初中幾何基本知識匯總

一、線和角

1、線段、射線、直線（略）

① 過二點有且只有一條直線。

②所有連接二點的線中，線段最短，叫二點間的距離。

2、同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角（略）

3、互為補角（兩角的和是一個平角），互為余角（兩角的和為直角）。

① 同角或等角的補角相等。

②同角或等角的余角相等。

4、平行線：

① 平行公理：經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行。

② 推論：兩條直線都和弟三條直線平行，則兩直線平行

性質

①兩直線平行，同位角相等

②兩直線平行，內(nèi)錯角相等

③兩直線平行，同旁內(nèi)角互補

判定：

①公理：同位角相等，兩直線平行

②內(nèi)錯角相等，兩直線平行

③同旁內(nèi)角互補，兩直線平行

5、線段的垂直平分：①定理：線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等

②逆定理：到線段兩個端點的距離相等的點在線段的垂直平分線上。

6、對稱軸：定理1：關于某條直線對稱的兩個圖形是全等形

定理2：如果兩個圖形關于某直線對稱，那么對稱軸是對應點連線的垂直平分線

定理3：兩個圖形關于某直線對稱，如果它們的對應線段或延長線相交，那么交點在對稱軸上。

二、三角形、四邊形、多邊形

6、三角形的內(nèi)角和、外角、中線、中位線、高

①三角形三個角平分線交于一點：內(nèi)心（該點到三角形三邊距離相等）

②三條邊的垂直平分線相交于一點：外心（該點到三角形三個頂點的距離相等）

③三角形中線相交于一點：重心（這點到頂點的距離是它到對邊中點距離的兩倍）

④三角形三條高交于一點：垂心

7、三角形兩邊之和大于弟三邊，兩邊之差小于弟三邊

8、三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角和，大于和它不相鄰的恣意內(nèi)角。

9、三角形的判定：①邊角邊（SAS） ②角邊角（ASA） ③邊邊邊（SSS） ④斜邊直角邊公理（HL）

10、角平分線

定理1：在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等

定理2：到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上。

11、等腰三角形：

⑴性質定理：等邊對等角（兩底角相等）

①推論1：等腰三角形頂角的平分線平分底邊且垂直底邊。

（三線合一）

②推論2：等邊三角形各角相等，均為600

⑵判定定理：兩底角相等的三角形是等腰三角形

⑶在Rt△中，300角所對的邊是斜邊的一半

①在直角三角形中，斜邊的中線等于斜邊的一半

②過三角形一邊中點且平行于弟二邊的直線必過弟三邊中點

12、勾股定理；a2+b2=c2(此定理可逆，適合此條件的是直角三角形)

13、圖形的平移：

⑴概念：圖形沿著一定的方向平行移動。圖形的平移由移動的方向和距離決定。

⑵平移是物體、圖形的平行移動，運動過程中，物體、圖形的形狀、大小都不會發(fā)生改變。

⑶平移的特征：

①平移后，圖形中的每一個點沿著同一方向移動同一距離。

②平移后，對應線段平行且相等。

③平移后，對應角相等。

④平移后，對應點的連線相互平行或在同一條直線上

14、幾何證明初步

⑴定義：用來說明一個名詞的語句。定義一方面可以作為性質使用，另一方面又可以作為判定的方法。

例：說出下列名詞的定義：①兩點之間的距離，②全等三角形，③一元一次方程，④兩條平行線間的距離

⑵命題：

①定義：判斷一件事情的句子叫命題。

②判斷一個語句是否為命題要抓住兩條：命題通常是一個陳述句，包括肯定句和否定句，而疑問句和命令性語句都不是命題；必須對某件事情做出肯定或否定的判斷，二者必居其一。

③命題的組成：由題設、結論組成。模式：如果……那么……

④真命題、假命題：（略）要判斷一個命題是真命題，可以通過實驗的方式，也可通過推理的方式；要判斷一個命題是假命題，只要舉一反例即可。

⑶互逆命題：

㈠如果弟一個命題的題設是弟二個命題的結論，弟一個命題的結論是弟二個命題的題設，這兩個命題叫互逆命題。（其中一個叫原命題，另一個叫逆命題）

㈡任何一個命題都有它的逆命題，但逆命題不一定是真命題。

⑷互逆定理：

㈠一個定理的逆命題經(jīng)過證明是真命題，那么它也是一個定理，這兩個定理叫做互逆定理，一個叫另一個的逆定理。

㈡從逆定理定義上不難看出，逆定理一定是真命題。

⑸公理和定理

①公理：

㈠作為判定其他命題真假的根據(jù)的真命題叫做公理。即有些真命題是通過長期實踐總結出來，被大家所公認，并且作為證實其他命題的起始依據(jù)，這樣的真命題叫公理

