Problem1

在直角三角形BCF中，點A在直線CF上且FA=FB，并且F在A,C之間，點D使得DA=DC并且AC是∠BAD的角平分線，點E使得EA=ED且AD是∠EAC的角平分線， M是FC中點，X使得AMXE是平行四邊形，證明：ME,FX,BD三線共點。

Problem2

求所有的正整數(shù)n使得能夠?qū)⒁粋€ n×n 方形表格填滿 I,M,O三個字母，并且滿足如下條件：

◆每行、每列恰好有：三分之一的I,三分之一的M,三分之一的O。

◆i若某條對角線上的方格數(shù)是3的倍數(shù)，則這條對角線上也恰好有三分之一的I,三分之一的M,三分之一的O。

Note:將第i行第j列的表格記為(i，j)，這里的“對角線”一共有兩類4n-2條，第一類每條對角線指所有使得i+j為常數(shù)的小方格(i，j)的集合，第二類是指所有使得i-j為常數(shù)的小方格(i,j)的集合。

Problem3

有P=A1 A2 …Ak 是一個平面直角坐標(biāo)系中的凸多邊形，已知P內(nèi)接于圓且 A1 A2 …Ak 縱橫坐標(biāo)均為整數(shù).P的面積為S，正奇數(shù)n滿足P每條邊長度的平方均被n整除，證明：2S是一個被n整除的整數(shù)。

Problem4

　　一個由正整數(shù)構(gòu)成的集合稱為'芳香集' ，若它至少有兩個元素，且其中每個元素都與其他元素中的至少一個元素有公共的素因子，設(shè)P(n)=n^2+n+1，問 正整數(shù)b最小為何值時能夠存在一個非負(fù)整數(shù)a使得集合

　　{P(a+1),P(a+2)……P(a+b)}

　　是一個'芳香集'

　　Problem5

　　黑板上寫有方程：

　　(x-1)(x-2)…(x-2016)=(x-1)(x-2)…(x-2016)

　　其中等號兩邊各有2016個一次因式，試問：正整數(shù)k最小為何值時，可以在等號兩邊擦去4032個一次因式中的恰好k個，使得等號每一邊都至少留下一個一次因式，且所得到的方程沒有實數(shù)根?

　　Problem6

　　在平面上有n≥2條線段，其中任意兩條線段都交叉，且沒有第三條線段相交于同一點，Geoff在每條線段上選取一個端點并放置一只青蛙在此端點上，青蛙面向另一個端點，接著Geoff會拍n-1次手，每當(dāng)他拍一次手，每只青蛙都立即跳到它所在的線段的下一個交點，每只青蛙均不會改變跳躍的方向，Geoff的愿望是能夠適當(dāng)?shù)胤胖们嗤?，使得在任何時候都不會有兩只青蛙落在同一個交點上：

　　(a)證明：若n是奇數(shù)，則Geoff總能實現(xiàn)他的愿望。

　　(b)證明：若n是偶數(shù)，則Geoff不可能實現(xiàn)他的愿望