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上一篇探討了實數(shù)收斂的概念，用無窮級數(shù)來確定一個數(shù)。很容易把它擴展到無窮的函數(shù)序列求極限的問題。在初等微積分里，這是對函數(shù)變量的每個值逐點來考察，對每個固定的變量值，這無窮序列對應著一個函數(shù)值的數(shù)列，如果所有點對應的數(shù)列都收斂，那就認為這無窮函數(shù)序列收斂，它的極限函數(shù)在每個點的函數(shù)值是相應數(shù)列的極限值。這樣函數(shù)序列的極限稱為逐點收斂的。這個方法被牛頓引入后，廣泛地應用，它雖然可行，但在微積分進一步研究時又遇到種種麻煩，于是又附加了許多條件，如“一致連續(xù)”，“絕對可積”等等，最后弄得微積分繁雜不堪。能不能把整個函數(shù)看成一個數(shù)學空間里的一個點，把這些條件都看成空間里的性質，從一個統(tǒng)一的角度來研究收斂極限的問題？這便是這一篇要介紹的概念。 現(xiàn)代的數(shù)學建立在比實數(shù)更加抽象的集合論基礎上，應用于更廣泛的空間。要將定義在實數(shù)上一元函數(shù)微積分的本質說清楚，推廣到多元函數(shù)，函數(shù)逼近，泛函，隨機過程，乃至各種抽象數(shù)學結構的集合上，我們要了解集合元素間聯(lián)系的結構，這樣才可能描述變動個體的走向，空間的性質，進而談及趨近、收斂和極限。 微積分是基于無窮逼近極限的數(shù)學。收斂描述的是變動差別越來越小，直至微不可察的數(shù)列表現(xiàn)。收斂極限的存在，取決于實數(shù)的完備性。所以無窮逼近過程的含義和結果，依賴于它所在數(shù)學空間的性質。傳統(tǒng)微積分是建立在實數(shù)空間 |
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