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數(shù)學(xué)破題36計(jì)第22計(jì) 數(shù)形開門 體美神豐

 昵稱28032510 2015-10-12

22計(jì)  數(shù)形開門  體美神豐

●計(jì)名釋義

“有數(shù)無形少直觀,有形無數(shù)入微難”.——這是華羅庚先生講數(shù)形結(jié)合的意義.

“憑直觀,圖上看;想深入,解析出”.——這是專家們談形與數(shù)各自的特征.

“遇式不用愁,請(qǐng)你先畫圖;看圖莫著急,靜心來分析”.——這是在講數(shù)形互動(dòng).

“圖形有形象,記數(shù)不易忘;解析有內(nèi)功,看圖靜變動(dòng)”.——這是在講數(shù)形互補(bǔ).

“觀圖見形美,初品數(shù)學(xué)味;想數(shù)內(nèi)涵豐,數(shù)學(xué)色調(diào)濃”.這是美學(xué)家對(duì)數(shù)形的贊賞.

函數(shù)有圖形——圖象,軌跡有圖象——圖形,三角、幾何就更不必說,集合有韋恩圖,邏輯有方框圖,組合、二項(xiàng)式有楊輝三角,如此等等.

然而,數(shù)形結(jié)合中的形,僅相對(duì)數(shù)而言.如幾何中最簡(jiǎn)單的直線,平面等,現(xiàn)實(shí)生活中并不存在.

這里的形是數(shù)的象征,是精神的直觀.現(xiàn)在有人把“函數(shù)圖象”寫成“函數(shù)圖像”,這是對(duì)數(shù)形的大誤,你怎么不把“想象”寫成“想像”呢?

●典例示范

1   若直線y=2a與函數(shù)y=|ax-1|a>0,a1)的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn),則a的取值范圍是                          .

解答   函數(shù)y=|ax-1|=,其圖象由y=|ax|a>0a1)的圖象下移一個(gè)單位得到.如圖,當(dāng)a>1時(shí),直線y=2ay=|ax-1|(a>0a1)的圖象僅一個(gè)交點(diǎn); 當(dāng)0<a<1時(shí),當(dāng)且僅當(dāng)0<2a<1時(shí),直線y=2ay=|ax-1|a>0a1)的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn),解得a(0,).

40

 

 

 

 

 

 

 

 

                                1題解圖

評(píng)注   本題也是有數(shù)無形,解法是“圖形開門,體美神豐”.

【例2】            當(dāng)曲線y=1+y=k(x-2)+4有兩個(gè)相異交點(diǎn)時(shí),

實(shí)數(shù)k的取值范圍是                                                       

A.         B.          C.         D.

解答  方程即y=1+x2+(y-1)2= 4   (y1),它表示以(01)為圓心,2為半徑的上半圓;方程y=k(x-2)+4表示過(2,4)且斜率為k的直線.原題的含義是:當(dāng)直線與半圓有兩個(gè)相異交點(diǎn)時(shí),該直線的斜率應(yīng)在什么范圍?

34如圖,直線MB、MC與半圓切于B、C,

半圓的兩端依次為A-2,1)(2,1.

顯然,線段AB內(nèi)任意一點(diǎn)與M的連線

與半圓都只一個(gè)公共點(diǎn),

kmax=kMA=,設(shè)直線

MC交直線y=1N,令

DMC=DMB=α,∠DNM=β,

2題解圖

顯然tanα=,∴tanβ=tan(90°-2α)= cot2α=,

于是斜率k,選B.

反思   只有準(zhǔn)確理解“數(shù)”的意義,才能恰當(dāng)?shù)摹皥D形開門,體美神豐”.

3   設(shè)實(shí)數(shù)(x,y)滿足方程x2+y2-2x-2y+1=0,則的最小值是             .

36sx605解答      (x-1)2+(y-1)2=1

的圓心C (1,1),半徑r=1.  如圖所示,

此圓在第一象限且與兩軸相切,

為求的最小值先求的最大值.

表示圓上的點(diǎn)(x,y)與定點(diǎn)P-1,0)連線的斜率.    3題解圖

kPAkPB(其中PA、PB為過P所引圓的切線).     設(shè)∠APC=CPB=θ,則tanθ=,

tanBPA=tan2θ=.     從而

4   已知f(x)是定義在-3,3上的奇函數(shù),當(dāng)x(03)時(shí),f (x)的圖像如圖所示,那么不等式f (x)·cosx<0的解集是                   .

