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卡瓦列里 遼寧師范大學(xué) 孫宏安 卡瓦列里，B．(Cavalieri，Bonaventura)約1598年生于意大利米蘭；1647年11月30日卒于意大利波倫亞．?dāng)?shù)學(xué)． 卡瓦列里的出生年代是他的一個門生和傳記作者U．達維索(D’Aviso)提供的．卡瓦列里很小的時侯，就加入了信奉圣奧古斯都教規(guī)的耶穌會宗教團．1615年，他在米蘭獲得一個小教階的職務(wù)，從此成為一個虔誠的耶穌會士．1616年，他轉(zhuǎn)到比薩的耶穌會修道院任職．在那里，他有幸結(jié)識了本篤會修士B．卡斯泰利(Castelli)，此人曾在帕多瓦師事G．伽里略(Galileo)，當(dāng)時是比薩大學(xué)的數(shù)學(xué)講座主講人．由于卡斯泰利的引導(dǎo)，卡瓦列里開始研究幾何學(xué)，并且很快就被歐幾里得(Euclid)、阿基米德(Achimedes)、阿波羅尼奧斯(Apollonius)等人的經(jīng)典著作所吸引．在數(shù)學(xué)上，他表現(xiàn)出非凡的才能，受到卡斯泰利的重視．1617年，卡斯泰利把卡瓦列里介紹給自己的老師伽里略，此后卡瓦列里一直把自己看作伽里略的學(xué)生．1618年，卡瓦列里曾臨時性地代替卡斯泰利在比薩大學(xué)主講數(shù)學(xué)，說明他當(dāng)時已具備了很高的數(shù)學(xué)水平． 1620年，卡瓦列里奉命到羅馬述職．接著被委派到米蘭的圣吉羅拉莫(Girolamo)修道院教授神學(xué)，一直到1623年．在此期間，他發(fā)展了關(guān)于不可分量方法的初步思想，這是他的主要數(shù)學(xué)成果．同時，他進一步受到教會的倚重．1621年，他被任命為紅衣主教F．博羅梅奧(Borromeo)的樞機輔祭人，這位主教非常敬重卡瓦列里，經(jīng)常與他探討數(shù)學(xué)問題，后來還寫信給伽里略，盛贊卡瓦列里． 1623年，卡瓦列里被任命為洛迪的圣彼得修道院的副院長，并成為羅馬大主教錢伯利(Ciampoli)的朋友，后來，他的主要著作之一《用新方法促進的連續(xù)量的不可分量的幾何學(xué)》(Geometria indivisibibus continuorum nova quadam ratione promota，1635．以下簡稱《幾何學(xué)》)就題獻給此人．1626年，他被任命為帕馬的耶穌會修道院的院長，他希望能同時擔(dān)任當(dāng)?shù)卮髮W(xué)的數(shù)學(xué)主講人，但未能實現(xiàn)．1626年秋，卡瓦列里在由帕馬去米蘭的旅途中患了痛風(fēng)病，這種病使他備受痛苦并折磨了他一生．他在帕馬修道院工作到1629年．在這個期間，他始終堅持?jǐn)?shù)學(xué)研究工作．1627年12月16日，他興奮地寫信給伽里略和博羅梅奧，告訴他們他已經(jīng)完成了《幾何學(xué)》一書．1628年，卡瓦列里得知波倫亞大學(xué)的數(shù)學(xué)教授位置因擔(dān)任此職的天文學(xué)家G．馬古尼(Magini)去世而出缺，便寫信給伽里略，請他幫助自己得到委任．1629年，伽里略寫信給受命為波倫亞大學(xué)選擇一位新數(shù)學(xué)教授的C．馬爾西利(Marsili)，說卡瓦列里“是阿基米德之后在鉆研幾何學(xué)的深度和廣度方面絕無僅有的人才”．同時，卡瓦列里給馬爾西利寄去了《幾何學(xué)》一書的手稿和一篇關(guān)于圓錐曲線及其在透鏡中的應(yīng)用的論文．