一、蒙特卡羅算法
1946年，美國拉斯阿莫斯國家實(shí)驗(yàn)室的三位科學(xué)家John von Neumann,Stan Ulam 和 Nick Metropolis
共同發(fā)明了，蒙特卡羅方法。

蒙特卡羅方法（Monte Carlo method），又稱隨機(jī)抽樣或統(tǒng)計(jì)模擬方法，是一種以概率統(tǒng)計(jì)理論為指導(dǎo)

的一類非常重要的數(shù)值計(jì)算方法。此方法使用隨機(jī)數(shù)（或更常見的偽隨機(jī)數(shù)）來解決很多計(jì)算問題的方

法。

由于傳統(tǒng)的經(jīng)驗(yàn)方法由于不能逼近真實(shí)的物理過程，很難得到滿意的結(jié)果，而蒙特卡羅方法由于能夠真

實(shí)地模擬實(shí)際物理過程，故解決問題與實(shí)際非常符合，可以得到很圓滿的結(jié)果。

蒙特卡羅方法的基本原理及思想如下：
當(dāng)所求解問題是某種隨機(jī)事件出現(xiàn)的概率，或者是某個(gè)隨機(jī)變量的期望值時(shí)，通過某種“實(shí)驗(yàn)”的方法

，以這種事件出現(xiàn)的頻率估計(jì)這一隨機(jī)事件的概率，或者得到這個(gè)隨機(jī)變量的某些數(shù)字特征，并將其作

為問題的解。

有一個(gè)例子可以使你比較直觀地了解蒙特卡洛方法：
假設(shè)我們要計(jì)算一個(gè)不規(guī)則圖形的面積，那么圖形的不規(guī)則程度和分析性計(jì)算（比如，積分）的復(fù)雜程

度是成正比的。蒙特卡洛方法是怎么計(jì)算的呢？假想你有一袋豆子，把豆子均勻地朝這個(gè)圖形上撒，然

后數(shù)這個(gè)圖形之中有多少顆豆子，這個(gè)豆子的數(shù)目就是圖形的面積。當(dāng)你的豆子越小，撒的越多的時(shí)候

，結(jié)果就越精確。
在這里我們要假定豆子都在一個(gè)平面上，相互之間沒有重疊。

蒙特卡羅方法通過抓住事物運(yùn)動的幾何數(shù)量和幾何特征，利用數(shù)學(xué)方法來加以模擬，即進(jìn)行一種數(shù)字模

擬實(shí)驗(yàn)。它是以一個(gè)概率模型為基礎(chǔ)，按照這個(gè)模型所描繪的過程，通過模擬實(shí)驗(yàn)的結(jié)果，作為問題的

近似解。

蒙特卡羅方法與一般計(jì)算方法有很大區(qū)別，一般計(jì)算方法對于解決多維或因素復(fù)雜的問題非常困難，而

蒙特卡羅方法對于解決這方面的問題卻比較簡單。其特點(diǎn)如下： 
I、  直接追蹤粒子，物理思路清晰，易于理解。 
II、 采用隨機(jī)抽樣的方法，較真切的模擬粒子輸運(yùn)的過程，反映了統(tǒng)計(jì)漲落的規(guī)律。
III、不受系統(tǒng)多維、多因素等復(fù)雜性的限制，是解決復(fù)雜系統(tǒng)粒子輸運(yùn)問題的好方法。
等等。

此算法，日后還會在本BLOG 內(nèi)詳細(xì)闡述。

二、數(shù)據(jù)擬合、參數(shù)估計(jì)、插值等數(shù)據(jù)處理算法
我們通常會遇到大量的數(shù)據(jù)需要處理， 而處理數(shù)據(jù)的關(guān)鍵就在于這些算法，通常使用Matlab作為工具。

數(shù)據(jù)擬合在數(shù)學(xué)建模比賽中中有應(yīng)用，與圖形處理有關(guān)的問題很多與擬合有關(guān)系，一個(gè)例子就是98年數(shù)

學(xué)建模美國賽A題，生物組織切片的三維插值處理，94年A題逢山開路，山體海拔高度的插值計(jì)算，還有

吵的沸沸揚(yáng)揚(yáng)可能會考的“非典”問題也要用到數(shù)據(jù)擬合算法，觀察數(shù)據(jù)的走向進(jìn)行處理。

此類問題在 MATLAB 中有很多現(xiàn)成的函數(shù)可以調(diào)用，熟悉MATLAB，這些方法都能游刃有余的用好。

三、線性規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃、多元規(guī)劃、二次規(guī)劃等規(guī)劃類問題
數(shù)學(xué)建模競賽中很多問題都和數(shù)學(xué)規(guī)劃有關(guān)，可以說不少的模型都可以歸結(jié)為一組不等式作為約束條件

