第22計(jì)  數(shù)形開門  體美神豐

●計(jì)名釋義

“有數(shù)無形少直觀，有形無數(shù)入微難”.——這是華羅庚先生講數(shù)形結(jié)合的意義.

“憑直觀，圖上看；想深入，解析出”.——這是專家們談形與數(shù)各自的特征.

“遇式不用愁，請(qǐng)你先畫圖；看圖莫著急，靜心來分析”.——這是在講數(shù)形互動(dòng).

“圖形有形象，記數(shù)不易忘；解析有內(nèi)功，看圖靜變動(dòng)”.——這是在講數(shù)形互補(bǔ).

“觀圖見形美，初品數(shù)學(xué)味；想數(shù)內(nèi)涵豐，數(shù)學(xué)色調(diào)濃”.這是美學(xué)家對(duì)數(shù)形的贊賞.

函數(shù)有圖形——圖象，軌跡有圖象——圖形，三角、幾何就更不必說，集合有韋恩圖，邏輯有方框圖，組合、二項(xiàng)式有楊輝三角，如此等等.

然而，數(shù)形結(jié)合中的形，僅相對(duì)數(shù)而言.如幾何中最簡(jiǎn)單的直線，平面等，現(xiàn)實(shí)生活中并不存在.

這里的形是數(shù)的象征，是精神的直觀.現(xiàn)在有人把“函數(shù)圖象”寫成“函數(shù)圖像”，這是對(duì)數(shù)形的大誤，你怎么不把“想象”寫成“想像”呢？

●典例示范

【例1】   若直線y=2a與函數(shù)y=|a^x-1|（a>0，a≠1）的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，則a的取值范圍是                          .

【解答】   函數(shù)y=|a^x-1|=，其圖象由y=|a^x|（a>0，a≠1）的圖象下移一個(gè)單位得到.如圖，當(dāng)a>1時(shí)，直線y=2a與y=|a^x-1|(a>0，a≠1)的圖象僅一個(gè)交點(diǎn)； 當(dāng)0<a<1時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)0<2a<1時(shí)，直線y=2a與y=|a^x-1|（a>0，a≠1)的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，解得a∈(0，).

                                例1題解圖

【評(píng)注】   本題也是有數(shù)無形，解法是“圖形開門，體美神豐”.

【例2】            當(dāng)曲線y=1+與y=k(x-2)+4有兩個(gè)相異交點(diǎn)時(shí)，

實(shí)數(shù)k的取值范圍是                                                  （      ）

A.         B.          C.         D.

【解答】  方程即y=1+即x²+(y-1)²= 4   (y≥1)，它表示以（0，1）為圓心，2為半徑的上半圓；方程y=k(x-2)+4表示過（2，4）且斜率為k的直線.原題的含義是：當(dāng)直線與半圓有兩個(gè)相異交點(diǎn)時(shí)，該直線的斜率應(yīng)在什么范圍？

如圖，直線MB、MC與半圓切于B、C，

半圓的兩端依次為A（-2，1）（2，1）.

顯然，線段AB內(nèi)任意一點(diǎn)與M的連線

與半圓都只一個(gè)公共點(diǎn)，

∴k_max=k_MA=，設(shè)直線

MC交直線y=1于N，令

∠DMC=∠DMB=α，∠DNM=β，

例2題解圖

顯然tanα=，∴tanβ=tan(90°-2α)= cot2α=，

于是斜率k∈，選B.

【反思】   只有準(zhǔn)確理解“數(shù)”的意義，才能恰當(dāng)?shù)摹皥D形開門，體美神豐”.

【例3】   設(shè)實(shí)數(shù)(x，y)滿足方程x²+y²-2x-2y+1=0，則的最小值是             .

【解答】      圓(x-1)²+(y-1)²=1

的圓心C (1,1)，半徑r=1.  如圖所示，

此圓在第一象限且與兩軸相切，

為求的最小值.  先求的最大值.

表示圓上的點(diǎn)（x,y）與定點(diǎn)P（-1，0）連線的斜率.    例3題解圖

∴k_PA≤≤kPB（其中PA、PB為過P所引圓的切線）.     設(shè)∠APC=∠CPB=θ，則tanθ=,

∴tan∠BPA=tan2θ=.   ∴  從而

【例4】   已知f(x)是定義在（-3，3）上的奇函數(shù)，當(dāng)x∈(0，3)時(shí)，f (x)的圖像如圖所示，那么不等式f (x)·cosx<0的解集是                   .

