一、數(shù)學(xué)美的本質(zhì) 馬克思“勞動創(chuàng)造了美”的觀點明確提出了美源于實踐。實踐是溝通人與自然的橋梁，一方面改變了外部現(xiàn)實，消滅它的規(guī)定性，把握自然界使之為自己服務(wù)；另一方面又通過消滅外部世界某些規(guī)定性來獲得具有外部現(xiàn)實性的實在性，于是自然變成人化的自然，人成為人化的人，都成為對象性的存在。這就是通過實踐而構(gòu)建世界的圖畫，美源于其中，存在于人所創(chuàng)造的客觀圖畫中。數(shù)學(xué)美是客觀世界中固有規(guī)律的反映，是現(xiàn)實世界中數(shù)量關(guān)系和空間形式的程序性、統(tǒng)一性、規(guī)律性的呈現(xiàn)。原來以過程、動態(tài)形式存在的自然美，通過人類的生產(chǎn)實踐就抽象成為結(jié)果、靜態(tài)的數(shù)學(xué)理性美、冷峻美?？梢姅?shù)學(xué)美是對數(shù)學(xué)必然的認識和對世界的改造，數(shù)學(xué)美是數(shù)學(xué)創(chuàng)造的自由形式。任何一個數(shù)學(xué)公式、定理、結(jié)構(gòu)、體系等，要本質(zhì)上都具有真理性，都是人對自然規(guī)律的認識，這就呈現(xiàn)了自由。而同時，必然的認識成果作為指導(dǎo)實踐的工具使人能動地進行創(chuàng)造活動，使人從數(shù)學(xué)必然王國到達數(shù)學(xué)自由王國，從而再次獲得自由?？梢娙魏我淮螖?shù)學(xué)發(fā)明發(fā)現(xiàn)，任何一次數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)實踐都可以使人在實踐中獲得自由形式，這就是數(shù)學(xué)本質(zhì)所在。

二、數(shù)學(xué)美的形式 人們在對客觀事物觀念的認識過程中所具有的美感及在科學(xué)認識中具有審美價值的超感性對象稱為科學(xué)美。數(shù)學(xué)美顯然是一種科學(xué)美，它失去了美感的“具象性”，是一種抽象美，是超感覺的理性美、冷峻美。數(shù)學(xué)創(chuàng)造往往表現(xiàn)出簡單性、對稱性、統(tǒng)一性、諧調(diào)性、奇異性，因而，統(tǒng)一、諧調(diào)、對稱、簡潔、奇異及應(yīng)用是呈現(xiàn)數(shù)學(xué)美的主要形式。
  【統(tǒng)一美】統(tǒng)一美是指呈現(xiàn)于基礎(chǔ)上的統(tǒng)一、結(jié)構(gòu)上的統(tǒng)一、方法上的統(tǒng)一。
數(shù)量關(guān)系與空間形式是多種多樣的，因而反映在數(shù)學(xué)科學(xué)上就是各種不同的數(shù)學(xué)門類。每門數(shù)學(xué)都有自己的概念、符號、命題體系，概念、命題和方法相互交叉形成十分龐雜的數(shù)學(xué)體系，但它們卻有共同的基礎(chǔ)——集合論。比如幾何學(xué)，歐氏幾何已經(jīng)有二千多年的歷史，人們沒有懷疑它的真理性。而后來出現(xiàn)的羅氏幾何、黎曼幾何卻與歐氏幾何有明顯的矛盾.譬如關(guān)于三角形內(nèi)角和，歐氏幾何說是“等于π”,黎曼幾何卻說是“大于π”,羅氏幾何又說是“小于π”。再如關(guān)于平行公理，歐氏幾何說“平面上過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行”,羅氏幾何卻說“平面上過直線外一點至少能引兩條直線與已知直線不相交”,黎曼幾何卻說是“平面上過直線外一點作已知直線的平行線一條都沒有”。