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比例的基本性質(zhì)

 家庭主婦828 2016-01-17

教學內(nèi)容:比例的意義和基本性質(zhì)

 

【知識要點歸納】

1.比例的意義

表示兩個比相等的式子叫做比例。它是判定兩個比能否組成比例的依據(jù)之一。組成比例的四個數(shù)叫做它的項,分為內(nèi)項和外項。

2.比例的基本性質(zhì)

在比例里,兩個外項的積等于兩個內(nèi)項的積,這叫做比例的基本性質(zhì)。它是判定兩個比能否組成比例的另一重要依據(jù)。運用比例的基本性質(zhì)可以解比例。

3.解比例

根據(jù)比例的基本性質(zhì),如果已知比例中的任何三項,就可以求出這個比例中的另外一個未知項,叫做解比例。

4.比例尺

1)比例尺的意義。

圖上距離和實際距離的比,叫做這幅圖的比例尺。表示如下:

圖上距離:實際距離=比例尺    或=比例尺

比例尺一般寫成“1∶a”或“a∶1”的形式,分為數(shù)字比例尺和線段比例尺兩種。

5.比例尺的作用

在繪地圖和其它平面圖的時候,需要把實際距離縮小一定的倍數(shù);在制造精密儀器時,需要把實際尺寸擴大一定倍數(shù)后,再畫在圖紙上。

6.求圖上距離和實際距離的方法

一般用方程來解答。即設(shè)定要求的量為未知數(shù),然后列成比例式,再用解比例的方式求出未知數(shù)。如果計算熟練,也可以直接運用公式解答:

圖上距離=實際距離×比例尺   實際距離=圖上距離÷比例尺

 

【典型范例剖析】

1 如果兩個比的比值互為倒數(shù),那么a、b、c、d這四個數(shù)可以組成怎樣的比例?寫出比例式?

分析:由互為倒數(shù),且的倒數(shù)是,可知。

解:a、b、c、d四個數(shù)可能組成的比例式為:

  ?、?sub>  ?、?sub>  ?、?sub>

2 判定、、四個數(shù)能否組成比例。

分析:判定兩個比能否組成比例的方法有兩種:一是定義;二是比例的基本性質(zhì)。運用比例的基本性質(zhì)判定時,可以將四個數(shù)中最大的數(shù)與最小的數(shù)組成一組,剩下的兩個數(shù)組成一組,看它們的乘積是不是相等;運用定義作判定時,可以將四個數(shù)中較小的兩個數(shù)組成一個比、讓剩下的兩個較大的數(shù)組成一個比,看它們的比值是否相等。

 

解法一:

解法二:

    

    

所以

所以:

 

、可以組成比例

答:、、四個數(shù)可以組成比例。

3 在比例尺是1:2000的圖紙上,量得一個長方形花園的長是2.4厘米,寬是1.8厘米,這個花園的實際面積是多少平方米?

分析:長方形的面積等于長乘以寬,題中告訴了比例尺和圖上距離,我們可以直接運用關(guān)系式來求出長與寬的實際距離,然后計算花園的實際面積。

解:設(shè)長為x厘米,寬為y厘米則有:

 

x=2000×2.4

y=2000×1.8

x=4800

y=3600

4800厘米=48米

3600厘米=36米

 

 

③長方形的面積為:48×36=1728(平方米)

答:這個花園的實際面積是1728平方米

4 甲的等于乙數(shù)的,那么甲比乙少幾分之幾?

分析:根據(jù)比例的基本性質(zhì)將甲×=乙×寫成比例的形式,然后,看甲、乙的分數(shù),最后用“甲比乙少幾分之幾”的關(guān)系式(乙-甲)÷乙,得出結(jié)果。

解:由甲×=乙×得,    甲:乙==

則甲=乙×,也就是把乙看成單位“1”平均分成21份,甲相當于其中的8份。則

21-8)÷21=

答:甲比乙少。

 

【解題技巧指點】

1.用求比值的方法組成比例時,注意四個數(shù)如何分成兩組:一是將較小的兩個數(shù)分成一組,將較大的兩個數(shù)分成一組;二是將較小和較大的兩組數(shù)中的較小的分成一組,較大的分成一組。如:1,2,4,8??梢詫?、2和4、8分成兩組,即1∶2=4∶8或2∶1=8∶4,也可以將1、4和2、8分成兩組即1∶4=2∶8或4∶1=8∶2。

2.用比例的基本性質(zhì)組比例時,分組的方法只有一種,那就是用最小的和最大的組成一組,其余兩個組成一組:如3、4、6、8四個數(shù):可以將3、8和4、6組成兩組。即:3×8=4×6

3.利用比例的基本性質(zhì)判定四個數(shù)能組成比例后,一般可以得到四個比例式,這四個比例式的表現(xiàn)形式雖不一樣,但都滿足“兩內(nèi)項之積等于兩外項之積”。

