導(dǎo)數(shù)的概念

二. 教學(xué)重、難點(diǎn)：

1. 曲線的切線

2. 瞬時(shí)速度

3. 導(dǎo)數(shù)的概念

4. 導(dǎo)數(shù)的幾何意義

【典型例題】

[例1] 求曲線在點(diǎn)（2，4）處的切線方程。

解：∵    ∴

∴

∴ 曲線在點(diǎn)（2，4）處切線方程為，即

[例2] 物體的運(yùn)動(dòng)方程是，其中的單位是米，的單位是秒，求物體在時(shí)的瞬時(shí)速度及物體在一段時(shí)間內(nèi)相應(yīng)的平均速度。

解：∵     

∴ =

∴ ，即

∴

即在的一段時(shí)間內(nèi)平均速度為。

∴

即

∴ 物體在時(shí)的瞬時(shí)速度是。

[例3] 利用導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)。

解：

∴

∴

即    ∴ 函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為

[例4] 利用導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，并判斷在處是否可導(dǎo)？

解：當(dāng)時(shí)，可使

則

當(dāng)0時(shí)，同理可求

又 ∵

而

∴

∴ 在處不可導(dǎo)

[例5] 已知函數(shù)

（1）試確定的值，使在處連續(xù)，可導(dǎo)；

（2）求曲線在處的切線方程。

解：

（1）要使在處連續(xù)，則

，即

且

當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在處連續(xù)

若，則不存在。

故，則此時(shí)應(yīng)有，在處才可導(dǎo)。

（2）由（1）知，=1，而

∴ 曲線在處的切線方程為，即

[例6] 已知函數(shù)，判斷在處是否可導(dǎo)。

解：

∴     ∴ 不存在

即函數(shù)在處不可導(dǎo)。

[例7] 設(shè)函數(shù)在處可導(dǎo)，且，求。

解：

當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，

∴

=

[例8] 已知曲線上一點(diǎn)P（1，2），用導(dǎo)數(shù)定義求過點(diǎn)P的切線的傾斜角和方程。

解：①

② 求平均變化率

③ 取極限

     ∴

即切線的斜率     ∵     ∴

∵ 切線過點(diǎn)P（1，2），由直線方程的點(diǎn)斜式得即

∴ 過點(diǎn)P（1，2）的切線的傾斜角為，其方程為

[例9] 已知拋物線（），通過點(diǎn)（1，1），且在點(diǎn)（）處與直線相切，求的值。

解：由

因?yàn)楹瘮?shù)在點(diǎn)（）處與直線相切

∴    ①

又函數(shù)過點(diǎn)（1，1），（）

∴   ②

   ③

由①②③得

[例10] 證明：如果在開區(qū)間（）內(nèi)可導(dǎo)，那么在（）內(nèi)連續(xù)。

證明：任取

∵

  =

    ∴ 若在處可導(dǎo)，那么在處連續(xù)，由的任意性知，若在（）內(nèi)可導(dǎo)，則在（）內(nèi)連續(xù)

【模擬試題】

一. 選擇題：

1. 已知函數(shù)的圖象上一點(diǎn)（1，）及鄰近一點(diǎn)，則等于（    ）

    A. 4    B.     C.     D.

2. 已知曲線上一點(diǎn)P（1，），過點(diǎn)P的切線的傾斜角為（    ）

    A.     B.     C.     D.

3. 如果質(zhì)點(diǎn)按規(guī)律運(yùn)動(dòng)，則在時(shí)的瞬時(shí)速度為（    ）

    A. 3    B. 9    C.     D. 27

4. 曲線在點(diǎn)P（4，2）處的切線方程為（    ）

A.                   B.     

C.                 D.

5. 拋物線上何處的切線與直線的夾角是（    ）

    A.     B.     C.（1，1）    D. 與

6. 過點(diǎn)P（）且與曲線在點(diǎn)M（1，1）處的切線平行的直線方程是（    ）

A.            B.     

C.            D.

7. 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于（    ）

    A.     B.     C.     D.

8. 設(shè)，則等于（    ）

A.     B.     C.     D.

二. 解答題：

1. 已知函數(shù)，求。

2. 若一物體運(yùn)動(dòng)方程如下：，求此物體在和時(shí)的速度。

3. 若函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為A，求。

【試題答案】

一.

1. C

解析：，

∴

2. B

    解析：，∴ ，。

3. D

解析：∵

∴    ∴ =27

4. B

解析：

∴ 曲線在點(diǎn)P（4，2）處的切線方程為，即

5. D

解析：設(shè)切線斜率為，則，得或

又 ∵ ，令或，得或   ∴ 切點(diǎn)為與

6. B

解析：∵ ，∴ 所求直線的斜率為2

∴ 所求的直線方程為，即

7. A

    解析：∵    ∴

8. C

二.

1. 解：∵     

∴

∴

∴

∴

  2. 解：當(dāng)時(shí)， 

∴

當(dāng)時(shí)，

∴

∴ 物體在和時(shí)的瞬時(shí)速度分別是6和0。

  3. 解：∵

∴ （用替換）

∴