1629年，卡瓦列里得到波倫亞大學(xué)的首席數(shù)學(xué)教職，并在這個崗位上一直工作到去世．同時，他還被委任為波倫亞女修道院的院長． 1635年，他的《幾何學(xué)》一書正式出版，立刻獲得了廣大的讀者，除了阿基米德的著作外，成為研究幾何學(xué)中無窮小問題的數(shù)學(xué)家們引用最多的書籍．這是卡瓦列里的主要學(xué)術(shù)著作之一，它的主要內(nèi)容就是不可分量方法．全書共分為7卷．第1卷闡述卡瓦列里關(guān)于平面和立體圖形的一些假設(shè)．第2卷引入了不可分量方法，并且證明了一些關(guān)于不可分量總體的一般定理，其中包括有深遠影響的關(guān)于平行四邊形中的線段和組成它的三角形內(nèi)線段關(guān)系的兩個定理， 卷中主要是第2卷定理的應(yīng)用——求與圓錐曲線有關(guān)的面積和體積．第6卷主要探討與螺線有關(guān)的面積，但也涉及到關(guān)于柱面、球面、拋物面和球體的一些結(jié)果．第7卷中，進一步闡述了不可分量方法的依據(jù)，提出并證明了卡瓦列里原理． 1647年，卡瓦列里出版了他最后一部著作《六道幾何練習(xí)題》(Exercitationes geometricae sex)．這也是一部關(guān)于不可分量方法的重要著作．在這部書里，他改進了《幾何學(xué)》中提出的不可分量方法，并用這一方法處理了高于2次的代數(shù)曲線圍成的面積和旋轉(zhuǎn)成的體積問題，證明了相當(dāng)于 的求積問題． 在波倫亞期間，卡瓦列里共出版了11部著作． 卡瓦列里的主要學(xué)術(shù)成就是他的不可分量方法．這一方法是微積分發(fā)展史上的一個重要環(huán)節(jié)．雖然由現(xiàn)代微積分的定義來看，是從有序的角度，而不是從連續(xù)性或不變性的角度來規(guī)定微積分的，但歷史地看，它們又恰恰是由對連續(xù)性或不變性的直觀認識系統(tǒng)發(fā)展的結(jié)果．因而，微積分在其發(fā)展中始終與幾何或運動的觀點以及不可分量和無窮小量的解釋密切相關(guān)，它們都是對連續(xù)性或不變性的直觀把握的產(chǎn)物．實際上，我們現(xiàn)在定義導(dǎo)數(shù)和積分的無窮序列，是在思維中無限地縮小自變量的取值區(qū)間而后得到的，這對應(yīng)著歷史上人們對于物理學(xué)中導(dǎo)致原子論的種種設(shè)想加以數(shù)學(xué)的引證．可以說，恰如從事物的真實分割(看起來是連續(xù)的)得到最小質(zhì)點即原子一樣，不妨認為從連續(xù)的數(shù)學(xué)量(通過思維中的連續(xù)分割)就可以得到最小的可能區(qū)間即微分．導(dǎo)數(shù)定義為兩個這種微分的商，而積分則定義為許多(有限的或者無限的)這種微分的和．它們可以說是緣起于利用“無窮小”方法計算面積和體積的工作． 1．歷史回顧 利用“無窮小”方法求積的思想可以追溯到古希臘的德謨克利特(Democritus)，他把自己的原子論思想引入數(shù)學(xué)，認為一個立體是由無數(shù)個平行于底的截面組成的．柏拉圖(Plato)進一步闡述了“無窮小量”，歐多克索斯(Eudoxus of Cnidus)和阿基米德實際上還利用“無窮小”方法求出了若干幾何圖形的面積或體積．不過古希臘人把符合直觀作為數(shù)學(xué)證明的基礎(chǔ)之一，他們沒有實無窮的觀念．歐多克索斯和阿基米德采用的“無窮小”方法是一種不涉及無窮分割的方法．其作法是：為證明一個幾何量S(面積、體積等)等于一個給定的量C，利用圖形的幾何性質(zhì)，以分割法構(gòu)造出兩個序列｛Ln｝和｛Un｝，使得對于所有的n都有 Ln＜S＜Un且Ln＜C＜Un． 