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乘法公式

 小青蟲飛呀飛 2011-01-12
乘法公式
──平方差公式
湖北省襄樊市襄陽區(qū)城關(guān)一中 朱小平 湖北省襄樊市襄陽區(qū)教研室 趙素芬 湖北省襄樊市教學研究室 吳明龍

  一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

 

  【內(nèi)容】 八年級上冊第15章第2節(jié)第一課時乘法公式──平方差公式

 

【內(nèi)容解析】“平方差公式”是初中階段學生學習“乘法公式的第一個公式,讓學生了解公式產(chǎn)生的背景,經(jīng)歷公式形成的推導過程,學生從已有的認知出發(fā),在一組多項式乘以多項式的乘法運算中,發(fā)現(xiàn)有特殊形式的多項式相乘,運算結(jié)果特別簡單,從而誘發(fā)學生從中總結(jié)出這種特殊的多項式相乘的特征,初步感受平方差公式;通過數(shù)形結(jié)合驗證平方差公式的合理性,進而確立平方差公式的地位和作用:既為符合公式特征的整式乘法運算帶來簡便,又為后續(xù)學習用公式法分解因式奠定基礎(chǔ);從公式的探究推導活動中,讓學生學會從“特殊”到“一般”的探究方法,為學生以后能主動探究完全平方公式,甚至是立方和、立方差等數(shù)學公式奠定良好的遷移基礎(chǔ).要想熟練而正確的應用公式解決問題,學生必須對公式結(jié)構(gòu)特征進行剖析,在剖析中加深了對公式特征和表達形式的理解與掌握,又為學生學習掌握其他數(shù)學公式提供了學習的模板.因此,“平方差公式”在“乘法公式中具備核心的地位.讓學生體會研究“公式問題”的“基本套路”:從一般問題(整式乘法)中發(fā)現(xiàn)特殊情況(平方差),舉三反一,再考察特殊情況存在的共性及合理性,進而歸納出特殊情況的一般特征,歸納得到公式并用文字、符號表示;能夠辨析公式,明確其結(jié)構(gòu)特征,在實踐中加以應用,舉一反三,體會它存在的必要性和便捷性.同時為學生感悟和體驗數(shù)學思想與方法(歸納、轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合)也搭建了一個不可多得的平臺.

 

基于上述分析,確定本節(jié)的教學重點是;

 

理解并掌握平方差公式及其結(jié)構(gòu)特征;會運用此公式進行計算.

 

二、目標和目標解析

 

【目標】  1、了解平方差公式產(chǎn)生的背景,理解平方差公式的意義,掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特征,并能靈活運用平方差公式解決問題.

 

2、經(jīng)歷平方差公式產(chǎn)生的過程,體驗知識的產(chǎn)生與發(fā)展,感受利用歸納、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學思想方法解決數(shù)學問題的策略,培養(yǎng)學生觀察、歸納、概括的能力.

 

3、在探索平方差公式的過程和在解決問題過程中學會與他人合作交流.在公式的學習及運用中積累解題的經(jīng)驗、體驗成功的喜悅,提高學生學習數(shù)學的興趣.

 

  【目標解析】學生經(jīng)歷公式的形成過程:從“特例──一般”用“歸納──猜想──驗證──數(shù)學符號”表示等過程,進一步發(fā)展學生的符號感、培養(yǎng)他們的合情推理和歸納的能力;讓學生能理解公式中a 、b 各代表什么,能夠分析、運用平方差公式的結(jié)構(gòu)特征解決問題;讓學生在經(jīng)歷從具體到抽象,從一般到特殊中,尋找規(guī)律,自我歸納,明確解決同類問題的基本套路,積累數(shù)學活動的經(jīng)驗,感受“平方差公式”的魅力,提高數(shù)學學習的興趣;在自主探究、合作交流的過程中體驗學習的快樂和幸福,從而能主動地去理解數(shù)學、感悟數(shù)學的精神.

 

三、教學問題診斷分析

 

學生的認知基礎(chǔ)有:第一、七年級學生已有用字母表示數(shù)的基礎(chǔ).第二、學生已學習了多項式的乘法,但本節(jié)課所給特殊形式的多項式相乘,主要體現(xiàn)在結(jié)構(gòu)特征的特殊性上,而這種特殊形式又靈活多樣,學生常常在字母表示的廣泛含義上不易掌握(如字母表示負數(shù),多項式等),在平方差公式的靈活運用時常發(fā)生多種錯誤,如:① 符號錯誤(-5a- 3)(+5a-3=25a2-9 ② 系數(shù)不平方(2a-1)(2a+1=2a2-1 ③ 不能運用公式的而運用公式(a+0.5b)(b-0.5 a=a2-0.25b2,其原因就是只了解公式(a+b)(a-b=a2-b2的表面形式,而未真正掌握平方差公式的本質(zhì)特征.