4.運用比例尺解題時,要特別注意單位的統(tǒng)一。如求用60厘米表示30千米的比例尺時,就是用60厘米:30千米=60厘米∶3000000厘米=1∶50000。

 

【課本難題解答】

練習一第8題

分析:根據(jù)比例的基本性質(zhì),我們可以用等號左邊的一個因式分別比等號右邊的一個因式,再用等號右邊剩下的一個因式比等號左邊剩下的一個因式:

解:(1)由3×40=8×15得3∶8=15∶40  3∶15=8∶40  40∶8=15∶3

40∶15=8∶3 (上述四個比例式的左、右兩邊還可以調(diào)換位置)

2)由

      

練習一思考題

分析與答案:三人進行田徑比賽,有五個項目,就有五個第一名、五個第二名和五個第三名,三人的總分為:

1+2+5)×5=40(分)。乙得800米賽跑的第一名,得到5分,那么他其它四項就一共得4分,所以乙得到其它四項的第三名。丙一共得到9分,他不能再得到某項的第一名,所以丙得到100米、400米、跳高、跳遠的第二名和800米的第三名。則甲得到800米的第二名和其它四項的第一名。

練習二第10題

分析:題中要求的是平行四邊形的實際面積,但未告訴圖上距離,我們可以用刻度尺量出平行四邊形的底邊和高大約為2.5厘米、1.5厘米,再根據(jù)求實際距離的公式,求出平行四邊形的實際底邊和高的長度,最后計算其實際面積。

解:量得平行四邊形的底邊長2.5厘米,高為1.5厘米,則

①平行四邊形的實際底長為:2.5÷=1250厘米

②平行四邊形的實際高為:1.5÷=750厘米

1250厘米=12.5米      750厘米=7.5米

③平行四邊形的面積為: 12.5×7.5=93.75平方米。

答:實際面積為93.75平方米。

練習二思考題

分析與答案:從圖中可以看出:三角形的內(nèi)角和是180°,即180×(3-2)度;四邊形引一條對角線,可以看作兩個三角形,所以四邊形的內(nèi)角和是180°×2=360°,即180×(4-2)度;依此類推,發(fā)現(xiàn)n邊形的內(nèi)角和是180×(n-2)度。

 

【發(fā)散思維導(dǎo)訓】

導(dǎo)1 把“”改成比例的形式,一共能得到哪些不同的比例?

分析:根據(jù)比例的定義,要想將乘法關(guān)系的兩個相等式子,改成相比關(guān)系的兩個相等式子,我們可以運用乘除互逆的原則來進行變形。即,由“”得“=×2.5÷4.5”進一步,得到“”也就是:。

解:根據(jù)題意,能得到的比例是:

       ?、?sub>

4.5:        ④4.5:2.5=

說明:檢驗比例是否正確的原則是比例的基本性質(zhì)。通過上例的檢驗,我們可以發(fā)現(xiàn):四個比例所變成的兩內(nèi)項之積等于兩外項之積都滿足一個式子:。

導(dǎo)2 在比例尺是1:6000000的地圖上,量得兩地距離是5厘米。甲、乙兩輛汽車同時從兩地相向而行,3小時后兩車相遇。已知甲汽車與乙汽車的速度比是2:3,求甲、乙兩輛汽車的速度各是多少千米/時?

分析:這道題實際上是行程問題中的相遇問題,我們要根據(jù)題中的比例尺和圖上距離,先求出甲、乙兩地之間的實際距離:=30000000厘米=300千米。然后運用相遇問題的關(guān)系式:S+S=S(S、S、S分別表示甲、乙行駛的路程和總路程)來解答問題。

解:甲、乙兩地之間的實際距離為:

=30000000厘米=300千米。

設(shè)乙的速度為x千米/時,則甲的速度為x千米/時,則

3x+3×=300     (x=60)

x=(千米/時)

答:甲車速度為每小時40千米,乙車速度為每小時60千米。

導(dǎo)3 青山區(qū)小學六年級學生分三組參加植樹活動,第一組和第二組人數(shù)的比是5:4,第二組和第三組人數(shù)的比是3:2,已知第一組人數(shù)比第二、三組人數(shù)的總和少15人。求六年級參加植樹的共有多少人?

分析:先根據(jù)各小組之間的比例關(guān)系,找出三個組之間的具體比例關(guān)系,然后找出與15相對應(yīng)的分率,從而找出對應(yīng)的總量:

解:由

得三個組之間的比例關(guān)系是:甲:乙:丙=15:12:8。

解法一:15÷()=105(人)

解法二:設(shè)六年級的總?cè)藬?shù)為x人,則:

     (x=105)

答:六年級共有人數(shù)105人。

1 三人共儲蓄780元,現(xiàn)甲從自己的存款中取出100元;乙從自己的存款中取出80元,丙取出本人儲蓄的,則三人余下的存款有這樣的關(guān)系;甲是乙的倍,乙與丙的比是3:2,則甲、乙、丙三人原各有多少存款?