然后證明，當(dāng)給定ε＞0，對足夠大的n，有 Un-Ln＜ε， 或證明，當(dāng)給定α＞1，對足夠大的n，有 無論哪一種情況，最后都用雙歸謬法證明 S=C． 此即所謂窮竭法．阿基米德用窮竭法求出了圓的面積，球的體積和表面積，橢圓和拋物弓形的面積，一些旋轉(zhuǎn)體的體積等． 歐洲文藝復(fù)興后，阿基米德的包括上述成果的著作被譯成拉丁文，得到廣泛的流傳．當(dāng)17世紀(jì)的數(shù)學(xué)家們深入研究了阿基米德的著作，充分領(lǐng)會窮竭法的思想之后，他們深信，阿基米德等古希臘數(shù)學(xué)家必定還了解另一種更有效的研究方法，用以具體求出前述那個給定的量C，只用窮竭法是求不出C的．當(dāng)卡瓦列里提出不可分量方法后，有人[如E．托里切利(Torricelli)]甚至指出，阿基米德采用的似乎正是這種方法． 17世紀(jì)數(shù)學(xué)家們的分析是相當(dāng)正確的，阿基米德的確發(fā)明并使用了另一種方法，只是寫有這一方法的著作散佚，使人們沒有見到他關(guān)于這一方法的論述．1906年J．海伯格(Heiberg)在土耳其的君士坦丁堡(現(xiàn)名伊斯坦布爾)的一家圖書館里發(fā)現(xiàn)一古代手稿，其中包括一封被認為公元初就已散佚的阿基米德給埃拉托塞尼(Eratosthenes)的信，即著名的《方法》一書．在這本書中阿基米德闡述了他的另一種方法：按德謨克利特的思想，認為圖形是由許多微小量組成的，如平面圖形是由平行于一條給定直線的許多截線段組成的，立體圖形是由許多彼此平行的截面組成的；把含未知量的圖形分解為組成它的微小量，然后再用另一組微小量(線段或平面片，其組成的總體的面積和體積為已知或易于求出的)來與它們作比較；比較時應(yīng)用了力學(xué)原理，賦予所有的微小量以理想的重量，于是幾何圖形就可看作是具有理想重量的重物，再建立一個杠桿，找一個合適的支點，使前后兩組微小量取得平衡；然后通過后一組微小量的總體，通過比較求出未知量來．阿基米德把這種方法看作發(fā)現(xiàn)的方法(找到定量C)而不是證明的方法，由此得出的結(jié)論仍要用窮竭法加以證明(證明S=C)．可以說阿基米德所求面積、體積都是由這種方法開始的．他的這些“線元”和“面元”是“不可分量”的前身．但他的方法，就事論事，沒有建立一般的計算法則，對每一問題都要從頭開始． 阿基米德對這一方法抱有很大希望．不過他的方法并沒有被同時代人所理解，并且被人們遺忘了許多個世紀(jì)．但對于“不可分量”，歷史上還時時有人研究．例如11世紀(jì)薩瓦蘇達(Savasorda)在其著作中就探討過不可分量；在中世紀(jì)經(jīng)院哲學(xué)家的論爭——更多的是哲學(xué)論爭而非數(shù)學(xué)論爭中，不可分量也是一個經(jīng)常論及的概念；L．達·芬奇(da Vinci)曾考慮過用無窮小量來求四面體的重心，他設(shè)想四面體是由無窮個平面片組成的．J．開普勒(Kepler)比較系統(tǒng)地用無窮小方法求面積和體積．在他的《測定酒桶容積的新方法》(Nova stereometria doliorum vinariorum，1615)一書中，他求出90多種旋轉(zhuǎn)體的體積．開普勒的方法是把要求體積的立體劃分成無窮多個無窮小的部分，即立體的“不可分量”，其大小和形狀都便于求解給定的問題．例如，他把球看成是由無窮多個無窮小棱錐組成的，每個無窮小棱錐的頂點都在球心，底面在球的表面上，高等于球的半徑，從而得出球的體積是半徑與球表面積乘積的三分之一． 2．卡瓦列里原理 卡瓦列里全面發(fā)展了求積的不可分量方法．