題目　已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)滿(mǎn)足，則的取值范圍是　　　　，直線(xiàn)與橢圓的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)是　　.

這是2010年高考湖北卷文科第15題，本題是一道涉及到點(diǎn)、直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系的判定的考題．從高等幾何的觀點(diǎn)知，這里的點(diǎn)和直線(xiàn)就是橢圓的一對(duì)極點(diǎn)與極線(xiàn)，本題第二問(wèn)實(shí)際上是：已知橢圓的極點(diǎn)在橢圓內(nèi)，判斷極線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系．據(jù)筆者之前發(fā)表的文章中圓錐曲線(xiàn)極點(diǎn)和極線(xiàn)的幾何性質(zhì)可得如下結(jié)論：

定理　已知點(diǎn)和直線(xiàn)是圓錐曲線(xiàn)的一對(duì)極點(diǎn)與極線(xiàn)．（1）若極點(diǎn)在曲線(xiàn)上，則極線(xiàn)與曲線(xiàn)的相切于點(diǎn)；（2）若極點(diǎn)在曲線(xiàn)內(nèi)，則極線(xiàn)與曲線(xiàn)的相離；（2）若極點(diǎn)在曲線(xiàn)外，則極線(xiàn)與曲線(xiàn)的相交．

由該定理不難知道，考題中的直線(xiàn)與橢圓相離，故公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為0．若運(yùn)用幾何畫(huà)板進(jìn)行實(shí)驗(yàn)操作動(dòng)態(tài)演示，不僅可以驗(yàn)證確認(rèn)該結(jié)論，而且還可獲得直觀感知從而加深印象強(qiáng)化理解．本文將借用判別式法給出該定理的另一種證明．

為了表達(dá)方便我們給出圓錐曲線(xiàn)內(nèi)部和外部的定義．圓、橢圓是封閉圖形其內(nèi)部和外部不言而喻，拋物線(xiàn)、雙曲線(xiàn)不是封閉的是開(kāi)的，我們參考一些雜志專(zhuān)著，對(duì)雙曲線(xiàn)和拋物線(xiàn)的內(nèi)部和外部給出如下定義：焦點(diǎn)所在的平面區(qū)域稱(chēng)為該曲線(xiàn)的內(nèi)部，不含焦點(diǎn)的平面區(qū)域稱(chēng)為曲線(xiàn)的外部，曲線(xiàn)上的點(diǎn)既不在內(nèi)部也不在外部．關(guān)于點(diǎn)與圓錐曲線(xiàn)位置關(guān)系我們有如下結(jié)論（這里證明從略）．

引理1　已知點(diǎn)和拋物線(xiàn)．則（1）點(diǎn)在上；（2）點(diǎn)在內(nèi)；（3）點(diǎn)在外．

引理2　已知點(diǎn)和橢圓（或圓）．則（1）點(diǎn)在上；（2）點(diǎn)在內(nèi)；（3）點(diǎn)在外．

引理3　已知點(diǎn)和雙曲線(xiàn)．則（1）點(diǎn)在上；（2）點(diǎn)在內(nèi)；（3）點(diǎn)在外．

圓錐曲線(xiàn)把平面上的點(diǎn)分成三個(gè)部分：曲線(xiàn)上的點(diǎn)、曲線(xiàn)內(nèi)的點(diǎn)和曲線(xiàn)外的點(diǎn)，每一部分的點(diǎn)的坐標(biāo)對(duì)于曲線(xiàn)方程的左右兩邊的值具有相同的大小關(guān)系，真是“物以類(lèi)集，人以群分”．下面將圓錐曲線(xiàn)分為拋物線(xiàn)、橢圓（圓）和雙曲線(xiàn)三種情形，借用判別式法對(duì)定理給出如下證明．

定理1　已知點(diǎn)和直線(xiàn)是拋物線(xiàn)的一對(duì)極點(diǎn)與極線(xiàn)．則（1）點(diǎn)在上直線(xiàn)與相切于點(diǎn)；（2）點(diǎn)在內(nèi)直線(xiàn)與相離；（3）點(diǎn)在外直線(xiàn)與相交．

證明　由得，，將其代入拋物線(xiàn)方程得，，所以．所以，（1）點(diǎn)在上直線(xiàn)與相切于點(diǎn)；（2）點(diǎn)在內(nèi)直線(xiàn)與相離；（3）點(diǎn)在外直線(xiàn)與相交．