而后來凱萊(Cayleg)的射影測度出現(xiàn)后就解釋了非歐幾何學(xué)，實現(xiàn)了三大幾何學(xué)的統(tǒng)一。保證無窮遠直線不變的射影幾何學(xué)稱仿射幾何學(xué)；保證圓點不變（或偽球面上高斯曲率K=0）的仿射幾何學(xué)稱為歐氏幾何學(xué)；保證一條虛二次曲線不變（K> 0）的射影幾何學(xué)稱為黎曼幾何學(xué)；保證一條實二次曲線不變（K< 0）的射影幾何學(xué)稱為羅氏幾何學(xué)。十九世紀，斯坦納、馮斯滔已經(jīng)完全確定了由綜合法入手的射影幾何學(xué)，而后來，綜合法在應(yīng)用上受到一定的限制，于是人們又引入新的研究方法——代數(shù)公理法，亦通過公理體系規(guī)定代數(shù)運算,利用運算來處理幾何問題,一方面,人們想把通常的空間的射影幾何學(xué)，與代數(shù)結(jié)合在一起;另一方面,把射影幾何學(xué)，與格論結(jié)合在一起發(fā)展成為無窮維射影幾何學(xué)即連續(xù)幾何學(xué).此外還能把射影空間與測度空間結(jié)合在一起,把微分、張量分析與射影幾何學(xué)聯(lián)結(jié)在一起.但無論哪一種聯(lián)結(jié)方式;哪一種統(tǒng)一方法,其基礎(chǔ)都是集合觀念.
   17世紀出現(xiàn)各種各樣的幾何學(xué),1872年克來因才明確指出它們共同的基礎(chǔ) ——變換群.他指出:幾何學(xué)就是關(guān)于變換群下的不變式理論.拓樸學(xué)是關(guān)于射影變換群(一一映射且雙方連續(xù))的不變式理論;射影幾何學(xué)是關(guān)于射影變換群下不變式理論;仿射幾何學(xué)是仿射變換群下不變式理論,由于仿射變換群是射影變換群的子群,因而它保持射影性質(zhì)如交比、平行性不變;歐氏幾何學(xué)是正交變換群下不變式理論, 正交變換群是仿射變換群的子群,因此它保持仿射性質(zhì),而同時又有自己的不變性質(zhì):長度、角度、面積等.在正交變換群下有且只有三種幾何-----歐氏、羅氏、黎氏,這樣,克萊因用群的觀念把各種幾何學(xué)統(tǒng)一了起來.就“數(shù)”和“形”來說，直到16世紀，人們一直奉幾何學(xué)為正統(tǒng)，代數(shù)學(xué)從屬于幾何學(xué)。16世紀后代數(shù)研究才活躍起來，1637年笛卡爾創(chuàng)立了解析幾何，才把幾何學(xué)同代數(shù)學(xué)統(tǒng)一起來。
   除了統(tǒng)一基礎(chǔ)外，數(shù)學(xué)美還表現(xiàn)在結(jié)構(gòu)上的統(tǒng)一。數(shù)學(xué)中的一個集合的元素間的關(guān)系通常是用運算或變換聯(lián)系著，這樣集合就形成了結(jié)構(gòu)。比如整數(shù)集其元素通過加法構(gòu)成整數(shù)群，形成整數(shù)群結(jié)構(gòu)；其元素通過乘法又形成整數(shù)環(huán)結(jié)構(gòu)。不同的代數(shù)有不同運算群結(jié)構(gòu)，1935年布爾巴基學(xué)派提出用數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)統(tǒng)一數(shù)學(xué)的觀點，他們將數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)分為三類：代數(shù)結(jié)構(gòu)、序結(jié)構(gòu)和拓樸結(jié)構(gòu)。