他的方法依據(jù)于這樣一個原理： 如果兩個平面圖形夾在同一對平行線之間，并且為任何平行于這兩條平行線的直線所截時截得的線段都相等，那么這兩個圖形的面積相等；如果每條直線(平行于上述兩條平行線的)為兩個圖形所截得的線段的長度都有相同的比，則兩個圖形的面積也成相同的比． 類似地，在空間，如果兩個立體圖形夾在兩個平行平面之間，并且為任何平行于這兩個平行平面的平面所截時截得的平面片的面積都相等，那么這兩個立體圖形的體積相等；如果截兩個立體所得的兩組截面中，每個給定平面所截得的兩個不同組的截面的面積都有相同的比例，則這兩個立體的體積也成相同的比． 從現(xiàn)代分析學(xué)的觀點看，這個原理所斷定的實際上是：如果被積函數(shù)相等，而且積分限也相等，那么這兩個積分相等；被積函數(shù)中的常數(shù)作為一個因子可以提到積分號外面而不改變積分的值． 這一原理在西方是由卡瓦列里提出的，此后在數(shù)學(xué)中得到相當(dāng)廣泛的應(yīng)用．西方便稱之為卡瓦列里原理．在中國古代，三國時的劉徽和南北朝時的祖沖之父子曾考慮過相同的原理，公元5—6世紀(jì)的祖暅明確指出：“緣冪勢既同，則積不容異．”其中冪指面積，勢指關(guān)系，積指體積．這句話的意思是“若兩立體的截面面積之間的關(guān)系處處相等，則兩立體的體積之間也必有同樣的關(guān)系”．顯然，這一原理包含卡瓦列里原理的基本內(nèi)容，我們稱之為“祖暅原理”或“劉祖原理”． 卡瓦列里采用多種方法來證明這一原理，這些證明都收入他的《幾何學(xué)》第7卷．其中的一個證明如下： 設(shè)夾在兩平行線PQ，RS之間的兩個任意平面圖形ABC和XYZ如圖1所示，DN和OU是平行于PQ，RS的直線，且它們在兩圖形上的截線相等．即在DN上，JK=LM，在OU上，EF＋GH=TV；進而在任何與PQ等距的直線上，在ABC和XYZ中截得的線段都相等．下面證明ABC和XYZ的面積相等． 任取兩圖形之一，不妨取ABC，順平行線PQ，RS平移到另一個圖形XYZ上．這時，或者ABC與XYZ重合，因而它們的面積相等，則原理已證；或者它們只有部分重合，如圖中的XMC′YThL． 現(xiàn)考察平移后兩圖形不完全重合的情況．由于平移保持一直線在兩圖形上的截線的共線關(guān)系，并且它們在平移前是相等的，平移后，它們?nèi)匀幌嗟?，例如E′F′＋TH′=TV．因而，如果E′F′+TH′不完全與TV重合，則它們的一部分重合，如TH′與TH′重合，于是E′F′=H′V，E′F′是平移后ABC的未蓋住XYZ的部分，H′V是平移后未被ABC覆蓋的XYZ的部分．同理可證，對每條平行于PQ的直線在兩個圖形上的截線，其未重合的部分(如果有的話)都是相等的．即這一平移有如下性質(zhì)：若平移的圖形有一部分未覆蓋在另一圖形上，那么后者也一定有一部分未彼覆蓋；而且，在平移之后，兩圖形的未重合部分仍滿足原理的條件． 現(xiàn)在作第二次平移：平移ABC未重合的部分，使得KL，CY落在LN，YS上，則又有VB″Z重合．如前證可知，二次平移后一個圖形的仍未重合部分一定對應(yīng)著另一圖形的仍然未重合的部分；它們?nèi)詽M足原理的條件，可以再順RS，DN平移，又有新的重合部分和未重合部分，這一過程可以一直進行下去，一直進行到ABC與XYZ完全重合．否則，如某一圖形有一部分未與另一圖形重合，則另一圖形也必有未重合的部分剩下．如果ABC與XYZ重合，則它們的面積相等．對立體的情況可仿此證明． 這一證明是巧妙而直觀的．但也有一些弱點：沒有證明按所采用的操作方法，兩個圖形未重合的部分一定是可窮竭的；也沒有證明每次平移后圖形的未重合部分一定小于原來的圖形．而且，卡瓦列里在答復(fù)P．