 

 

2 甲、乙兩人騎自行車各從一地同時相向而行,甲行全程要6小時,兩人相遇時所行的路程比是3:2,這時甲比乙多行18千米,求乙每小時行多少千米。

 

 

3 甲、乙兩倉庫原有水泥袋數(shù)的比是4:3,甲倉庫用去48袋后,甲、乙兩倉庫水泥袋數(shù)的比是2:3,甲、乙兩倉庫原有水泥各多少袋?

 

【同步達綱練習】

 

【作業(yè)優(yōu)化設(shè)計】

1.填空。

1)4∶0.5的比值是(    ),12∶15的比值是(    )。

2)的比值是(    ),與它的比值相等的最簡比是(    ),兩個比組成的比例是(    )。

3)如果5a=8b,那么(    ):(    )=5:8。

4)如果,那么m∶n=(    ):(    )。

5)用3、6、2、9四個數(shù)組成兩個不同的比例是(              )。

6)圖上20厘米表示實際10千米,這幅地圖的比例尺是(          )。

7)比例尺1:5000000,表示地圖上1厘米的距離表示地面上實際上(    )千米。

8)這是(    )例尺,它表示圖上(    )的距離,相當于實際距離(    )千米。

9)比例尺4:1是表示把實際距離(    )。

10)圖上的距離是實際距離的10倍,畫在地圖上、所用的比例尺是(    ),如畫一個零件在圖紙上是20厘米,實際上這個零件的長度為(        )。

2.判斷。(對的打“√”,錯的打“×”)

1)兩個比組成的式子叫比例。(    )

2)由2、3、4、5四個數(shù)可以組成比例。(    )

3)因為3x=4y,所以。(    )

4)在比例尺是的圖紙上量得一條小路長1厘米,這條小路實際長1千米。(    )

5)圖上長4厘米的線段表示實際長20千米,則這幅圖的比例尺是1:5000。(    )

3.選擇題。

1)能與組成比例的是(    )。

2:3

3:2

2)下列各組數(shù)中可以組成比例的是(    )。

0、1、3、6

2、3、4、6

5、6、8、9

1、2、3、4

3)能與、1、組成比例的數(shù)有(    )個。

0

1

2

3

4)在比例尺是的地圖上量得兩地之間的距離是4厘米,則兩地之間的實際距離是(    )千米。

24000000

24000

2400

240

5)一個工廠的長是600米,畫在比例尺是的地圖上是(    )厘米。

6

15

4

1

6)在一個比例式中,兩個比的比值是4,這兩個比的內(nèi)項都是6,這個比例式是(    )。

24:6=6:65

1.5:6=6:24

6:1.5=24:6

7)一個三角形的三個內(nèi)角的比是2:3:5,這個三角形是(    )三角形。

①直角

②銳角

③鈍角

④等腰

8)在中,x等于(    )才能組成比例。

1.5

2

1

4.根據(jù)下列要求寫出比例式。

1)使它的各項都是整數(shù),而且兩個比的比值是5。

 

 

2)使它的內(nèi)項相等,而且兩個比的比值都是

 

 

3)使它的兩個內(nèi)項互為倒數(shù)。

 

 

5.解比例。

1)                  (2)

 

3)              (4)x:

 

6.應(yīng)用題。

(1)兩地之間的距離是600千米,畫在地圖上用3厘米的線段來表示,那么這幅地圖的比例尺是多少?

 

 

2)在比例尺為1:20000的圖紙上,量出一個操場的寬為2厘米,長為3厘米,它的實際面積是多少平方米?

 

 

(3)在比例尺為1:3000000的地圖上,量得甲、乙兩地的距離為3.6厘米,如果汽車以每小時60千米的速度從甲地到乙地,多少小時可以到達?

 

 

4)在一幅比例尺是1:200000O的地圖上,量得甲、乙兩地的距離是20厘米。如果在另一幅地圖上,甲、乙兩地的距離是10厘米,另一幅地圖的比例尺是多少?

 

【快樂大本營】

放大比例尺

在比例尺為1001的圖紙上,量得一個零件的長是15厘米,這個零件的實際長度是多少厘米?試比較這個零件圖上長度和實際長度的大小。

 

【作業(yè)優(yōu)化設(shè)計】

1.(1)8,   (2),3:160,:20=3:160  (3)b:a  (4)7:11  (5)略  (6)  (7)50  (8)線段比,1 ,20  (9)擴大4倍  (10)10:1,2厘米

2.(1)×  (2)×  (3)√  (4)×  (5)×

3.(1)①  (2)②  (3)④  (4)④  (5)②  (6)②  (7)②

4.略

5.(1)x=30  (2)x=1  (3)  (4)x=

6.(1)1:20000000  (2)240000平方米  (3)1.8小時  (4)1:4000000

 

【快樂大本營】

0.15厘米,圖上長度大于實際長度

 

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