另外，數(shù)學(xué)方法也是統(tǒng)一的，數(shù)學(xué)發(fā)展總是在機械化法與公理化法相結(jié)合的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的。
   在大統(tǒng)一中的各個子系統(tǒng)、各個分層分支存在統(tǒng)一，枚不勝舉。如圓錐曲線統(tǒng)一于極坐標方程—— ；立體幾何的體積公式統(tǒng)一于辛卜生公式；各種函數(shù)展開式統(tǒng)一于泰勒展開式等等。
   數(shù)學(xué)的統(tǒng)一美，給人以理性的超感覺的整體美、穩(wěn)定美、秩序美……使人自然而然形成審美趣味、審美理想，激發(fā)人們?nèi)ミM行數(shù)學(xué)審美創(chuàng)造。
   【諧調(diào)、對稱美】諧調(diào)對稱美本意是指部分與部分之間、整體與部分之間、整體與整體之間可以引起直觀快感的比例關(guān)系。純數(shù)學(xué)與實際應(yīng)用之間通過應(yīng)用數(shù)學(xué)構(gòu)成關(guān)系呈現(xiàn)一種諧調(diào)美，同構(gòu)、同態(tài)映射構(gòu)建、RMI模型構(gòu)建呈現(xiàn)一種諧調(diào)美,最突出當(dāng)一個整體的幾個部分或幾個整體在構(gòu)成上的比例為1時，即為對稱，它是諧調(diào)美的特例，給人以平衡感，從而作為審美對象給人以對稱的感覺。幾何的軸對稱、中心對稱、位似變換、相似變換,代數(shù)中的矩陣、二次型,空間中的向量及其運算等等無不體現(xiàn)了對稱美。圓是畢達哥拉斯學(xué)派最推崇的最美的圖形，從各個方面看都是對稱的，讓人感到十分舒適，具有完美的對稱性，其內(nèi)涵的意蘊更加動人心扉：她是太陽、是清晨的露珠、是愛人的眼睛……難怪有的學(xué)者稱之為“宇宙間第一等好詩”。對稱因易于適應(yīng)主體追求心理平衡及逆向思維的要求，因而它不僅能激發(fā)主體的美感，而且往往成為數(shù)學(xué)創(chuàng)造的一種契因。如射影幾何學(xué)的創(chuàng)立是數(shù)學(xué)家對歐氏幾何中對稱美因的審知過程中追求對稱美的直接結(jié)果；相對論從某種意義上說就是運用數(shù)學(xué)對稱的結(jié)果。
   【簡潔美】事物的簡潔性給人以簡捷、明快、準確精煉的美感，數(shù)學(xué)的簡潔美首先表現(xiàn)在語言的簡潔性上，特別是符號語言。數(shù)學(xué)基本概念、命題、公式、運算所呈現(xiàn)的簡潔性就是一種實在的數(shù)學(xué)美。二次函數(shù)形式十分簡單，它既可以描述自由落體運動規(guī)律，又可表達質(zhì)能轉(zhuǎn)化規(guī)律，還可以計算圓的面積……其圖像可描述小石子的拋體運動，也可刻畫行星的運行軌道……它是一首包容萬物的小詩！阿拉伯?dāng)?shù)字的簡潔性習(xí)慣得讓人遺忘，我國辛亥革命前的記數(shù)符號是一、二、三、四……，常數(shù)則用甲、乙、丙、丁……表示，使用起來極不方便，幾乎毫無操作性可言,真是太遺撼!在記數(shù)方面，中國人沒有像用紙代替竹簡、用毛筆代替羽毛筆那樣的簡潔實用的發(fā)明。從某種意義上可以說：正是由于這種記數(shù)法，才阻礙了中國數(shù)學(xué)的進一步發(fā)展，而讓西方人在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中取得了重大突破而誘發(fā)了工業(yè)革命。的例子是黃金分割。美學(xué)家柴辛將其導(dǎo)入美學(xué)，認為事物具有這個關(guān)系時最美，這是“上帝賜給的比例”。