古爾丁(Guldin)的反對意見時聲稱，在一個圖形中(從而在另一個圖形中)“消除”未重合部分的工作可以用無窮步運算完成． 卡瓦列里的另一個證明是用古典的窮竭法作出的．對滿足一定條件的圖形(如兩圖形都是“廣義的平行四邊形”或能分解為這種四邊形的圖形)來說，這一證明是嚴(yán)格的． 3．不可分量方法 卡瓦列里把平面圖形看作是由平行的等距線段組成的，把立體圖形看作是由彼此平行的、等距離的平面片組成的．這些線段就是平面圖形的不可分量而這些平面片就是立體圖形的不可分量．卡瓦列里的具體方法是先建立兩個給定的幾何圖形的不可分量之間的一一對應(yīng)關(guān)系，并且設(shè)法使對應(yīng)的不可分量具有某種不變的比例，當(dāng)其中一個圖形的面積或體積已求出時，就可用卡瓦列里原理求出另一個圖形的面積或體積． 利用不可分量方法，卡瓦列里解決的典型問題是有關(guān)平行四邊形中線段和組成它的三角形中的線段關(guān)系的一些定理．它們對后來的數(shù)學(xué)發(fā)展產(chǎn)生了深遠的影響．一個基本的命題是：設(shè)平行四邊形AD(如圖2)被對角線CF分成兩個三角形ACF和DCF，則平行四邊形(面積)是每個三角形(面積)的兩倍．卡瓦列里這樣證明：先作EF=CB，再作HE∥CD，BM∥CD，則HE=BM，則△ACF中所有線段與△DCF中所有線段對應(yīng)相等，從而兩個三角形相等，因而平行四邊形AD中所有線段之和等于每個三角形中的和的兩倍．用類似的但有更大難度的方法，卡瓦列里進一步證明了平行四邊形內(nèi)線段平方的和等于每個三角形內(nèi)線段平方和的三倍．利用這一命題，易證圓錐的體積是其外接圓柱體積的三分之一，拋物線弓形是其外接矩形面積的三分之二等．這些都是阿基米德已得出的結(jié)果，但卡瓦列里采用統(tǒng)一的方法來處理，不僅使許多利用窮竭法勉強解決的問題，現(xiàn)在可以很方便地求解，如橢圓面積和球體積等，而且使認識深化，得出了更深刻的結(jié)果．卡瓦列里沿處理構(gòu)成平行四邊形的線段的冪和組成平行四邊形的三角形內(nèi)相應(yīng)線段的冪的比，不斷前進：他已求出兩組線段之和的比為2∶1；線段平方和之比為3∶1；接著又求出兩組線段立方和之比為4∶1；4次冪和之比為5∶1(在此基礎(chǔ)上他求出拋物線弓形繞其弦旋轉(zhuǎn)而成的立體的體積)；線段的5次冪和之比為6∶1；6次冪和之比為7∶1等等；最后，兩組線段的n次冪和之比為(n+1)∶1．即得出 按他的平面圖形由線段構(gòu)成的思想，Σa表示一個以a為邊長的正方形的面積；類似地，Σa2表示一個以Σa為截面(以a為邊長)的正方體的體積，因而有 并驗證了n=5，6，…，9的情況，n=1，2的情況已為阿基米德所證明，阿拉伯人已知n=4的情況．卡瓦列里的工作是前人工作的推廣和統(tǒng)一化．雖然在卡瓦列里之前，P．費馬(Fermat)和G．羅貝瓦爾(Roberval)用別的方法也得到了這一結(jié)果，但1639年他第一個公開發(fā)表了這一公式，對17世紀(jì)無窮小分析的發(fā)展起了重要的推動作用．可以說這是在無窮小分析中指出更一般的代數(shù)運算法則的可能性的第一個定理．后來由牛頓和萊布尼茨提出而成為積分學(xué)的基礎(chǔ)． 由此公式出發(fā)，卡瓦列里立即證明了在單位區(qū)間上，曲線y=xn(n為正整數(shù))下的圖形面積為 這個圖形圍繞“弦”旋轉(zhuǎn)而成的立體體積為 卡瓦列里極大地推進了不可分量方法，不僅把它視為發(fā)現(xiàn)的方法，也試圖使它成為證明的方法．這樣一來，就必須按數(shù)學(xué)證明的基本要求，使概念嚴(yán)格化，即產(chǎn)生了這樣一個問題：不可分量究竟是什么？ 