【知識要點歸納】 1.比例的意義 表示兩個比相等的式子叫做比例。它是判定兩個比能否組成比例的依據(jù)之一。組成比例的四個數(shù)叫做它的項,分為內(nèi)項和外項。 2.比例的基本性質(zhì) 在比例里,兩個外項的積等于兩個內(nèi)項的積,這叫做比例的基本性質(zhì)。它是判定兩個比能否組成比例的另一重要依據(jù)。運用比例的基本性質(zhì)可以解比例。 3.解比例 根據(jù)比例的基本性質(zhì),如果已知比例中的任何三項,就可以求出這個比例中的另外一個未知項,叫做解比例。 4.比例尺 (1)比例尺的意義。 圖上距離和實際距離的比,叫做這幅圖的比例尺。表示如下: 圖上距離:實際距離=比例尺 或 比例尺一般寫成“1∶a”或“a∶1”的形式,分為數(shù)字比例尺和線段比例尺兩種。 5.比例尺的作用 在繪地圖和其它平面圖的時候,需要把實際距離縮小一定的倍數(shù);在制造精密儀器時,需要把實際尺寸擴大一定倍數(shù)后,再畫在圖紙上。 6.求圖上距離和實際距離的方法 一般用方程來解答。即設(shè)定要求的量為未知數(shù),然后列成比例式,再用解比例的方式求出未知數(shù)。如果計算熟練,也可以直接運用公式解答: 圖上距離=實際距離×比例尺 實際距離=圖上距離÷比例尺 【典型范例剖析】 例1 如果兩個比的比值 分析:由 解:a、b、c、d四個數(shù)可能組成的比例式為: ① 例2 判定 分析:判定兩個比能否組成比例的方法有兩種:一是定義;二是比例的基本性質(zhì)。運用比例的基本性質(zhì)判定時,可以將四個數(shù)中最大的數(shù)與最小的數(shù)組成一組,剩下的兩個數(shù)組成一組,看它們的乘積是不是相等;運用定義作判定時,可以將四個數(shù)中較小的兩個數(shù)組成一個比、讓剩下的兩個較大的數(shù)組成一個比,看它們的比值是否相等。
則 答: 例3 在比例尺是1:2000的圖紙上,量得一個長方形花園的長是2.4厘米,寬是1.8厘米,這個花園的實際面積是多少平方米? 分析:長方形的面積等于長乘以寬,題中告訴了比例尺和圖上距離,我們可以直接運用關(guān)系式來求出長與寬的實際距離,然后計算花園的實際面積。 解:設(shè)長為x厘米,寬為y厘米則有:
③長方形的面積為:48×36=1728(平方米) 答:這個花園的實際面積是1728平方米 例4 甲的 分析:根據(jù)比例的基本性質(zhì)將甲× 解:由甲× 則甲=乙× (21-8)÷21= 答:甲比乙少 【解題技巧指點】 1.用求比值的方法組成比例時,注意四個數(shù)如何分成兩組:一是將較小的兩個數(shù)分成一組,將較大的兩個數(shù)分成一組;二是將較小和較大的兩組數(shù)中的較小的分成一組,較大的分成一組。如:1,2,4,8??梢詫?、2和4、8分成兩組,即1∶2=4∶8或2∶1=8∶4,也可以將1、4和2、8分成兩組即1∶4=2∶8或4∶1=8∶2。 2.用比例的基本性質(zhì)組比例時,分組的方法只有一種,那就是用最小的和最大的組成一組,其余兩個組成一組:如3、4、6、8四個數(shù):可以將3、8和4、6組成兩組。即:3×8=4×6 3.利用比例的基本性質(zhì)判定四個數(shù)能組成比例后,一般可以得到四個比例式,這四個比例式的表現(xiàn)形式雖不一樣,但都滿足“兩內(nèi)項之積等于兩外項之積”。 4.運用比例尺解題時,要特別注意單位的統(tǒng)一。如求用60厘米表示30千米的比例尺時,就是用60厘米:30千米=60厘米∶3000000厘米=1∶50000。 【課本難題解答】 練習一第8題 分析:根據(jù)比例的基本性質(zhì),我們可以用等號左邊的一個因式分別比等號右邊的一個因式,再用等號右邊剩下的一個因式比等號左邊剩下的一個因式: 解:(1)由3×40=8×15得3∶8=15∶40 3∶15=8∶40 40∶8=15∶3 40∶15=8∶3 (上述四個比例式的左、右兩邊還可以調(diào)換位置) (2)由