珠算的發(fā)明將數(shù)學(xué)的簡潔美推向高潮，珠算的進行過程是聲情并茂的藝術(shù)呈現(xiàn)過程。歐拉公式中當(dāng)θ=π時，有 ,這個十分簡潔的等式中卻含五個十分重要的常數(shù)：0、1來自算術(shù)；1是實數(shù)單位；i是虛數(shù)單位。1來自代數(shù)，π來自幾何，e來自分析……這五個常數(shù)滲透數(shù)學(xué)各個領(lǐng)域，至今尚未被人類參悟透徹。它們?nèi)绱似婷睢⒑啙嵉貐R聚在一起，表現(xiàn)出如此神秘、自然、和諧,使人獲得一種強烈的美感！數(shù)學(xué)中各種各樣的符號——邏輯的、集合的、代數(shù)的、幾何的、函數(shù)的、拓樸的、分析的……無一不是簡潔、準確地表述了數(shù)學(xué)概念，呈現(xiàn)出數(shù)學(xué)的簡潔美。歐氏幾何僅使用了幾個公理就構(gòu)建出如此

偉岸的體系,算術(shù)公理系統(tǒng)只用了三個基本概念便刻畫整個算術(shù)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)。簡潔是數(shù)學(xué)的生命，是數(shù)學(xué)呈現(xiàn)美的一種主要形式。

【奇異美】奇異既是超常規(guī)和預(yù)料。數(shù)學(xué)中的奇異性常常是打破已有的數(shù)學(xué)統(tǒng)一性而出現(xiàn)的一種認識上的飛躍，這種新的認識又意味著在更高層次上的統(tǒng)一與和諧。古希臘時期，正方形邊長與對角線的不可公度性發(fā)現(xiàn)是何等奇異？它直接導(dǎo)致了畢達哥拉斯學(xué)派“萬物皆數(shù)”大廈的傾覆，引起了人們對無理數(shù)的研究和公理幾何學(xué)的誕生。而“伽利略悖論”的離奇出現(xiàn)，激勵了康托爾畢生研究超無窮集合并建立了超窮數(shù)理論。希爾伯特曾稱贊康托爾的超窮數(shù)理論是“數(shù)學(xué)思想最驚人的產(chǎn)物，在純理性范疇中人類活動最美的表現(xiàn)之一”。而神奇的“羅素悖論”所掀起的第三次數(shù)學(xué)危機，至今仍讓人們?nèi)绨V如醉地探求！數(shù)學(xué)的奇異性在數(shù)學(xué)各個層面、各個角度都有體現(xiàn)；同樣也體現(xiàn)在自然界、社會、經(jīng)濟等領(lǐng)域中。阿基米德依力矩原理居然“稱出”球的體積公式；中國的七巧板可奇妙地拼出千變?nèi)f化的圖案，其中許多數(shù)學(xué)問題至今未被人揭開。蜂房是由許許多多正六棱柱一個挨一個緊密地排列著，每一個棱柱底面是由三個全等菱形拼成的，每個菱形的鈍角為109028’,而這種結(jié)構(gòu)使得蜂房體積最大且建筑材料最節(jié)??；而鉆石的結(jié)構(gòu)中也選擇了109028，這種選擇使鉆石最硬。自然界中的這些數(shù)學(xué)選擇是多么奇妙！而一個簡單的π幾乎是數(shù)學(xué)的靈魂。奇妙的河圖洛書也許會引發(fā)新一輪的數(shù)學(xué)革命?！昂０毒€問題”、“科和雪花”、“孟格爾海綿”、“塞爾斯基片”反映一個共同的問題：在有限空間中有無窮長的線！這種奇妙結(jié)果出現(xiàn)，導(dǎo)致人們對混沌無序的認識上突破，出現(xiàn)了年輕的幾何學(xué)——分形幾何學(xué)，許多好萊塢大片的宏大壯麗的場面就是其直接應(yīng)用的結(jié)果。而單、雙葉曲面居然可由一簇直線構(gòu)成，這簡直是上帝的手筆！數(shù)學(xué)奇妙，奇妙得讓人叫絕！