【思考】   將f (x)在（-3，3）內(nèi)的圖像補(bǔ)充完整如圖所示.

可知：當(dāng)x∈(-1，0)∪(1，3)時(shí)，f(x)>0，為使f (x)·cosx<0，只須cosx<0，得x∈;

當(dāng)x∈(-3，-1)∪(0，1)時(shí)f (x)<0，為使f (x)·cosx<0，只須cosx>0，得x∈∪(0,1)

∴f (x)·cosx<0的解集為∪(0,1)∪.

        例4題圖                                       例4題解圖

【點(diǎn)評(píng)】   僅憑圖像，無法斷定f (x)的解析式，就本題而言，也不必糾纏于此而花費(fèi)不必要的精力.能斷定f (x)的正、負(fù)區(qū)間即足夠解題需要，這即是圖形的功能.

●對(duì)應(yīng)訓(xùn)練

1.若不等式x²-log _ax<0在(0，0.5)內(nèi)恒成立，則a的取值范圍是           （      ）

A.≤a<1         B.0<a<         C.0<a<1         D.a>1

2.P是拋物線y=x²上任意一點(diǎn)，則當(dāng)P和直線x+y+2=0上的點(diǎn)距離最小時(shí)，P與該拋物線的準(zhǔn)線距離是                                                       （      ）

A.                  B.                  C.1                  D.2

3.方程的實(shí)根共有                              （      ）

A.1個(gè)                  B.2個(gè)                  C.3個(gè)                  D.4個(gè)

4.若方程=2有實(shí)數(shù)解，則a的取值范圍是                      （      ）

A.(-2，0)∪(0，)                         B.［-2，0)∪(0，］

C.(-2，)                                 D.［-2，］

5.若關(guān)于x的方程2log₂(x+a)=1+log₂x有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)解，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

●參考答案

1.A   在同一坐標(biāo)平面內(nèi)作y₁=x²，y₂=log _ax的圖像，如圖，

由題意可知必有0<a<1；進(jìn)而設(shè)x=0.5時(shí)，y₁=x²圖像上的點(diǎn)為A，兩曲線的交點(diǎn)為P，要使y₂>y₁在（0，0.5）內(nèi)恒成立，必須且只需P點(diǎn)在A的右邊，而P點(diǎn)與A點(diǎn)重合時(shí)，a=,根據(jù)對(duì)數(shù)曲線隨底數(shù)的改變而變化的規(guī)律得≤a<1.

             第1題解圖                             第2題解圖

2.B   作出y=x²及x+y+2=0的圖像如圖所示，設(shè)與x+y+2=0平行的拋物線切線為L，由圖可知，切點(diǎn)P₀到x+y+2=0的距離最小，設(shè)P₀（x₀，y₀）,?jiǎng)tL方程為y=-x+b與拋物線y＝x²聯(lián)立得：x₀=，則y₀=x=. 所以P₀到拋物線準(zhǔn)線y=-的距離為.

3.A   設(shè)y₁=，

變形得(x-2)²+y=8，∴y₁的圖像是以（2，0）為圓心，2為半徑的上半圓， 設(shè)y₂=，變形得：(x-1)·(y₂+1)=1，y₂的圖像是以直線x=1，y=-1為漸近線的雙曲線，如圖所示，兩曲線僅一個(gè)交點(diǎn)，即原方程只有1個(gè)實(shí)根.

          第3題解圖                                      第4題解圖

4.A   原方程可變形為lg=lg(x-a)，設(shè)y=，它表示以原點(diǎn)為圓心，為半徑的半圓，如圖，設(shè)y=x-a(y>0)，它表示斜率為1的射線（不含端點(diǎn)），其中a的幾何意義是射線在x軸上的端點(diǎn)，如圖所示，當(dāng)-2≤a<時(shí)，兩曲線有交點(diǎn)，又因?yàn)?/span>x-a≠1，令x=1+a代入方程2-x²-(x-a)²=0，解得a=0或a=-2，所以a≠0且a≠-2，故a∈(-2，0)∪(0，).

5.解析   ∵原方程

∴原方程有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)解等價(jià)于方程x+a=在x>0時(shí)有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)解.

問題轉(zhuǎn)化為直線y=x+a與曲線y=(x>0)在平面直角坐標(biāo)系中有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，由圖像易得a=或a≤0.

點(diǎn)評(píng)   本題若用代數(shù)方法求解比較繁瑣，由數(shù)向形的轉(zhuǎn)化,使得問題的解決顯得形象直觀而又簡(jiǎn)潔明了.