練習一思考題 分析與答案:三人進行田徑比賽,有五個項目,就有五個第一名、五個第二名和五個第三名,三人的總分為: (1+2+5)×5=40(分)。乙得800米賽跑的第一名,得到5分,那么他其它四項就一共得4分,所以乙得到其它四項的第三名。丙一共得到9分,他不能再得到某項的第一名,所以丙得到100米、400米、跳高、跳遠的第二名和800米的第三名。則甲得到800米的第二名和其它四項的第一名。 練習二第10題 分析:題中要求的是平行四邊形的實際面積,但未告訴圖上距離,我們可以用刻度尺量出平行四邊形的底邊和高大約為2.5厘米、1.5厘米,再根據(jù)求實際距離的公式,求出平行四邊形的實際底邊和高的長度,最后計算其實際面積。 解:量得平行四邊形的底邊長2.5厘米,高為1.5厘米,則 ①平行四邊形的實際底長為:2.5÷ ②平行四邊形的實際高為:1.5÷ 1250厘米=12.5米 750厘米=7.5米 ③平行四邊形的面積為: 12.5×7.5=93.75平方米。 答:實際面積為93.75平方米。 練習二思考題 分析與答案:從圖中可以看出:三角形的內(nèi)角和是180°,即180×(3-2)度;四邊形引一條對角線,可以看作兩個三角形,所以四邊形的內(nèi)角和是180°×2=360°,即180×(4-2)度;依此類推,發(fā)現(xiàn)n邊形的內(nèi)角和是180×(n-2)度。 【發(fā)散思維導(dǎo)訓】 導(dǎo)1 把“ 分析:根據(jù)比例的定義,要想將乘法關(guān)系的兩個相等式子,改成相比關(guān)系的兩個相等式子,我們可以運用乘除互逆的原則來進行變形。即,由“ 解:根據(jù)題意,能得到的比例是: ① ③4.5: 說明:檢驗比例是否正確的原則是比例的基本性質(zhì)。通過上例的檢驗,我們可以發(fā)現(xiàn):四個比例所變成的兩內(nèi)項之積等于兩外項之積都滿足一個式子: 導(dǎo)2 在比例尺是1:6000000的地圖上,量得兩地距離是5厘米。甲、乙兩輛汽車同時從兩地相向而行,3小時后兩車相遇。已知甲汽車與乙汽車的速度比是2:3,求甲、乙兩輛汽車的速度各是多少千米/時? 分析:這道題實際上是行程問題中的相遇問題,我們要根據(jù)題中的比例尺和圖上距離,先求出甲、乙兩地之間的實際距離:5÷ 解:甲、乙兩地之間的實際距離為: 5÷ 設(shè)乙的速度為x千米/時,則甲的速度為 3x+3× 則 答:甲車速度為每小時40千米,乙車速度為每小時60千米。 導(dǎo)3 青山區(qū)小學六年級學生分三組參加植樹活動,第一組和第二組人數(shù)的比是5:4,第二組和第三組人數(shù)的比是3:2,已知第一組人數(shù)比第二、三組人數(shù)的總和少15人。求六年級參加植樹的共有多少人? 分析:先根據(jù)各小組之間的比例關(guān)系,找出三個組之間的具體比例關(guān)系,然后找出與15相對應(yīng)的分率,從而找出對應(yīng)的總量: 解:由 得三個組之間的比例關(guān)系是:甲:乙:丙=15:12:8。 解法一:15÷( 解法二:設(shè)六年級的總?cè)藬?shù)為x人,則:
