第22計(jì) 數(shù)形開門 體美神豐 ●計(jì)名釋義 “有數(shù)無形少直觀,有形無數(shù)入微難”.——這是華羅庚先生講數(shù)形結(jié)合的意義. “憑直觀,圖上看;想深入,解析出”.——這是專家們談形與數(shù)各自的特征. “遇式不用愁,請(qǐng)你先畫圖;看圖莫著急,靜心來分析”.——這是在講數(shù)形互動(dòng). “圖形有形象,記數(shù)不易忘;解析有內(nèi)功,看圖靜變動(dòng)”.——這是在講數(shù)形互補(bǔ). “觀圖見形美,初品數(shù)學(xué)味;想數(shù)內(nèi)涵豐,數(shù)學(xué)色調(diào)濃”.這是美學(xué)家對(duì)數(shù)形的贊賞. 函數(shù)有圖形——圖象,軌跡有圖象——圖形,三角、幾何就更不必說,集合有韋恩圖,邏輯有方框圖,組合、二項(xiàng)式有楊輝三角,如此等等. 然而,數(shù)形結(jié)合中的形,僅相對(duì)數(shù)而言.如幾何中最簡(jiǎn)單的直線,平面等,現(xiàn)實(shí)生活中并不存在. 這里的形是數(shù)的象征,是精神的直觀.現(xiàn)在有人把“函數(shù)圖象”寫成“函數(shù)圖像”,這是對(duì)數(shù)形的大誤,你怎么不把“想象”寫成“想像”呢? ●典例示范 【例1】 若直線y=2a與函數(shù)y=|ax-1|(a>0,a≠1)的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn),則a的取值范圍是 . 【解答】 函數(shù)y=|ax-1|=
例1題解圖 【評(píng)注】 本題也是有數(shù)無形,解法是“圖形開門,體美神豐”. 【例2】
當(dāng)曲線y=1+ 實(shí)數(shù)k的取值范圍是 ( ) A. 【解答】 方程即y=1+
半圓的兩端依次為A(-2,1)(2,1). 顯然,線段AB內(nèi)任意一點(diǎn)與M的連線 與半圓都只一個(gè)公共點(diǎn), ∴kmax=kMA= MC交直線y=1于N,令 ∠DMC=∠DMB=α,∠DNM=β, 例2題解圖 顯然tanα= 于是斜率k∈ 【反思】 只有準(zhǔn)確理解“數(shù)”的意義,才能恰當(dāng)?shù)摹皥D形開門,體美神豐”. 【例3】
設(shè)實(shí)數(shù)(x,y)滿足方程x2+y2-2x-2y+1=0,則
的圓心C (1,1),半徑r=1. 如圖所示, 此圓在第一象限且與兩軸相切, 為求
∴kPA≤ ∴tan∠BPA=tan2θ= 【例4】 已知f(x)是定義在(-3,3)上的奇函數(shù),當(dāng)x∈(0,3)時(shí),f (x)的圖像如圖所示,那么不等式f (x)·cosx<0的解集是 . 【思考】 將f (x)在(-3,3)內(nèi)的圖像補(bǔ)充完整如圖所示. 可知:當(dāng)x∈(-1,0)∪(1,3)時(shí),f(x)>0,為使f (x)·cosx<0,只須cosx<0,得x∈ 當(dāng)x∈(-3,-1)∪(0,1)時(shí)f (x)<0,為使f (x)·cosx<0,只須cosx>0,得x∈ ∴f (x)·cosx<0的解集為
例4題圖 例4題解圖
【點(diǎn)評(píng)】 僅憑圖像,無法斷定f (x)的解析式,就本題而言,也不必糾纏于此而花費(fèi)不必要的精力.能斷定f (x)的正、負(fù)區(qū)間即足夠解題需要,這即是圖形的功能. ●對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 1.若不等式x2-log ax<0在(0,0.5)內(nèi)恒成立,則a的取值范圍是 ( ) A. 2.P是拋物線y=x2上任意一點(diǎn),則當(dāng)P和直線x+y+2=0上的點(diǎn)距離最小時(shí),P與該拋物線的準(zhǔn)線距離是 ( ) A. 3.方程 A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè) 4.若方程 A.(-2,0)∪(0, C.(-2, 5.若關(guān)于x的方程2log2(x+a)=1+log2x有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)解,試求實(shí)數(shù)a的取值范圍. ●參考答案 1.A 在同一坐標(biāo)平面內(nèi)作y1=x2,y2=log ax的圖像,如圖, 由題意可知必有0<a<1;進(jìn)而設(shè)x=0.5時(shí),y1=x2圖像上的點(diǎn)為A,兩曲線的交點(diǎn)為P,要使y2>y1在(0,0.5)內(nèi)恒成立,必須且只需P點(diǎn)在A的右邊,而P點(diǎn)與A點(diǎn)重合時(shí),a=
第1題解圖 第2題解圖
2.B 作出y=x2及x+y+2=0的圖像如圖所示,設(shè)與x+y+2=0平行的拋物線切線為L,由圖可知,切點(diǎn)P0到x+y+2=0的距離最小,設(shè)P0(x0,y0),?jiǎng)tL方程為y=-x+b與拋物線y=x2聯(lián)立得:x0= 3.A 設(shè)y1= 變形得(x-2)2+y
第3題解圖 第4題解圖
4.A 原方程可變形為lg 5.解析 ∵原方程 ∴原方程有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)解等價(jià)于方程x+a= 問題轉(zhuǎn)化為直線y=x+a與曲線y= 點(diǎn)評(píng) 本題若用代數(shù)方法求解比較繁瑣,由數(shù)向形的轉(zhuǎn)化,使得問題的解決顯得形象直觀而又簡(jiǎn)潔明了.
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