編輯本段定義

　　如果函數(shù)f(x)在(a,b)中每一點(diǎn)處都可導(dǎo)，則稱f(x)在(a,b)上可導(dǎo)，則可建立f(x)的導(dǎo)函數(shù)，簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù)，記為 如果f(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且在區(qū)間端點(diǎn)a處的右導(dǎo)數(shù)和端點(diǎn)b處的左導(dǎo)數(shù)都存在，則稱f(x)在閉區(qū)間[a,b]上可導(dǎo)，f'(x)為區(qū)間[a,b]上的導(dǎo)函數(shù)，簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù)。

編輯本段基本函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)

　　C'=0(C為常數(shù)) 　　(x^n)'=nx^(n-1) (n∈N+) 　　(sinx)'=cosx 　　(cosx)'=-sinx 　　(e^x)'=e^x 　　(a^x)'=(a^x)*lna(a>0且a≠1) 　　[logax)]' = 1/(x*logae)(a>0且a≠1) 　　[lnx]'= 1/x

編輯本段和差積商函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)

　　[f(x) + g(x)]' = f'(x) + g'(x) 　　[f(x) - g(x)]' = f'(x) - g'(x) 　　[f(x)g(x)]' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) 　　[f(x)/g(x)]' = [f'(x)g(x) - f(x)g'(x)] / [g(x)^2]

編輯本段復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)

　　設(shè) y=u(t) ，t=v(x)，則 y'(x) = u'(t)v'(x) = u'[v(x)] v'(x) 　　例 ：y = t^2 ，t = sinx ，則y'(x) = 2t * cosx = 2sinx*cosx = sin2x 一般定義 　　設(shè)函數(shù)在點(diǎn)x。的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量在處取得增量Δx（點(diǎn)仍在該鄰域內(nèi)）時(shí)，相應(yīng)地函數(shù)取得增量Δy；如果Δy與Δx之比當(dāng)Δx→0時(shí)的極限存在，則稱函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，并稱這個(gè)極限為函數(shù)在點(diǎn)x。處的導(dǎo)數(shù)，記為，即 　　， 　　也可記作f′(x)〡x=x.，或f′(x.)。 　　若將一點(diǎn)擴(kuò)展成函數(shù)f(x)在其定義域包含的某開(kāi)區(qū)間I內(nèi)每一個(gè)點(diǎn)，那么函數(shù)f(x)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，這時(shí)對(duì)于內(nèi)每一個(gè)確定的值，都對(duì)應(yīng)著f(x)的一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)，如此一來(lái)每一個(gè)導(dǎo)數(shù)就構(gòu)成了一個(gè)新的函數(shù)，這個(gè)函數(shù)稱作原函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，記作：y'或者f′(x)。 　　導(dǎo)函數(shù)的定義表達(dá)式為： 　　值得注意的是，導(dǎo)數(shù)是一個(gè)數(shù)，是指函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)值。但通常也可以說(shuō)導(dǎo)函數(shù)為導(dǎo)數(shù)，其區(qū)別僅在于一個(gè)點(diǎn)還是連續(xù)的點(diǎn)。 　　幾何意義 　　如右圖所示，設(shè)P0為曲線上的一個(gè)定點(diǎn)，P為曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)。當(dāng)P沿曲線逐漸趨向于點(diǎn)P0時(shí)，并且割線PP0的極限位置P0T存在，則稱P0T為曲線在P0處的切線。 　　若曲線為一函數(shù)y = f(x)的圖像，那么割線PP0的斜率為： 　　當(dāng)P0處的切線P0T，即PP0的極限位置存在時(shí)，此時(shí)，，則P0T的斜率tanα為： 　　上式與一般定義中的導(dǎo)數(shù)定義是完全相同，則f'(x0) = tanα，故導(dǎo)數(shù)的幾何意義即曲線y = f(x)在點(diǎn)P0(x0,f(x0))處切線的斜率。

編輯本段函數(shù)可導(dǎo)的條件

　　如果一個(gè)函數(shù)的定義域為全體實(shí)數(shù)，即函數(shù)在上都有定義，那么該函數(shù)是不是在定義域上處處可導(dǎo)呢？答案是否定的。函數(shù)在定義域中一點(diǎn)可導(dǎo)需要一定的條件是：函數(shù)在該點(diǎn)的左右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)都存在且相等。這實(shí)際上是按照極限存在的一個(gè)充要條件（極限存在，它的左右極限存在且相等）推導(dǎo)而來(lái)： 　　上式中，后兩個(gè)式子可以定義為函數(shù)在x0處的左右導(dǎo)數(shù)： 　　

左導(dǎo)數(shù)：

右導(dǎo)數(shù)：

編輯本段導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性

　　一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，如果在這個(gè)區(qū)間y'>0，那么函數(shù)y=f(x)在這個(gè)區(qū)間上為增函數(shù)：如果在這個(gè)區(qū)間y'<0，那么函數(shù)y=f(x)在這個(gè)區(qū)間上為減函數(shù)；如果在這個(gè)區(qū)間y'=0，那么函數(shù)y=f(x)在這個(gè)區(qū)間上為常數(shù)函數(shù)

編輯本段導(dǎo)數(shù)與極值

　　一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)在x=x0及其附近有定義，如果f(x0)的值比x0附近所有各點(diǎn)的函數(shù)值都大，我們說(shuō)f(x0)是函數(shù)y=f(x)的一個(gè)極大值；如果f(x0)的值比x0附近所有各點(diǎn)的函數(shù)值都小，我們說(shuō)f(x0)是函數(shù)y=f(x)的一個(gè)極小值。極大值與極小值統(tǒng)稱極值。 　　在定義中，取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn)，極值點(diǎn)是自變量的值，極值指的是函數(shù)值。請(qǐng)注意以下幾點(diǎn)： 　　1．極值是一個(gè)局部概念。由定義，極值只是某個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值與它附近點(diǎn)的函數(shù)值比較是最大或最小，并不意味著它在函數(shù)的整個(gè)的定義域內(nèi)最大或最小。 　　2．函數(shù)的極值不是唯一的。即一個(gè)函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內(nèi)極大值或極小值可以不止一個(gè)。 　　3．極大值與極小值之間無(wú)確定的大小關(guān)系。即一個(gè)函數(shù)的極大值未必大于極小值。 　　4．函數(shù)的極值點(diǎn)一定出現(xiàn)在區(qū)間的內(nèi)部，區(qū)間的端點(diǎn)不能成為極值點(diǎn)。而使函數(shù)取得最大值、最小值的點(diǎn)可能在區(qū)間的內(nèi)部，也可能在區(qū)間的端點(diǎn)。 　　5．在函數(shù)取得極值處，如果曲線有切線的話，則切線是水平的，從而有 f'(x) =0。但反過(guò)來(lái)不一定。如函數(shù)y=x3，在x=0處，曲線的切線是水平的，但這點(diǎn)的函數(shù)值既不比它附近的點(diǎn)的函數(shù)值大，也不比它附近的點(diǎn)的函數(shù)值小?！∪魓0滿足 =0，且在x0的兩側(cè)f(x)的導(dǎo)數(shù)異號(hào)，則x0是f(x)的極值點(diǎn)，f(x0)是極值，并且如果 在x0兩側(cè)滿足“左正右負(fù)”，則x0是f(x)的極大值點(diǎn)，f(x0)是極大值；如果 在x0兩側(cè)滿足“左負(fù)右正”，則x0是f(x)的極小值點(diǎn)，f(x0)是極小值。