答:六年級共有人數(shù)105人。 訓1 三人共儲蓄780元,現(xiàn)甲從自己的存款中取出100元;乙從自己的存款中取出80元,丙取出本人儲蓄的 訓2 甲、乙兩人騎自行車各從一地同時相向而行,甲行全程要6小時,兩人相遇時所行的路程比是3:2,這時甲比乙多行18千米,求乙每小時行多少千米。 訓3 甲、乙兩倉庫原有水泥袋數(shù)的比是4:3,甲倉庫用去48袋后,甲、乙兩倉庫水泥袋數(shù)的比是2:3,甲、乙兩倉庫原有水泥各多少袋? 【同步達綱練習】 【作業(yè)優(yōu)化設(shè)計】 1.填空。 (1)4∶0.5的比值是( ),12∶15的比值是( )。 (2) (3)如果5a=8b,那么( ):( )=5:8。 (4)如果 (5)用3、6、2、9四個數(shù)組成兩個不同的比例是( )。 (6)圖上20厘米表示實際10千米,這幅地圖的比例尺是( )。 (7)比例尺1:5000000,表示地圖上1厘米的距離表示地面上實際上( )千米。 (8) (9)比例尺4:1是表示把實際距離( )。 (10)圖上的距離是實際距離的10倍,畫在地圖上、所用的比例尺是( ),如畫一個零件在圖紙上是20厘米,實際上這個零件的長度為( )。 2.判斷。(對的打“√”,錯的打“×”) (1)兩個比組成的式子叫比例。( ) (2)由2、3、4、5四個數(shù)可以組成比例。( ) (3)因為3x=4y,所以 (4)在比例尺是 (5)圖上長4厘米的線段表示實際長20千米,則這幅圖的比例尺是1:5000。( ) 3.選擇題。 (1)能與 ①2:3 ②3:2 ③ ④ (2)下列各組數(shù)中可以組成比例的是( )。 ①0、1、3、6 ②2、3、4、6 ③5、6、8、9 ④1、2、3、4 (3)能與 ①0 ②1 ③2 ④3 (4)在比例尺是 ①24000000 ②24000 ③2400 ④240 (5)一個工廠的長是600米,畫在比例尺是 ①6 ②15 ③4 ④1 (6)在一個比例式中,兩個比的比值是4,這兩個比的內(nèi)項都是6,這個比例式是( )。 ①24:6=6:65 ②1.5:6=6:24 ③6:1.5=24:6 (7)一個三角形的三個內(nèi)角的比是2:3:5,這個三角形是( )三角形。 ①直角 ②銳角 ③鈍角 ④等腰 (8)在 ①1.5 ② ③2 ④1 4.根據(jù)下列要求寫出比例式。 (1)使它的各項都是整數(shù),而且兩個比的比值是5。 (2)使它的內(nèi)項相等,而且兩個比的比值都是 (3)使它的兩個內(nèi)項互為倒數(shù)。 5.解比例。 (1) (3) 6.應(yīng)用題。 (1)兩地之間的距離是600千米,畫在地圖上用3厘米的線段來表示,那么這幅地圖的比例尺是多少? (2)在比例尺為1:20000的圖紙上,量出一個操場的寬為2厘米,長為3厘米,它的實際面積是多少平方米? (3)在比例尺為1:3000000的地圖上,量得甲、乙兩地的距離為3.6厘米,如果汽車以每小時60千米的速度從甲地到乙地,多少小時可以到達? (4)在一幅比例尺是1:200000O的地圖上,量得甲、乙兩地的距離是20厘米。如果在另一幅地圖上,甲、乙兩地的距離是10厘米,另一幅地圖的比例尺是多少? 【快樂大本營】 放大比例尺 在比例尺為100:1的圖紙上,量得一個零件的長是15厘米,這個零件的實際長度是多少厘米?試比較這個零件圖上長度和實際長度的大小。 【作業(yè)優(yōu)化設(shè)計】 1.(1)8, 2.(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)× 3.(1)① (2)② (3)④ (4)④ (5)② (6)② (7)② 4.略 5.(1)x=30 (2)x=1 6.(1)1:20000000 (2)240000平方米 (3)1.8小時 (4)1:4000000 【快樂大本營】 0.15厘米,圖上長度大于實際長度
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