⑵耙們學過的公理，如：兩點確定一條直線；平行公理；兩直線平行同位角相等；同位角相等，兩直線平行；ASA SAS SSS ;全等三角形的對應邊相等等

②定理：

㈠其正確性是用推理證實的真命題叫定理。即我們把由已知條件、定義、公理或已經(jīng)證實了的真命題出發(fā)，通過推理的方法得到證實的真命題叫公理。

㈡定理可作為判定其他命題真假的依據(jù)；

⑹證明：命題的真實性都需要通過推理的方法證實，推理的過程叫證明。

15、圖形的旋轉：

⑴旋轉：如果平面內(nèi)的點繞著某點O按順時針或逆時針轉動一定的角度，這種點的移動稱為旋轉，點O就是旋轉中心。

⑵圖形的旋轉是由旋轉中心和旋轉的角度所決定。

⑶旋轉角：和旋轉中心相連的對應線段的夾角。

⑷旋轉中心是旋轉變換的唯一不動點，反之，若有一點在旋轉中保持不變，則必為旋轉中心

⑸圖形旋轉的特征：圖形中每一點都繞著旋轉中心旋轉了同樣大小的角度；對應點到旋轉中心的距離相等；對應線段相等；對應角相等；圖形的形狀和大小都沒有發(fā)生改變。

⑹作旋轉后的圖形，關鍵在于找準對應點，利用圖形旋轉的特征來作。

⑺旋轉對稱圖形：

①圖形繞著一點旋轉一定的角度后，能與自身重合，這樣的圖形稱為旋轉對稱圖形。

②注意旋轉對稱圖形與旋轉對稱的聯(lián)系和區(qū)別：前者就一個圖形而言，后者就兩個圖形而言。

⑻中心對稱：

①中心對稱：將一個圖形繞著一個點旋轉1800后，與另一個圖形重合，我們稱這兩個圖形關于這個點成中心對稱。這個點叫對稱中心。

②中心對稱圖形：將一個圖形繞著中心點旋轉1800后能與自身重合，我們把這種圖形叫做中心對稱圖形。這個中心點叫對稱中心。

③中心對稱指的是兩個圖形的位置關系；而中心對稱圖形指的是一種具有特殊性質的圖形。

④中心對稱圖形是特殊的旋轉對稱圖形。

⑤中心對稱的特征：在成中心對稱的兩個圖形中，連接對稱點的線段都經(jīng)過對稱中心，并且被對稱中心平分。

⑥中心對稱的識別：如果兩個圖形的對應點連成的線段都經(jīng)過某一點，并且都被該點平分，那么這兩個圖形一定關于這個點成中心對稱。

⑼、㈠定理 ：①關于中心對稱的兩個圖形是全等形

②關于中心對稱的兩個圖形對稱點連線都通過對稱中心，并且被對稱中心平分

㈡逆定理：如果兩個圖形的對稱點連線都經(jīng)過某一點，并且被這點平分，那么這兩個圖形關于這點對稱

16、四邊形

⑴凸多邊形內(nèi)角和定理：n邊形內(nèi)角和等于（n-2）×1800

⑵恣意凸多邊形外角和定理：均為3600

⑶從凸n邊形一個角引的對角線條數(shù)：n-3

⑷凸n邊形對角線總條數(shù)：n(n-3)/2

⑸平面內(nèi)有n個點（每三點不共線），最多能確定的直線的條數(shù)：n(n-1)÷2

能確定的圓的個數(shù)：n(n-1)(n-2) ÷6

17、平行四邊形定義：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形。

18、平行四邊形性質：

①平行四邊形是中心對稱圖形，對角線的交點是它的對稱中心。

②平行四邊形的對邊平行且相等。

③平行四邊形對角線互相平分。

④平行四邊形的對角相等、鄰角互補。

19、兩條平行線間的距離

⑴定義：兩條平行線中，一條直線上恣意一點到另一條直線的距離，叫做這兩條平行線間的距離。

⑵兩平行線間的距離處處相等

20、平行四邊形的判定：

①兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形。

②兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形。

③對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。

④一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形

⑤兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形

21、矩形：

⑴定義：一個內(nèi)角是直角的平行四邊形

⑵性質：

⒆肋有平行四邊形的一切性質，

②四角是直角，

