甚至可能與每組的原本的規(guī)律相反。

舉個(gè)例子，某種治療手段在不同的組別里對(duì)患者的身體恢復(fù)是有害的，但是將所有組別的數(shù)據(jù)合并起來看，我們卻會(huì)發(fā)現(xiàn)它竟然對(duì)患者身體的恢復(fù)是有幫助的。

當(dāng)組成各組的成分差別較大的時(shí)候，就可能出現(xiàn)上述現(xiàn)象。如，對(duì)病人的數(shù)量進(jìn)行篩選，使得兩組試驗(yàn)中病人的組成差別很大（老人、小孩、成人的比例有很大的差別）時(shí)，將數(shù)據(jù)簡單的合并之后就會(huì)得出這樣的結(jié)論：有害的治療變成了有益的治療。

假設(shè)有一個(gè)雙盲試驗(yàn)（在雙盲試驗(yàn)中，受試驗(yàn)的對(duì)象及研究人員并不知道哪些對(duì)象屬于對(duì)照組，哪些屬于實(shí)驗(yàn)組），將患者分成兩組，每組有120人，但是兩組中患者的年齡結(jié)構(gòu)有很大的差異（第一組分為10人、20人、30人、60人，第二組分為60人、30人、20人、10人）。第一組的患者將接受治療，而第二組的患者不進(jìn)行治療。

總體結(jié)果表明，治療對(duì)患者是有益的，接受治療的患者的身體恢復(fù)率大于沒有接受治療的患者。

然而，當(dāng)你深入研究兩組中各個(gè)患者群體時(shí)，你會(huì)發(fā)現(xiàn)在所有的患者群體中， 沒有接受治療的患者身體恢復(fù)率提高了。

我們注意到，每組中不同年齡的患者人數(shù)是不同的，甚至是差別很大的，這就是我們得出錯(cuò)誤結(jié)果的原因。在這種情況下， 如果簡單的將兩組數(shù)據(jù)合并，就容易得出錯(cuò)誤的結(jié)論。

基本比率謬誤

當(dāng)我們判斷某個(gè)事件發(fā)生的可能性時(shí)，如果我們忽略了重要信息，就會(huì)產(chǎn)生誤判。

例如，假如有一個(gè)人說他很喜歡音樂，我們可能認(rèn)為他是一個(gè)音樂家，不會(huì)考慮他也許是個(gè)會(huì)計(jì)師。然而，現(xiàn)實(shí)中，會(huì)計(jì)師的人數(shù)遠(yuǎn)大于音樂家的人數(shù)。我們太容易被一些條件影響（這個(gè)例子中的“喜歡音樂”），忽略基本比例，從而得出錯(cuò)誤的結(jié)論（這個(gè)例子中的“他是一個(gè)音樂家”）。

基本比例謬誤常常發(fā)生在當(dāng)一個(gè)選項(xiàng)的基數(shù)遠(yuǎn)大于另一個(gè)選項(xiàng)的基數(shù)時(shí)。

假如有一種罕見疾病，患者在人群中只占4%。

此時(shí)有一種針對(duì)這種疾病的測試方法，但是它并不是很完美。如果有個(gè)人患有該疾病，但是這種測試方法只會(huì)告訴我們這個(gè)人的患病幾率為92%（也就是100個(gè)患者中，只有92個(gè)是診斷正確的）。如果這個(gè)人是健康的，那么該測試方法會(huì)告訴我們他有75%的健康幾率（也就說100健康的人中，只有75個(gè)是診斷正確的）。

如果我們對(duì)一個(gè)群體進(jìn)行測試，發(fā)現(xiàn)有1/4的人患病，我們可能會(huì)想，這些人也許真的病了。然而，事實(shí)并不是這樣。

根據(jù)我們的條件，在4%的患有該疾病的人群中，有92%的人可以被確診為患病（即總?cè)丝诘?.68%）。但在另外的96%的群體中，25%的人被誤診為患病（占總?cè)丝诘?4%）。

也就是說，被診斷為患有該病的27.68%的人群中，實(shí)際患病的幾率只有3.68%。所以說，對(duì)于被診斷為患病的人來說，實(shí)際上真正患病的人只占13.29%。

令人擔(dān)憂的是，世界上就有這樣的例子存在。在一項(xiàng)著名的研究中，醫(yī)生被要求進(jìn)行類似的計(jì)算， 通過乳腺的X光圖像告知某人是否患病， 只有15% 的正確率。

威爾·羅杰斯悖論

將某集合中的元素移到另一集合后，兩個(gè)集合的平均值都提高了，這就是威爾·羅杰斯悖論。

這個(gè)現(xiàn)象的名字來源于美國喜劇演員威爾·羅杰斯（Will Rogers），他曾開玩笑地說：“那些從俄克拉何馬州搬到加利福尼亞州的人，提高了兩個(gè)州的平均智商?！?/p>

當(dāng)數(shù)據(jù)從一個(gè)集合重新分類到另一個(gè)集合時(shí)， 如果該數(shù)據(jù)低于它要離開的集合的平均值， 但高于它所加入的集合的平均值， 則兩個(gè)集合的平均值將會(huì)增加。