【應(yīng)用美】數(shù)學(xué)是原級科學(xué)，數(shù)學(xué)發(fā)展總是為了解決實際問題的。數(shù)學(xué)應(yīng)用美實際上是數(shù)學(xué)奇異美的一種。數(shù)學(xué)運用枚不勝舉，沒有數(shù)學(xué)就沒有科學(xué)的進步、沒有社會的發(fā)展。數(shù)學(xué)在物理、化學(xué)、醫(yī)學(xué)、地理學(xué)、天文學(xué)、生物學(xué)、工程學(xué)等學(xué)科領(lǐng)域中都起著舉足輕重的作用。在物理學(xué)發(fā)展史上，一般困難在于數(shù)學(xué)方法的不足。牛頓為了解決物理問題而創(chuàng)立了微積分。而相對論的困難在于物理思想，歐氏幾何被愛因期坦引入而創(chuàng)立了狹義相對論；高斯-黎曼幾何、張量分析被愛因斯坦離奇導(dǎo)入從而創(chuàng)立了廣義相對論。奇就奇在這些數(shù)學(xué)工具竟解決了物理思想問題。拉登變換公式在CT理論中神奇應(yīng)用，引發(fā)了20世紀的醫(yī)學(xué)革命！另外諸如圓錐曲線在天體中的運用,拓樸學(xué)在經(jīng)濟中的運用,運籌學(xué)在工程學(xué)中的應(yīng)用等等無不充滿神奇、充滿魅力！數(shù)學(xué)統(tǒng)一、諧調(diào)、對稱、奇異及應(yīng)用美，說明了數(shù)學(xué)在客體中存在數(shù)學(xué)美基礎(chǔ)，經(jīng)主體審美創(chuàng)造活動過程呈現(xiàn)出來，極大地激勵著人類征服、改造自然。然而，對數(shù)學(xué)美的判斷不僅要著眼于數(shù)學(xué)對象本身的品性，還要考慮到主體的思想文化修養(yǎng)、美感品性及審美能力，因為數(shù)學(xué)美畢竟是理性美、科學(xué)美，下面我就談?wù)剶?shù)學(xué)美育。

三、數(shù)學(xué)美育 美育即是審美教育,數(shù)學(xué)美育是把數(shù)學(xué)作為審美對象，通過數(shù)學(xué)教學(xué)形成美感，經(jīng)過審美體驗形成審美意識、審美理想、審美意志，從而自覺地進行相應(yīng)的審美活動。數(shù)學(xué)美育主要反映在數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)教學(xué)過程是數(shù)學(xué)美因呈現(xiàn)過程和數(shù)學(xué)審美創(chuàng)造過程。而學(xué)生不是數(shù)學(xué)家，很難體會數(shù)學(xué)這種理性美，因此教師在講授數(shù)學(xué)知識時要善于表現(xiàn)數(shù)學(xué)美，盡可能展現(xiàn)最好又是感性展現(xiàn)數(shù)學(xué)美的各種形式，將數(shù)學(xué)美與學(xué)生已經(jīng)具有的美感進行類比，從而讓學(xué)生形成美感。沒有表現(xiàn)出數(shù)學(xué)美，審美情感和審美意識就失去了基礎(chǔ)。教師也只有充分顯示出數(shù)學(xué)美才能啟迪學(xué)生將數(shù)學(xué)作為審美對象；才能將數(shù)學(xué)技能技巧作為審美價值表現(xiàn)；才能提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。教師除了要善于呈現(xiàn)數(shù)學(xué)美之外，還要把教學(xué)這種活動作為科學(xué)活動的同時作為審美對象，這就是數(shù)學(xué)的教學(xué)美。通過教師帶有審美價值的技能技巧；通過教師審美創(chuàng)造活動，使學(xué)生獲得知識形成能力的同時得到美的享受。因而教學(xué)也是藝術(shù)。對于教學(xué)的藝術(shù)美，我認為有如下幾種實現(xiàn)方式：