③對角線相等

④矩形既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形（有兩條對稱軸）

22、菱形：

⑴定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形

⑵菱形的性質：

⒆肋有平行四邊形的一切性質，

②四條邊相等，

③對角線相互垂直、每一條對角線平分一組內(nèi)對角

④菱形既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形

⑶菱形的面積計算：底×高 或者：兩條對角線乘積的一半

23、正方形：

⑴定義：①有一個角是直角的菱形

②有一組鄰邊相等的矩形

⑵性質：

⒆肋有平行四邊形的性質，

②邊：四條邊相等，鄰邊垂直，對邊平行。

③角：四角是直角，

④對角線：相等、相互垂直平分、每條對角線平分一組內(nèi)角

⑤是軸對稱圖形，有四條對稱軸；又是中心對稱圖形

⑺梯形：①定義：一組對邊平行，另一組對邊不平行的四邊形

②等腰梯形性質定理：等腰梯形在同一底上的兩個角相等

③等腰梯形判定：同一底上兩角相等的是等腰梯形

④平行線等分線段定理：如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其它直線上截得的線段也相等

推論1：經(jīng)過梯形一腰的中點與底平行的直線必平分另一腰

推論2：經(jīng)過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線必平分弟三邊。

①三角形中位線定理：平行弟三邊且等于弟三邊的一半

②梯形中位線定理：梯形的中位線平行兩底且等于兩底和的一半

三、相似形：

24、 ① 比例線段 a:b a稱前項 b稱后項

②a:b =c:d 比例的項 比例外項 比例內(nèi)項 弟四比例項（略）

③ 比例的基本性質：a:b=c:d 則 ad=bc （可逆）

a:b=b:c 則 b2=ac （b稱為ac的比例中項）

④和比性質：若a:b=c:d則 (a+b)/b=(c+d)/d

⑤等比性質：若a/b=c/d=……=m/n 則(a+c+…+m)/(b+d+…+n)=a/b

⑥黃金分割：把線段AB分成兩段AC、BC（AC＞BC），使AC2=AB×BC，叫把線段AB黃金分割， C點叫AB的黃金分割點

25、⑴平行線分線段成比例定理

三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例。

⑵推論：平行于三角形一邊的直線截其它兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應線段成比例。

⑶定理：如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應線段成比例

四、相似三角形

26、定理1：平行于三角形一邊的直線和其它兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構成的三角形和原三角形相似

定理2：射影定理：Rt△ABC斜邊的高為CD，則①AC2=AD×AB

②BC2=BD×AB ③CD2=AD×BD

27、相似三角形的性質

性質1、相似三角形對應高的比、對應中線的比和對應角平分線的比都等于相似比

性質2、相似三角形周長的比等于相似比。

性質3、相似三角形面積的比等于相似比的平方。

28、相似三角形的判定

定理1：兩角對應相等的兩個三角形相似。

定理2：兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似。

定理3：三邊對應成比例的兩個三角形相似。

定理4：如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個三角形的斜邊和直角邊對應成比例，則兩三角形相似。

29、 ⑴射影定理：如圖

則：AC2=AD·AB

BC2=BD·BA

DC2=AD·DB

30、解直角三角形

⑴特殊角的三角函數(shù)值(請同學們在下表中填上正確的數(shù)值)

