（作者：齊龍新）

【溫馨提示】2016年10月8號(hào)，教育部考試中心公布了[2016]第179號(hào)文件《關(guān)于2017年普通高考考試大綱修訂內(nèi)容的通知》，特別提出要關(guān)注數(shù)學(xué)文化。前面我連續(xù)寫了《什么是數(shù)學(xué)文化？》、《數(shù)學(xué)文化的四個(gè)層次》、《數(shù)學(xué)文化的人本特性》三篇文章，對(duì)數(shù)學(xué)文化作了一個(gè)系統(tǒng)的梳理。梳理過(guò)后，我想大部分老師還是想急切知道數(shù)學(xué)文化到底如何在考題中體現(xiàn)出來(lái)。事實(shí)上，在此之前，各省份的高考試題就已經(jīng)在這方面有所體現(xiàn)，也出現(xiàn)了一些滲透數(shù)學(xué)文化的精彩題目。分析這些高考試題，會(huì)發(fā)現(xiàn)目前大致出現(xiàn)了以下六種方式:①滲透數(shù)學(xué)史；②滲透數(shù)學(xué)名題；③滲透數(shù)學(xué)精神；④滲透數(shù)學(xué)美；⑤滲透數(shù)學(xué)應(yīng)用；⑥滲透數(shù)學(xué)語(yǔ)言。故下一步我將分別從這六個(gè)方面進(jìn)行論述。

上期我們談了《數(shù)學(xué)史在高考試題中的滲透》，本期再談高考試題中數(shù)學(xué)名題的滲透。

賞析數(shù)學(xué)名題在高考試題中的滲透

什么是經(jīng)典？常念為經(jīng)，常數(shù)為典。經(jīng)典就是經(jīng)得起重復(fù)。常被人想起，不會(huì)忘記。常言道：“話說(shuō)三遍淡如水?！币话愕脑挾嗾f(shuō)幾遍人就要煩。但經(jīng)典的語(yǔ)言，人們一遍遍地說(shuō)，一代代地說(shuō)；經(jīng)典的書，人們一遍遍地讀，一代代地讀；經(jīng)典的題目，人們一遍遍地做，一代代地練。

有些數(shù)學(xué)歷史名題有著令人深深折服的自身魅力，一般來(lái)說(shuō)，這些名題的提出都是非常自然的，它或者直接提供了相應(yīng)數(shù)學(xué)內(nèi)容的現(xiàn)實(shí)背景，或與深刻的數(shù)學(xué)內(nèi)容相結(jié)合，或者深刻揭示了實(shí)質(zhì)性的數(shù)學(xué)思想，或者與經(jīng)典的解法相互關(guān)聯(lián)，或與著名的數(shù)學(xué)大師有關(guān)。這種名題尤其得到命題人的青睞，常常將這些數(shù)學(xué)名題作些技術(shù)性處理，就可以讓“陳舊”的內(nèi)容煥發(fā)生機(jī)。

賞析：例1與例2問(wèn)題的設(shè)計(jì)源于“角谷猜想”，該問(wèn)題是由德國(guó)數(shù)學(xué)家克拉茨提出的，這個(gè)問(wèn)題是這樣：任給一個(gè)正整數(shù)n，如果n是偶數(shù)，就將它減半（即n/2）；如果n是奇數(shù)，則將它乘3加1（即3n 1），不斷重復(fù)這樣的運(yùn)算，經(jīng)過(guò)有限步后，一定可以得到1。如初始正整數(shù)為３，按照上述變換規(guī)則，我們得到一個(gè)數(shù)列：３，１０，５，１６，８，４，２，１．后來(lái)一位名叫角谷的日本人把它帶到亞洲，因而人們就順勢(shì)把它叫做“角谷猜想”．

“角谷猜想”說(shuō)明初始值無(wú)論有多么大的誤差，都是會(huì)自行恢復(fù)到1。這個(gè)猜想經(jīng)過(guò)特殊值驗(yàn)證都是正確的，但是目前無(wú)人能夠精確證明。以上兩個(gè)題目中，例1是以分段數(shù)列的形式給出，例2是以程序框圖的形式給出，它們形式上雖然發(fā)生了變化，但命制根源還是角谷猜想。

例３（２０１４年湖北文１７）已知圓Ｏ：ｘ2＋ｙ2＝１和點(diǎn)Ａ（－２，０），若定點(diǎn)Ｂ（ｂ，０）（ｂ≠－２）和常數(shù)λ滿足：對(duì)圓Ｏ上那個(gè)任意一點(diǎn)Ｍ，都有｜ＭＢ｜＝