1.模仿方式   古希臘對藝術(shù)的主要做法就是模仿，而數(shù)學(xué)教學(xué)藝術(shù)中模仿無疑很重要。繪聲繪色模仿給人以直觀、給人以輕松，這不僅僅是對形象思維占主導(dǎo)的學(xué)生實用，對抽象、辨證思維占主導(dǎo)的學(xué)生照樣有較強的實用性，特別是模仿第一發(fā)現(xiàn)者的思辨過程，會激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

2.移情方式  移情即是感情移入，把自己“感”到審美對象中去。移情的關(guān)健在于教師能運用恰當(dāng)方式與學(xué)生既定的美感進行類比?！爸本€給人剛毅”、“曲線使人溫柔”、“圓讓人完滿”、“極限讓生命永恒” ……數(shù)學(xué)符號是音符，數(shù)學(xué)語言是旋律。流暢的證明是歡快的小溪，解難之后是“山到絕頂我為峰”的偉岸！一名優(yōu)秀的教師無疑是移情手法大師。
3.現(xiàn)實主義方式與批判現(xiàn)實主義方式   數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)畢竟是對“真”的追求，在教學(xué)中直觀現(xiàn)實地呈現(xiàn)細節(jié)、環(huán)境、過程等本來就是數(shù)學(xué)教學(xué)的基本要求。但現(xiàn)實主義方式不是呆板枯燥呈現(xiàn)，也有其高超的藝術(shù)手法，是在呈現(xiàn)一幅幅淡雅的山水畫——“一去二三里/煙村四五家/樓臺六七座/八九十枝花”。而數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)同時要有批判精神，不能人云亦云，總要問一問為什么。為什么要這樣下定義？為什么要這樣表達？為什么要如此證明？批判的過程往往會揭示出概念的必要性和合理性，從另一個側(cè)面再現(xiàn)數(shù)學(xué)美，“橫看成嶺側(cè)成峰”，往往使學(xué)生把握了數(shù)學(xué)知識的形成過程，提高自身的數(shù)學(xué)能力，“只緣身在此山中”。
   數(shù)學(xué)是一門同人民大眾貼得很近的學(xué)科，它所討論的宇宙，遠比現(xiàn)實的所謂宇宙宏偉雄大。通常所說的宇宙只是三維空間，而數(shù)學(xué)則建立起了四維、五維乃至n維空間，并且，集合論的超限數(shù)的空間，遠遠超過了通常無窮大的空間，它們都遠比我們現(xiàn)實的宇宙更具有莊嚴美、雄偉美。數(shù)學(xué)是一座遠遠地超越了我們想象的華麗宮殿，站在這個無比莊嚴、宏偉的宇宙中的數(shù)學(xué)家們，以崇敬贊嘆的目光遠眺著它的壯觀、美妙。那些能夠感受到這種數(shù)學(xué)美、宇宙美的人，是被愛因斯坦稱的“有宇宙宗教性的人”。數(shù)學(xué)既有豐富深刻的思想內(nèi)涵,又有和諧、簡潔、奇異的美的形式和包容宇宙萬物的氣勢——這是詩的意境、音樂的韻律、繪畫雕刻凝固的永恒！這是所有不同藝術(shù)共同歸宿。數(shù)學(xué)符號、公式、法則、定理都給人極大享受的數(shù)學(xué)詩、數(shù)學(xué)畫、數(shù)學(xué)音樂……它以簡潔和諧形式反映了宇宙中的深邃美，造成了莊嚴、永恒的意境，給人留下無邊無垠的遐想……這是一種崇高的思辯美。數(shù)學(xué)符號、命題及體系只不過是其載體，體驗它為能靠感官而要靠心智，它是合規(guī)律合目的的統(tǒng)一，借助于自由形式表現(xiàn)出來來.

(作者:湖北恩施清江外國語學(xué)校  天成)