、幾個(gè)函數(shù)表達(dá)式作為目標(biāo)函數(shù)的問題，遇到這類問題，求解就是關(guān)鍵了，比如98年B題，用很多不等式

完全可以把問題刻畫清楚，因此列舉出規(guī)劃后用 Lindo 、 Lingo 等軟件來進(jìn)行解決比較方便，所以還

需要熟悉這兩個(gè)軟件。

四、圖論算法
這類問題算法有很多，
包括： Dijkstra 、 Floyd 、 Prim 、 Bellman-Ford ，最大流，二分匹配等問題。

關(guān)于此類圖論算法，可參考Introduction to Algorithms--算法導(dǎo)論，關(guān)于圖算法的第22章-第26章。
同時(shí)，本BLOG內(nèi)經(jīng)典算法研究系列，對Dijkstra算法有所簡單描述，

五、動態(tài)規(guī)劃、回溯搜索、分治算法、分支定界等計(jì)算機(jī)算法
在數(shù)學(xué)建模競賽中，如:92 年B題用分枝定界法， 97年B題是典型的動態(tài)規(guī)劃問題，
此外 98 年 B 題體現(xiàn)了分治算法。

這方面問題和 ACM 程序設(shè)計(jì)競賽中的問題類似，
推薦看一下算法導(dǎo)論，與《計(jì)算機(jī)算法設(shè)計(jì)與分析》（電子工業(yè)出版社）等與計(jì)算機(jī)算法有關(guān)的書。

六、最優(yōu)化理論的三大經(jīng)典算法：模擬退火法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、遺傳算法 
這十幾年來最優(yōu)化理論有了飛速發(fā)展，模擬退火法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、遺傳算法這三類算法發(fā)展很快。

在數(shù)學(xué)建模競賽中：比如97年A題的模擬退火算法,00年B題的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)分類算法，01年B題這種難題也可

以使用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，還有美國競賽89年A題也和 BP 算法有關(guān)系，當(dāng)時(shí)是86年剛提出BP算法，89年就考了，

說明賽題可能是當(dāng)今前沿科技的抽象體現(xiàn)。 
03 年 B 題伽馬刀問題也是目前研究的課題，目前算法最佳的是遺傳算法。

 其它倆大算法，模擬退火法，與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，也定會在本BLOG內(nèi)日后的博文更新中，詳細(xì)闡述。

七、網(wǎng)格算法和窮舉法
網(wǎng)格算法和窮舉法一樣，只是網(wǎng)格法是連續(xù)問題的窮舉。
比如要求在 N 個(gè)變量情況下的最優(yōu)化問題，那么對這些變量可取的空間進(jìn)行采點(diǎn)，
比如在 [ a; b ] 區(qū)間內(nèi)取 M +1 個(gè)點(diǎn)，就是 a; a +( b ? a ) =M; a +2 ￠ ( b ? a ) =M ; …；b

那么這樣循環(huán)就需要進(jìn)行 ( M + 1) N 次運(yùn)算，所以計(jì)算量很大。

在數(shù)學(xué)建模競賽中：比如 97 年 A 題、 99 年 B 題都可以用網(wǎng)格法搜索，這種方法最好在運(yùn)算速度較

快的計(jì)算機(jī)中進(jìn)行，還有要用高級語言來做，最好不要用 MATLAB 做網(wǎng)格，否則會算很久。

窮舉法大家都熟悉，自不用多說了。  

八、一些連續(xù)離散化方法
大部分物理問題的編程解決，都和這種方法有一定的聯(lián)系。物理問題是反映我們生活在一個(gè)連續(xù)的世界

中，計(jì)算機(jī)只能處理離散的量，所以需要對連續(xù)量進(jìn)行離散處理。

這種方法應(yīng)用很廣，而且和上面的很多算法有關(guān)。
事實(shí)上，網(wǎng)格算法、蒙特卡羅算法、模擬退火都用了這個(gè)思想。 

九、數(shù)值分析算法
數(shù)值分析（numerical analysis），是數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，主要研究連續(xù)數(shù)學(xué)（區(qū)別于離散數(shù)學(xué)）問題的

算法。

如果在比賽中采用高級語言進(jìn)行編程的話，那一些數(shù)值分析中常用的算法比 如方程組求解、矩陣運(yùn)算、

函數(shù)積分等算法就需要額外編寫庫函數(shù)進(jìn)行調(diào)用。

這類算法是針對高級語言而專門設(shè)的，如果你用的是 MATLAB 、 Mathematica ，大可不必準(zhǔn)備，
因?yàn)橄駭?shù)值分析中有很多函數(shù)一般的數(shù)學(xué)軟件是具備的。

十、圖象處理算法
在數(shù)學(xué)建模競賽中：比如01 年 A 題中需要你會讀 BMP 圖象、美國賽 98 年 A 題需要你知道三維插值

計(jì)算， 03 年 B 題要求更高，不但需要編程計(jì)算還要進(jìn)行處理，而數(shù)模論文中也有很多圖片需要展示，

因此圖象處理就是關(guān)鍵。做好這類問題，重要的是把MATLAB 學(xué)好，特別是圖象處理的部分。