λ｜ＭＡ｜，則

（１）ｂ＝_________；（２）λ＝_________．

例6.（2006年四川理6題）

已知兩定點(diǎn)A(-2,0),B(1,0)，如果動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|=2|PB|,則點(diǎn)P的軌跡所包圍的面積等于（）

A.π B.4π C.8π D.9π

賞析:例3、例4、例5、例6都源于阿波羅圓，它的定義為：動(dòng)點(diǎn)P到兩定點(diǎn)F1,F2距離之比為定值λ（λ為正數(shù)），則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是阿波羅圓。如果完全統(tǒng)計(jì)的話，阿波羅圓在近十年高考中，總共出了十余道，在十幾年時(shí)間內(nèi)?？疾凰?，其內(nèi)容應(yīng)該本無(wú)新意可言，但是每年給人的感覺(jué)卻是常新的，?？汲Ｐ拢缕垦b老酒，味道也是越發(fā)濃烈，阿波羅尼圓的魅力，真是體現(xiàn)得淋漓盡致！

例7.（2012年湖北理13題)

回文數(shù)是指從左到右讀與從右到左讀都一樣的正整數(shù)。如22,121,3443,94249等。顯然2位回文數(shù)有9個(gè)：11,22,33，…，99。3位的回文數(shù)有90個(gè)：101,111,121，…191,201，…，999.

（1）4位回文數(shù)有__________個(gè)；

（2）2n 1位(n∈N*)回文數(shù)有__________個(gè)

賞析：本題以回文數(shù)為背景，不僅考查學(xué)生的知識(shí)和信息的遷移能力，考察學(xué)生的自主探究、合情推理能力，還能使學(xué)生領(lǐng)略到數(shù)學(xué)美和數(shù)學(xué)文化。并且，人們迄今未能找到四次方、五次方以及更高次冪的回文素?cái)?shù)。于是數(shù)學(xué)家們猜想：不存在均是nk(k≥4，n,k均是自然數(shù)）形式的回文數(shù)，但還沒(méi)有被證實(shí)，這些有趣的回文數(shù)，至今還存在著許多不解之謎，值得學(xué)生再次展開研宄性學(xué)習(xí)。

例8.（2011年湖北理15題）

給n個(gè)自上而下相連的正方形著黑色或白色。當(dāng)n≤4時(shí)，在所有不同的著色方案中，黑色正方形互不相鄰的的著色方案如圖所示：

由此推斷，當(dāng)n=6時(shí)，黑色正方形互不相鄰的著色方案共有______種，至少有兩個(gè)黑色正方形根的著色方案共有___________種，（結(jié)果用數(shù)值表示）

賞析：該題一方面可以看成是涂色問(wèn)題，運(yùn)用排列組合相關(guān)知識(shí)可以解答；另一方面可以找出規(guī)律，發(fā)現(xiàn)這其實(shí)也是一個(gè)斐波那契數(shù)列問(wèn)題，運(yùn)用數(shù)列相關(guān)知識(shí)解決，所以此題是一道典型的具有數(shù)學(xué)文化背景的高考試題。其創(chuàng)新之處就是在四色問(wèn)題和斐波那契數(shù)列的基礎(chǔ)上，以圖形為依托，表面上是一道普通的涂色問(wèn)題，考查的是排列組合知識(shí)；實(shí)質(zhì)上通過(guò)創(chuàng)設(shè)一個(gè)斐波那契數(shù)列的問(wèn)題情境，考查學(xué)生的歸納猜想能力和合情推理意識(shí)。從命題的角度講，該題基于數(shù)學(xué)文化，屬于經(jīng)典問(wèn)題改造，這種改造應(yīng)該說(shuō)主要是形式上的，但就是這種改造己使很多考生不適應(yīng)。究其原因，學(xué)生或者是缺乏數(shù)學(xué)文化的素養(yǎng)，或者是不能透過(guò)表面現(xiàn)象去洞察問(wèn)題的實(shí)質(zhì).

問(wèn)題的設(shè)計(jì)以數(shù)學(xué)歷史上的名題為基礎(chǔ)，顯示出數(shù)學(xué)文化在選拔性考試中獨(dú)特的“點(diǎn)石成金”的作用。有人說(shuō)：考題年年創(chuàng)新，還有人說(shuō)：考題年年不變。這兩種說(shuō)法并不矛盾，恰好可以統(tǒng)一起來(lái)，事實(shí)上，不變的是問(wèn)題的本質(zhì)，創(chuàng)新的僅是問(wèn)題的形式。

參考文獻(xiàn)：《數(shù)學(xué)文化在高考試題中的滲透研究》王絢

下期預(yù)告：賞析數(shù)學(xué)精神在高考試題中的滲透—— 從數(shù)學(xué)文化視角解讀2017最新高考考綱變化(第6期）