00

300

450

600

900

sinA

0

1

cosA

1

0

tanA

0

不存在

cotA

不存在

0

⑵三角函數(shù)公式：

①定義公式（略）

②tanA=sinA/cosA cotA=cosA/sinA

③tanA·cotA=1

④sin2A + cos2A = 1

⑤sin(900-A)=cosA

⑥cos(900-A)=sinA

⑦tan(900-A)=cotA

⑧cot(900-A)=tanA

五、圓：

31、圓的定義：到定點的距離等于定長的點的集合。

① 圓的內(nèi)部可以看作是到圓心的距離小于半徑的點的集合。

② 圓的外部可以看作是到圓心的距離大于半徑的點的集合。

32、弦：連接圓上恣意兩點的半徑

半圓：圓的恣意一條直徑的兩個端點分圓成兩條弧，每條弧都叫做半圓。

優(yōu)?。捍笥诎雸A的弧。

劣?。盒∮诎雸A的弧。

弓形：由弦及所對的弧組成的圖形。

等圓：能夠重合的兩個圓。

等弧：在同圓和等圓中，能夠重合的兩弧。

33、點的軌跡：

⑴到定點的距離等于定長的點的軌跡，是以定點為圓心，以定長為半徑的圓。

⑵和已知線段兩個端點的距離相等的點的軌跡，是線段的垂直平分線。

⑶到已知角的兩邊距離相等的點的軌跡，是這個角的平分線

⑷到直線L的距離等于定長d的點的軌跡，是平行于這條直線并且到這條直線的距離等于定長的兩條直線

⑸到兩條平行線距離相等的點的軌跡，是和這兩條平行線平行且距離相等的一條直線

34、垂直于圓的直徑

⑴圓是軸對稱圖形，經(jīng)過圓心的每一條直線都是它的對稱軸

⑵垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧

⑶垂經(jīng)定理推論

推論1

①平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧

②弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧

③平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧

推論2： 圓的兩條平行弦所夾的弧相等

35、圓心角、弧、弦、弦心距之間關系

⑴圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形

①圓心角：頂點在圓心的角

②圓心角的度數(shù)和它所對的弧的度數(shù)相等

③弦心距：圓心到弦的距離

⑵定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦的弦心距相等

推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等

36、圓周角：⑴定義：頂點在圓上，并且兩邊和圓相交的角

⑵定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半

推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等

推論2：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑

推論3：如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形

37、圓與三角形：

⑴與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，三角形的內(nèi)切圓圓心叫三角形的內(nèi)心，這個三角形叫外切三角形；三角形的內(nèi)心就是三角形三條內(nèi)角平分線的交點。

⑵過三角形的三個頂點的圓叫三角形的外接圓，外接圓圓心叫三角形的外心，三角形的外心是三角形三邊中垂線的交點。

⑶不在同一直線上的三個點確定一個圓

38、圓的內(nèi)接四邊形

定理：圓的內(nèi)接四邊形的對角互補，并且任何一個外角都等于它的內(nèi)對角

39、直線和圓的關系

⑴直線于圓相交（割線）、相切（切線）、相離（略）

⑵切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線

⑶切線的性質定理：圓的切線垂直于過切點的半徑

推論1，經(jīng)過圓心且垂直于切線的直徑必經(jīng)過切點

推論2，經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心

⑷三角形的內(nèi)切圓（內(nèi)心，圓的外切三角形）

⑸切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角

推論：圓外切四邊形的兩組對邊的和相等

⑹弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角。

推論：如果兩個弦切角所夾的弧相等，那么這兩個弦切角也相等。

（弦切角：一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角）

40、和圓相交的比例線段

⑴相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等。

推論：如果弦與直徑相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項

⑵切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項

推論：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等

41、圓和圓的位置

⑴位置：相切（外切和內(nèi)切）、相交、相離（外離、內(nèi)含）

⑵如果兩個圓相切，那么切點一定在連心線上

⑶定理：相交兩圓的連心線，垂直平分兩圓的公共弦

⑷兩圓的公切線：外公切線，內(nèi)公切線（略）

42、定理：任何正多邊形都有一個外接圓和一個內(nèi)切圓，這兩個圓是同心圓

43、定理：正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成2n個全等的直角三角形

44、⑴圓周長：C=2πR

⑵弧長： L=nπR÷180 （n為圓心角度數(shù)）

⑶圓面積：S=πR2

⑷扇形面積：S扇形=nπR2÷360=LR÷2 （L為弧長）

45、圓錐的側面積和片面積:

⑴母線：把圓錐底面周長上恣意一點與圓錐頂點的連線。

⑵圓錐的高：連結頂點與底面圓心的線段。

⑶側面積：S=πra （r為底面半徑；a為母線長）

46、作圓的輔助線的幾種方法：

⑴作垂直于弦的直徑

⑵添加輔助線，構成直徑上的圓周角（直角）

⑶作過切點的半徑

⑷兩圓相切時，作公切線

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