函數(shù)，是“數(shù)形結(jié)合”的典范，要學(xué)好函數(shù)，必須運(yùn)用好“數(shù)形結(jié)合思想”，能夠準(zhǔn)確得出“數(shù)”和“形”的對(duì)應(yīng)。

以現(xiàn)學(xué)的三角函數(shù)為例，由于通過(guò)“單位圓”，將斜邊統(tǒng)一為“1”，則余弦（C）即“橫”，正弦（S）即“豎”。這樣就建立了“三角函數(shù)”與“圖像”的對(duì)應(yīng)。

三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，在課本上列出了很多，需要都背下來(lái)嗎？

如果你是用背的方法，那只能說(shuō)明你的數(shù)學(xué)能力，還停留在小學(xué)水平。

其實(shí)，誘導(dǎo)公式是用“數(shù)”的形式來(lái)反應(yīng)“形”的變化。

知道了“形”的變化特點(diǎn)，則所有的誘導(dǎo)一目了然。

由于在“十字架”（平面直角坐標(biāo)系）中，規(guī)定了角的始邊為X軸的非負(fù)半軸，角的頂點(diǎn)為原點(diǎn)O，那么我們就——只須用“一個(gè)點(diǎn)”就可以表示角（在此用A表示）。

圖形的變化，在“誘導(dǎo)”中包括“軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)（含中心對(duì)稱）”。

在數(shù)中，A前的正負(fù)號(hào)對(duì)應(yīng)的是關(guān)于X軸對(duì)稱，PAI（P）、2KP、P/2等對(duì)應(yīng)的是旋轉(zhuǎn)。

這樣，我們就可以在十字架中用8個(gè)點(diǎn)來(lái)表示8類誘導(dǎo)公式：

1號(hào)點(diǎn)，即A（可隨意點(diǎn)，一般為方便觀察，點(diǎn)在第一象限），1號(hào)點(diǎn)也是2P+A、2KP+A；

2號(hào)點(diǎn)，將A關(guān)于X軸對(duì)稱，即-A，也是2P-A，2KP-A，與1號(hào)點(diǎn)對(duì)照，得“橫不變，豎相反”，即S（-A）=-S（A），C（-A）=C（A）；

3號(hào)點(diǎn)，將A關(guān)于O對(duì)稱，即A+P，也是A-P，與1號(hào)對(duì)照，得“橫豎都相反”，即S（A+P）=-S（A），C（A+P）=-C（A）；

4號(hào)點(diǎn)，將2號(hào)關(guān)于O對(duì)稱，即-A+P，也是-A-P，與1號(hào)對(duì)照，得“橫相反，豎不變”，即S（-A+P）=S（A），C（-A+P）=-C（A）；

5號(hào)點(diǎn)，將A繞O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度，即A+P/2，與1號(hào)對(duì)照，得“橫豎交換，橫變號(hào)”，即S（A+P/2）=C（A），C（A+P/2）=-S（A）；

6號(hào)點(diǎn)，將2號(hào)繞O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度，即-A+P/2，與1號(hào)對(duì)照，得“橫豎交換，不變號(hào)”，即S（-A+P/2）=C（A），C（-A+P/2）=S（A）；

7號(hào)點(diǎn)，將A繞O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度，即A-P/2，也是A+3P/2，與1號(hào)對(duì)照，得“橫豎交換，豎變號(hào)”，即S（A-P/2）=-C（A），C（A-P/2）=S（A）；

8號(hào)點(diǎn)，將2號(hào)繞O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度，即-A-P/2，也是-A+3P/2，與1號(hào)對(duì)照，得“橫豎交換，全相反”，即S（-A-P/2）=-C（A），C（-A-P/2）=-S（A）。

8個(gè)點(diǎn)點(diǎn)完，一幅簡(jiǎn)易八卦圖就出來(lái)了，對(duì)了，數(shù)學(xué)八卦就是誘導(dǎo)公式。

實(shí)際使用時(shí)，最多點(diǎn)3個(gè)點(diǎn)，第一個(gè)是A，有-A，則為第二個(gè)點(diǎn)，第三點(diǎn)由A或-A旋轉(zhuǎn)。

下面，我們來(lái)看兩道題目：

例1 求C（P/5）+C（2P/5）+C（3P/5）+C（4P/5）

例2 求[S（NP+A）*C（NP-A）]/{C[（N+1）P-A]} （N為整數(shù)）

看“數(shù)”想對(duì)應(yīng)的“形”。

第一題，是求C之和，即“橫”之和，由數(shù)學(xué)八卦可知，和為P的兩點(diǎn)關(guān)于Y軸對(duì)稱，即“和為P，橫相反”。

所以，求C之和，要湊P，湊成P，則抵消。

所以，第一題原式=0

由第一題，延伸想想，如果求S之和，應(yīng)該湊什么？由八卦可知，“和為0，豎相反”。所以，這樣的題一般不求S之和，太明顯了。但0屬于2KP，所以如果求S之和，要湊2P，湊成2P，即為0。

第二題是S*C/C，有A和-A這好辦，關(guān)鍵是旋轉(zhuǎn)，N為整，NP不知是半圈還是一圈，情況不明，分類討論之。

若N=2K，則原式=S（A）*C（A）/[-C（A）]=-S（A）

若N=2K+1，則原式=負(fù)*負(fù)/正=S（A），綜合得原式=正負(fù)S（A）

說(shuō)完這兩道題，我們說(shuō)一下這次的壓軸題。

例3 F（X）是定義域在R上的以3為周期的奇函數(shù)，且F（2）=0，則方程F（X）=0在區(qū)間（0，6）內(nèi)解有幾個(gè)？

首先，要搞清楚奇函數(shù)、周期是什么？數(shù)和形如何對(duì)應(yīng)？

奇函數(shù)就是關(guān)于O對(duì)稱，即X相反時(shí)，Y也相反；

偶函數(shù)就是關(guān)于Y軸對(duì)稱，即X相反時(shí)，Y不變；

周期則是平移量，即F（X+-T）=F（X）

同時(shí)，定義域?yàn)镽，意味著圖像是一條連續(xù)的線，再加上關(guān)于O對(duì)稱，則此線過(guò)O，即F（0）=0

由以上可知，此題已知F（2）=0，由周期可得F（-1）=F（5）=0

再由奇函數(shù)可得F（0）=0，F(xiàn)（-1）的對(duì)稱點(diǎn)F（1）=0，至此可知此函數(shù)的最小正周期是1。

則X=1、2、3、4、5都是符合要求的解，共5個(gè)。

多余老師在此強(qiáng)調(diào)：

周期和最小正周期是兩個(gè)詞，周期是最小正周期的倍數(shù)；

當(dāng)已知“周期”時(shí)，注意不一定是最小正周期，可是讓你求周期時(shí)，一定要求最小正周期。

通過(guò)以上三題，我們可以看出，“數(shù)形結(jié)合”是多么重要。

圖形是數(shù)學(xué)中的最高級(jí)語(yǔ)言，最直觀，最適合用于分析判斷。

而符號(hào)語(yǔ)言，則主要用于準(zhǔn)確計(jì)算。