轉(zhuǎn)動慣量（Moment of Inertia）

內(nèi)容：一。概念性介紹（或稱質(zhì)量慣矩？注意與截面慣性矩區(qū)別）

（轉(zhuǎn)動慣量定理：扭矩 M=Jβ，J是轉(zhuǎn)動慣量，β是角加速度）

          二．各種截面形式的公式詳表

          三．網(wǎng)友推導(dǎo)的矩形截面轉(zhuǎn)動慣量公式

一．概念性介紹轉(zhuǎn)動慣量（Moment of Inertia）

本段摘自百度百科http://baike.baidu.com/view/110433.htm

剛體繞軸轉(zhuǎn)動慣性的度量。又稱慣性距、慣性矩（俗稱慣性力距、慣性力矩）

　　其數(shù)值為J=∑ mi*ri^2，式中mi表示剛體的某個質(zhì)點的質(zhì)量，ri表示該質(zhì)點到轉(zhuǎn)軸的垂直距離。

　　求和號（或積分號）遍及整個剛體。轉(zhuǎn)動慣量只決定于剛體的形狀、質(zhì)量分布和轉(zhuǎn)軸的位置，而同剛體繞軸的轉(zhuǎn)動狀態(tài)（如角速度的大小）無關(guān)。規(guī)則形狀的均質(zhì)剛體，其轉(zhuǎn)動慣量可直接計得。不規(guī)則剛體或非均質(zhì)剛體的轉(zhuǎn)動慣量，一般用實驗法測定。轉(zhuǎn)動慣量應(yīng)用于剛體各種運(yùn)動的動力學(xué)計算中。

　　描述剛體繞互相平行諸轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量之間的關(guān)系，有如下的平行軸定理^[1]：剛體對一軸的轉(zhuǎn)動慣量，等于該剛體對同此軸平行并通過質(zhì)心之軸的轉(zhuǎn)動慣量加上該剛體的質(zhì)量同兩軸間距離平方的乘積。由于和式的第二項恒大于零，因此剛體繞過質(zhì)量中心之軸的轉(zhuǎn)動慣量是繞該束平行軸諸轉(zhuǎn)動慣量中的最小者。

　　還有垂直軸定理：垂直軸定理

　　一個平面剛體薄板對于垂直它的平面軸的轉(zhuǎn)動慣量，等于繞平面內(nèi)與垂直軸相交的任意兩正交軸的轉(zhuǎn)動慣量之和。

　　表達(dá)式:Iz=Ix+Iy

　　剛體對一軸的轉(zhuǎn)動慣量，可折算成質(zhì)量等于剛體質(zhì)量的單個質(zhì)點對該軸所形成的轉(zhuǎn)動慣量。由此折算所得的質(zhì)點到轉(zhuǎn)軸的距離 ，稱為剛體繞該軸的回轉(zhuǎn)半徑κ，（tina：回轉(zhuǎn)半徑=根號下I除以m），式中M為剛體質(zhì)量；I為轉(zhuǎn)動慣量。

　　轉(zhuǎn)動慣量的量綱為L^2M，在SI單位制中，它的單位是kg·m^2。

　　剛體繞某一點轉(zhuǎn)動的慣性由更普遍的慣量張量描述。慣量張量是二階對稱張量，它完整地刻畫出剛體繞通過該點任一軸的轉(zhuǎn)動慣量的大小。

　　補(bǔ)充對轉(zhuǎn)動慣量的詳細(xì)解釋及其物理意義：

　　先說轉(zhuǎn)動慣量的由來，先從動能說起大家都知道動能E=(1/2)mv^2，而且動能的實際物理意義是：物體相對某個系統(tǒng)（選定一個參考系）運(yùn)動的實際能量，（P勢能實際意義則是物體相對某個系統(tǒng)運(yùn)動的可能轉(zhuǎn)化為運(yùn)動的實際能量的大小）。

　　E=(1/2)mv^2 （v^2為v的2次方）

　　把v=wr代入上式 (w是角速度,r是半徑，在這里對任何物體來說是把物體微分化分為無數(shù)個質(zhì)點，質(zhì)點與運(yùn)動整體的重心的距離為r,而再把不同質(zhì)點積分化得到實際等效的r)

　　得到E=(1/2)m(wr)^2

　　由于某一個對象物體在運(yùn)動當(dāng)中的本身屬性m和r都是不變的，所以把關(guān)于m、r的變量用一個變量K代替,

　　K=mr^2

　　得到E=(1/2)Kw^2

　　K就是轉(zhuǎn)動慣量，分析實際情況中的作用相當(dāng)于牛頓運(yùn)動平動分析中的質(zhì)量的作用，都是一般不輕易變的量。

　　這樣分析一個轉(zhuǎn)動問題就可以用能量的角度分析了，而不必拘泥于只從純運(yùn)動角度分析轉(zhuǎn)動問題。

　　為什么變換一下公式就可以從能量角度分析轉(zhuǎn)動問題呢？

　　1、E=(1/2)Kw^2本身代表研究對象的運(yùn)動能量

　　2、之所以用E=(1/2)mv^2不好分析轉(zhuǎn)動物體的問題，是因為其中不包含轉(zhuǎn)動物體的任何轉(zhuǎn)動信息。

　　3、E=(1/2)mv^2除了不包含轉(zhuǎn)動信息，而且還不包含體現(xiàn)局部運(yùn)動的信息，因為里面的速度v只代表那個物體的質(zhì)