卡瓦列里了解這一問題的復(fù)雜性，因而想建立一種獨立于數(shù)學(xué)基本要求的方法，使得無論概念是怎樣形成的，這種方法都是有效的．他甚至認為，嚴(yán)格性是哲學(xué)的事，而不是幾何學(xué)的事．卡瓦列里沒有肯定連續(xù)量可以分解為他并沒有給出明確定義的不可分的元素，他也沒有講清楚它們究竟是實在的還是潛在的無窮小量． 卡瓦列里從未解釋過沒有厚薄的不可分量是怎樣構(gòu)成面積和體積的，但在許多場合，他曾把不可分量方法和運動的觀點聯(lián)系起來，認為面積和體積可以看作是由不可分量的運動產(chǎn)生出來的．不過他并沒有將這種有啟發(fā)性的觀點發(fā)展成為幾何方法，這一點為他的后繼者E．托里切利(Torricelli)所實現(xiàn)，結(jié)果產(chǎn)生了I．牛頓(Newton)的流數(shù)法．卡瓦列里的不可分量在J．沃利斯(Wallis)的《無窮算術(shù)》(Arithmetica infinitorum，1655)中有所應(yīng)用，在牛頓和G．萊布尼茨(Leibniz)的數(shù)學(xué)思想中也有所反映，如前者的“瞬”概念和后者的“微分”概念中就有不可分量的影子．卡瓦列里的思想，對微積分的發(fā)展起了巨大的啟發(fā)作用． 當(dāng)然卡瓦列里的不可分量方法與微積分尚有較大的距離，主要表現(xiàn)在：(1)沒有極限概念；(2)沒有采用代數(shù)或算術(shù)方法，而它們是定義微積分的前提之一；(3)過于強調(diào)面積和體積的比而不是直接求積．與阿基米德相比，卡瓦列里在求積方法的統(tǒng)一性上邁出了決定性的一步；與牛頓、萊布尼茨相比，卡瓦列里可以說是他們的直接前驅(qū)之一．因而，卡瓦列里的工作是由古希臘人的方法向現(xiàn)代微積分過渡的一個不可缺少的環(huán)節(jié)．正如萊布尼茨在給G．曼弗雷迪(Manfredi)的一封信中所說：“幾何學(xué)中的卓越人物、完成了這一領(lǐng)域中義勇軍任務(wù)的開拓者和倡導(dǎo)者是卡瓦利里和托里切利，后來別人的進一步發(fā)展部得益于他們的工作．” 4．其他成就 卡瓦列里在《幾何學(xué)》第1卷中給出了一個用幾何形式表示的微分中值定理，后來就稱為卡瓦列里定理． 卡瓦列里將J．納皮爾(Napier)創(chuàng)建的對數(shù)方法引入意大利并在三角學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)中作了有價值的發(fā)展．如在《一百個不同的問題》(Centuria di varii problemi，1639)一書中討論了由兩數(shù)的對數(shù)求其和、差的對數(shù)的方法，這是后來許多數(shù)學(xué)家包括C．高斯(Gauss)都進行過研究的問題． 卡瓦列里還探討了古希臘人二次曲線理論的起源及其在透鏡和聲學(xué)中的應(yīng)用，進而產(chǎn)生構(gòu)造反射望遠鏡的思想，按G．皮奧拉(Piola)與A．法瓦羅(Favaro)的說法，他的這種思想早于D．格雷戈里(Gregory)和牛頓．卡瓦列里還給出了非平坦球面透鏡焦距的計算方法；解釋了關(guān)于阿基米德以鏡子聚焦致燃的傳說．在聲學(xué)領(lǐng)域中，卡瓦列里嘗試進行了P．維特魯維厄斯(Vitru-vius)共鳴瓶的考古重建工作，并用在大劇院里以放大聲音．在《幾何學(xué)》和《六道幾何練習(xí)題》中卡瓦列里還給出了采用射影線束來畫二次曲線的方法，可以認為是J．施泰納(Steiner)工作的先驅(qū)． |
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