思考   f (x)(-3,3內(nèi)的圖像補(bǔ)充完整如圖所示.

可知:當(dāng)x(-1,0)(1,3)時(shí),f(x)>0,為使f (x)·cosx<0,只須cosx<0,得x;

當(dāng)x(-3,-1)(01)時(shí)f (x)<0,為使f (x)·cosx<0,只須cosx>0,得x(0,1)

f (x)·cosx<0的解集為(0,1).

 

36sx20436sx203

 

 

 

 

 

        4題圖                                       4題解圖

 

點(diǎn)評(píng)   僅憑圖像,無法斷定f (x)的解析式,就本題而言,也不必糾纏于此而花費(fèi)不必要的精力.能斷定f (x)的正、負(fù)區(qū)間即足夠解題需要,這即是圖形的功能.

●對(duì)應(yīng)訓(xùn)練

1.若不等式x2-log ax<0(0,0.5)內(nèi)恒成立,則a的取值范圍是                

A.a<1         B.0<a<         C.0<a<1         D.a>1

2.P是拋物線y=x2上任意一點(diǎn),則當(dāng)P和直線x+y+2=0上的點(diǎn)距離最小時(shí),P與該拋物線的準(zhǔn)線距離是                                                            

A.                  B.                  C.1                  D.2

3.方程的實(shí)根共有                                   

A.1個(gè)                  B.2個(gè)                  C.3個(gè)                  D.4個(gè)

4.若方程=2有實(shí)數(shù)解,則a的取值范圍是                           

A.(-2,0)(0)                         B.-2,0)(0,

C.(-2)                                 D.-2,

5.若關(guān)于x的方程2log2(x+a)=1+log2x有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)解,試求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

●參考答案

1.A   在同一坐標(biāo)平面內(nèi)作y1=x2,y2=log ax的圖像,如圖,

由題意可知必有0<a<1;進(jìn)而設(shè)x=0.5時(shí),y1=x2圖像上的點(diǎn)為A,兩曲線的交點(diǎn)為P,要使y2>y1在(0,0.5)內(nèi)恒成立,必須且只需P點(diǎn)在A的右邊,而P點(diǎn)與A點(diǎn)重合時(shí),a=,根據(jù)對(duì)數(shù)曲線隨底數(shù)的改變而變化的規(guī)律得a<1.

 

3sx1043sx103

 

 

 

 

 

 

 

             1題解圖                             2題解圖

 

2.B   作出y=x2x+y+2=0的圖像如圖所示,設(shè)與x+y+2=0平行的拋物線切線為L,由圖可知,切點(diǎn)P0x+y+2=0的距離最小,設(shè)P0x0y0,?jiǎng)tL方程為y=-x+b與拋物線yx2聯(lián)立得:x0=,則y0=x=. 所以P0到拋物線準(zhǔn)線y=-的距離為.

3.A   設(shè)y1=,

變形得(x-2)2+y=8,∴y1的圖像是以(2,0為圓心,2為半徑的上半圓, 設(shè)y2=變形得:(x-1)·(y2+1)=1,y2的圖像是以直線x=1,y=-1為漸近線的雙曲線,如圖所示,兩曲線僅一個(gè)交點(diǎn),即原方程只有1個(gè)實(shí)根.

 

3sx1083sx106

 

 

 

 

 

          3題解圖                                      4題解圖

 

4.A   原方程可變形為lg=lg(x-a),設(shè)y=,它表示以原點(diǎn)為圓心,為半徑的半圓,如圖,設(shè)y=x-a(y>0),它表示斜率為1的射線(不含端點(diǎn)),其中a的幾何意義是射線在x軸上的端點(diǎn),如圖所示,當(dāng)-2a<時(shí),兩曲線有交點(diǎn),又因?yàn)?/span>x-a1,令x=1+a代入方程2-x2-(x-a)2=0,解得a=0a=-2,所以a0a-2,故a(-20)(0,).

5.解析   ∵原方程

∴原方程有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)解等價(jià)于方程x+a=x>0時(shí)有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)解.

問題轉(zhuǎn)化為直線y=x+a與曲線y=(x>0)在平面直角坐標(biāo)系中有且僅有一個(gè)交點(diǎn),由圖像易得a=a0.

點(diǎn)評(píng)   本題若用代數(shù)方法求解比較繁瑣,由數(shù)向形的轉(zhuǎn)化,使得問題的解決顯得形象直觀而又簡(jiǎn)潔明了.

 

 

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