　　心運(yùn)動情況。

　　4、E=(1/2)Kw^2之所以利于分析，是因為包含了一個物體的所有轉(zhuǎn)動信息，因為轉(zhuǎn)動慣量K=mr^2本身就是一種積

　　分得到的數(shù)，更細(xì)一些講就是綜合了轉(zhuǎn)動物體的轉(zhuǎn)動不變的信息的等效結(jié)果K=∑ mr^2 （這里的K和上樓的J一樣）

　　所以，就是因為發(fā)現(xiàn)了轉(zhuǎn)動慣量，從能量的角度分析轉(zhuǎn)動問題，就有了價值。

　　若剛體的質(zhì)量是連續(xù)分布的，則轉(zhuǎn)動慣量的計算公式可寫成K=∑ mr^2=∫r^2dm=∫r^2σdV

　　其中dV表示dm的體積元，σ表示該處的密度，r表示該體積元到轉(zhuǎn)軸的距離。

　　補(bǔ)充轉(zhuǎn)動慣量的計算公式（下有公式詳表）

　　轉(zhuǎn)動慣量和質(zhì)量一樣，是回轉(zhuǎn)物體保持其勻速圓周運(yùn)動或靜止的特性，用字母J表示。

　　對于桿：

　　當(dāng)回轉(zhuǎn)軸過桿的中點并垂直于軸時；J=mL^2/12

　　其中m是桿的質(zhì)量，L是桿的長度。

　　當(dāng)回轉(zhuǎn)軸過桿的端點并垂直于軸時：J=mL^2/3

　　其中m是桿的質(zhì)量，L是桿的長度。

　　對與圓柱體：

　　當(dāng)回轉(zhuǎn)軸是圓柱體軸線時；J=mr^2/2

　　其中m是圓柱體的質(zhì)量，r是圓柱體的半徑。

　　轉(zhuǎn)動慣量定理：扭矩 M=Jβ

　　J是轉(zhuǎn)動慣量

β是角加速度

天涯問答中的解釋：轉(zhuǎn)動慣量等于剛體中每個質(zhì)點的質(zhì)量與這一質(zhì)點到轉(zhuǎn)軸垂直距離平方的乘積之和,即I=Σmir1。是轉(zhuǎn)動剛體轉(zhuǎn)動慣性的量度。由轉(zhuǎn)動定理Izα=Mz可知,受到相同外力矩作用的兩個剛體,轉(zhuǎn)動慣量大的會獲得較小的角加速度,說明這個剛體較之另一剛體運(yùn)動狀態(tài)較難改變,轉(zhuǎn)動慣性比較大。它可以反映出物體平動狀態(tài)下的慣性：質(zhì)量越大，則慣性越大，即越難改變它的平動狀態(tài)（同樣從靜止開始，質(zhì)量大的物體比質(zhì)量小的物體更難于被加速）。
同樣，轉(zhuǎn)動慣量反映出物體轉(zhuǎn)動狀態(tài)下的慣性：轉(zhuǎn)動慣量大的物體的角速度更難于被改變。
當(dāng)然，轉(zhuǎn)動慣量與質(zhì)量也有很大不同：轉(zhuǎn)動慣量不僅與質(zhì)量分布有關(guān)，也與轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)，也就是說，轉(zhuǎn)動慣量的要求更多一些。

二．各種截面形式的公式詳表

以下公式摘自：http://zh./zh-hans/%E8%BD%89%E5%8B%95%E6%85%A3%E9%87%8F%E5%88%97%E8%A1%A8

三．公式推導(dǎo)

矩形截面：

令現(xiàn)在有一個質(zhì)量分布均勻的矩形剛體，其長寬分別為a，b質(zhì)量為m，其質(zhì)心在這個矩形的幾何中心
先假定一個軸過質(zhì)心，矩形繞過質(zhì)心的軸轉(zhuǎn)動
以質(zhì)心為坐標(biāo)原點建立坐標(biāo)系x-y，x軸平行與長。
根據(jù)轉(zhuǎn)動慣量計算公式
J=積分（p^2*dm）..............（1）
其中積分的上下屆分別為，x從-a/2到a/2，y從-b/2到b/2 p為某點到質(zhì)心的距離
p=二次根號（x^2+y^2）.......（2）
dm=m/(a*b)*dxdy......（3）
把(2),(3)帶入（1）并求出積分可以得到，剛體繞過質(zhì)心的軸的轉(zhuǎn)動慣量為
J=(1/12)*m*(a^2+b^2)

如果求的是繞一個角點轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動慣量
由平行軸定理可以得到，令剛體繞一個角點的轉(zhuǎn)動慣量為J0
那么，J0＝J+m*d^2...........（5）
其中J為繞過質(zhì)心的軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動慣量，d為繞角點的軸與繞質(zhì)心的軸這兩個軸的距離d=0.5*二次根號（a^2+b^2）
解答（5）可以得到
J0=(1/3)*m*(a^2+b^2)

圓柱截面：

可以看作是一個圓盤的轉(zhuǎn)動慣量。用D=m/A表示面密度，對圓柱來說D=m/(pi*r^2)，dA=2pi*rdr

在距離盤心r處取一寬為dr的圓環(huán)，它的質(zhì)量dm=m/(pi*r^2)* 2pi*rdr 然后代入 J=∫r^2dm 從0到r積分，得到J=1/2mr^2 （——tina：怎么看算出來都少了1/2的系數(shù)，不明白?。?/span>