假設(shè)有6個(gè)人，醫(yī)生估計(jì)他們的預(yù)期壽命分別是40歲、50歲、60歲、70歲、80歲、90歲。

預(yù)期壽命為40歲和50歲的人已被診斷患有某種疾病; 其他四個(gè)沒有。患者的平均壽命為45歲，另外四個(gè)的平均壽命為75歲。

如果開發(fā)出一種改進(jìn)的診斷工具來檢測那個(gè)預(yù)期壽命為60歲的人，并且發(fā)現(xiàn)他患有和那兩個(gè)人一樣的疾病，那么此時(shí)我們就要把他歸到另一組，這時(shí)我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，兩組的平均預(yù)期壽命均提高了5歲。

伯克森悖論

伯克森悖論指的是對(duì)于兩個(gè)獨(dú)立的事件，認(rèn)知者誤以為這兩個(gè)事件具有某種相關(guān)性。

這樣的悖論通常發(fā)生在兩個(gè)相互獨(dú)立的集合中，相互獨(dú)立意味著兩個(gè)集合之間沒有任何聯(lián)系。但是如果我們只看兩個(gè)集合中的某個(gè)子集，那么此時(shí)也許這兩個(gè)子集中的元素是負(fù)相關(guān)的。

當(dāng)子集不是整個(gè)種群的無偏樣本時(shí)， 就會(huì)發(fā)生這種情況，醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)中經(jīng)常引用伯克森悖論。例如，假設(shè)有一個(gè)醫(yī)院，它只治療a疾病和b疾病，或者兩個(gè)疾病均可以治療，那么盡管這兩種疾病是相互獨(dú)立的，但是這種醫(yī)院容易使我們覺得a疾病和b疾病是有關(guān)聯(lián)的。

考慮一個(gè)以學(xué)術(shù)能力和運(yùn)動(dòng)能力為基礎(chǔ)招收學(xué)生的學(xué)校。假設(shè)這兩種技能是完全獨(dú)立的。也就是說，在所有的學(xué)生中， 一個(gè)運(yùn)動(dòng)能力強(qiáng)的學(xué)生和一個(gè)運(yùn)動(dòng)能力弱的學(xué)生，都有可能具有優(yōu)秀的學(xué)術(shù)能力或者差的學(xué)術(shù)能力。

但是，如果這個(gè)學(xué)校只招收技能優(yōu)秀的學(xué)生（兩種技能均優(yōu)秀或者其中一種優(yōu)秀），那么在這群被錄取的學(xué)生中，體育能力和學(xué)術(shù)能力呈負(fù)相關(guān)。

為了說明這點(diǎn)，將所有學(xué)生（不止是這個(gè)學(xué)校的學(xué)生）按照兩種技能強(qiáng)弱分別從1到10劃分等級(jí)，每種技能的在每個(gè)等級(jí)里都有相同比例的人。

假設(shè)該學(xué)校只招收其中一個(gè)技能的等級(jí)或者兩個(gè)技能的等級(jí)為9或者10的學(xué)生。

此時(shí)我們看看被錄取的學(xué)生，運(yùn)動(dòng)能力強(qiáng)的學(xué)生和運(yùn)動(dòng)能力差的學(xué)生的平均學(xué)術(shù)等級(jí)都是相等的，都為5.5。然而， 高水平運(yùn)動(dòng)員的學(xué)術(shù)能力平均等級(jí)仍然和整個(gè)學(xué)生群體的學(xué)術(shù)能力平均等級(jí)一樣（均為5.5），但運(yùn)動(dòng)能力差的學(xué)生的學(xué)術(shù)能力平均等級(jí)是9.5，此時(shí)我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，這兩個(gè)能力呈負(fù)相關(guān)。

多重比較謬誤

對(duì)于具有很多變量的數(shù)據(jù)，如果在隨機(jī)試驗(yàn)中出現(xiàn)某種無法預(yù)料的趨勢，那么此時(shí)就容易出現(xiàn)多重比較謬誤。

當(dāng)在許多變量之間尋找變量之間的某種聯(lián)系時(shí)，如果變量很多，我們就很容易忽略一些可能性。比如，有1000相互獨(dú)立的變量，兩兩組合的話，就存在499500種可能，那么在這些組合中，也許存在一些巧合，使得它們似乎是相關(guān)的。

即使它們兩兩之間是獨(dú)立的，但是對(duì)于那么多的可能性，總有一些數(shù)據(jù)巧合，使得某兩個(gè)變量之間似乎存在某種聯(lián)系。

生日悖論就是一個(gè)多重比較謬誤的典型例子。

假如有23個(gè)人，如果要計(jì)算有兩個(gè)人在同一日出生的概率，在不考慮特殊因素的前提下，例如閏年、雙胞胎，假設(shè)一年365日出生概率是平均分布的（現(xiàn)實(shí)生活中，出生概率不是平均分布的），那么這些人中，有兩個(gè)人生日是同一天的概率大于50%。

這樣的結(jié)果挺讓人難以置信的，因?yàn)槿藗兒苌儆龅胶妥约荷障嗤娜耍?dāng)然，如果隨機(jī)選兩個(gè)人，那么他們生日是同一天的概率是非常低的（小于0.3%）。

對(duì)于這23個(gè)人，兩兩組合，能產(chǎn)生253種可能性，在這么多的可能性中，是可能出現(xiàn)生日相同的組合的，而且概率很高。有興趣的讀者可以算一下，最終的結(jié)果可以用一個(gè)公式表達(dá)出來：

其中P為概率，n為人數(shù)，如果計(jì)算23人，將23帶入即可，算出來約為50.7%。

所以對(duì)于40個(gè)人來說，其中兩個(gè)人生日相同的概率將近90%。

原文鏈接：https:///paradoxes-of-probability-and-other-statistical-strangeness-74440