定理2　已知點(diǎn)和直線(xiàn)是橢圓（圓）的一對(duì)極點(diǎn)與極線(xiàn)．則（1）點(diǎn)在上直線(xiàn)與相切于點(diǎn)；（2）點(diǎn)在內(nèi)直線(xiàn)與相離；（3）點(diǎn)在外直線(xiàn)與相交．

證明　當(dāng)時(shí)，．則（1）點(diǎn)在直線(xiàn)與相切于點(diǎn)；（2）點(diǎn)在內(nèi)直線(xiàn)與相離；（3）點(diǎn)在外直線(xiàn)與相交．

當(dāng)時(shí)，，將其代入曲線(xiàn)方程整理得，．所以．所以，

（1）點(diǎn)在上直線(xiàn)與相切于點(diǎn)；（2）點(diǎn)在內(nèi)直線(xiàn)與相離；（3）點(diǎn)在外直線(xiàn)與相交．

綜上所述，命題結(jié)論正確．同理可證如下如下結(jié)論：

定理3　已知點(diǎn)和直線(xiàn)是雙曲線(xiàn)的一對(duì)極點(diǎn)與極線(xiàn)．則（1）點(diǎn)在上直線(xiàn)與相切于點(diǎn)；（2）點(diǎn)在內(nèi)直線(xiàn)與相離；（3）點(diǎn)在外直線(xiàn)與相交．

下面舉例說(shuō)明極點(diǎn)、極線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)位置關(guān)系在解題中的應(yīng)用．

1.判斷點(diǎn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系

例1　若直線(xiàn)和沒(méi)有公共點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓的公共點(diǎn)（  ）

至少有一個(gè)  有兩個(gè)    只有一個(gè)   不存在

解　顯然點(diǎn)和直線(xiàn)恰好是的一對(duì)極點(diǎn)和極線(xiàn)，又極線(xiàn)與圓沒(méi)有公共點(diǎn)，所以極點(diǎn)在圓內(nèi)，所以，所以，所以，所以點(diǎn)在橢圓內(nèi)（實(shí)際上，由圖形可知圓上除兩個(gè)點(diǎn)在橢圓上外，其余點(diǎn)均在橢圓內(nèi)，因點(diǎn)在圓內(nèi)，則點(diǎn)必在橢圓內(nèi)），故過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓相交有兩個(gè)公共點(diǎn)，故應(yīng)選．

例2　已知直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)沒(méi)有公共點(diǎn)，則的取值范圍是　　　　．

解　因?yàn)闃O線(xiàn)與雙曲線(xiàn)沒(méi)有公共點(diǎn)，所以對(duì)應(yīng)極點(diǎn)在雙曲線(xiàn)內(nèi)部，所以有，故的取值范圍是．

2.判斷直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系

例3　若點(diǎn)是內(nèi)一點(diǎn)，直線(xiàn)是以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在的直線(xiàn)，直線(xiàn)的方程為，則（  ）

，且與相離      ，且與相交 

 ，且與相離    ，且與相交   

解　顯然點(diǎn)和直線(xiàn)恰好是的一對(duì)極點(diǎn)和極線(xiàn)，因極點(diǎn)在圓內(nèi)，所以極與圓相離．又是直線(xiàn)的一個(gè)法向量，所以，而直線(xiàn)是以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在的直線(xiàn)，所以，所以．故應(yīng)選．

例4　已知曲線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)能否作一條直線(xiàn)，與雙曲線(xiàn)相交于兩點(diǎn)，且點(diǎn)是線(xiàn)段的中點(diǎn)？

解　假設(shè)存在這樣的直線(xiàn)．設(shè)，則 ，兩式相減得，．因點(diǎn)是線(xiàn)段的中點(diǎn)，所以，代入上式可得．若則有，于是兩點(diǎn)重合不合題意，所以，所以，即直線(xiàn)的斜率為，故直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程為，即．將直線(xiàn)方程化為雙曲線(xiàn)的極線(xiàn)方程形式得，因直線(xiàn)對(duì)應(yīng)的極點(diǎn)為，而 ，所以極點(diǎn)在雙曲線(xiàn)內(nèi)，從而直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)相離沒(méi)有公共點(diǎn)，這與假設(shè)矛盾，故不存在這樣的直線(xiàn)．