 

鑒于此,本節(jié)的教學難點是:

 

理解乘法公式的結(jié)構(gòu)特征及幾何意義,并能靈活運用平方差公式.

 

  四、教學支持條件分析

 

  利用多媒體展示教學的部分環(huán)節(jié),如創(chuàng)設(shè)情景、公式的幾何意義等,從而支持課堂教學,突出重點,突破難點.

 

  五、教學過程設(shè)計

 

 ?。ㄒ唬﹦?chuàng)設(shè)情境,快樂起航

 

從前,有一個狡猾的莊園主,把一塊邊長為a米的正方形土地租給張老漢種植.第二年,他對張老漢說:“我把這塊地的一邊減少5米,相鄰的另一邊增加5米,繼續(xù)租給你,租金不變,你也沒有吃虧,你看如何?”張老漢一聽,覺得好像沒有吃虧,就答應道:“好吧”.回到家中,他把這事和鄰居們一講,大家都說:“張老漢,你吃虧了!”張老漢非常吃驚.你知道張老漢是否吃虧了嗎?學習了本節(jié)課的知識,你將能輕松地解決.

 

  [設(shè)計意圖]從生活中的實例引入,一是激發(fā)學生求知興趣;二是為說明平方差公式的幾何意義做好鋪墊.

 

 ?。ǘ┳灾魈剿?,獲取新知 

 

  問題1:利用多項式的乘法法則,計算下面各.再觀察、分析這組題目左邊的算式和右邊的結(jié)果,你能從中發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?(小組討論)

 

           1)(a+b(m+n)=am+an+bm+bn          (4)a+5)(a-5

 

            (2)(x+3)(y+4)=xy+4x+3y+12           5(p+q) (p-q)

 

            (3)(y+3)(y-2)=y2+y-6                6)(2x+1)(2x-1

 

  問題2:通過這些題目的計算,你發(fā)現(xiàn)了什么?

 

(視學生活動情況,可預設(shè)以下兩個追問)

 

 ?。ㄗ穯?span>1):(4)(5)(6)題在形式和結(jié)果上與其它各題有什么區(qū)別?

 

  (追問2):觀察、分析(4)(5)(6)左邊的算式和右邊的結(jié)果,你能從中發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?(小組討論)

 

4)(a+5)(a-5  =  a2-5a+5a -52     =  a2 - 52           

 

5(p+q) (p-q)   =  p2-pq+pq-q2      =   p2 - q2

 

6)(2x+1)(2x-1=2x22x+2x-12   = 2x2-12

 

  發(fā)現(xiàn):【左邊】 兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積   【右邊】這兩個數(shù)的平方差  

 

  猜想:(a+b)(a-b=? 

 

  [設(shè)計意圖]   在教學中以一組相關(guān)聯(lián)但又有區(qū)別的題目為載體,學生通過計算,觀察每個算式的特點、結(jié)果的特點,挖掘題目間的共性,發(fā)現(xiàn)規(guī)律,舉三反一,猜想公式,讓學生經(jīng)歷從一般到特殊,從具體到抽象的過程,體會歸納這一數(shù)學思想方法.

 

  問題3:你能通過計算(a+b)(a-b),說明猜想的合理性嗎?                      

 

         a+b)(a-b=a2-ab+ ab-b2 =a2-b2       

 

  歸納平方差公式:(a+b)(a-b= a2-b2,即:兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積等于這兩個數(shù)的平方差.

 

  [設(shè)計意圖]通過多項式的乘法法則踐行猜想,讓感知得到到理性的檢驗,體現(xiàn)數(shù)學學科思維的嚴謹,讓合情推理與演繹推理完美并進,進而準確的用數(shù)學語言表述公式.

 

 ?。ㄈ┢饰龉?,揭示本質(zhì)

 

  問題4:你能揭示公式的結(jié)構(gòu)特征嗎?(學生先自主辨析,再交流互補,不但完善)

 

左邊                右邊                

 

結(jié)構(gòu)特征  a+b)(a-b   =     a2   -  b2

 

                 相同項   相反項      相同項2相反項2

 

                [aa]   [b-b]

 

  [設(shè)計意圖]揭示公式的結(jié)構(gòu)特征,是學生理解公式、進而靈活運用公式解決問題的前提條件.讓學生自主辨析、合作交流、共同總結(jié)得以明晰,既體現(xiàn)了學生學習的主動性,又為學生學習公式進行了學法指導,可謂“一箭雙雕”.

 

(四)數(shù)形結(jié)合,幾何說理

 

問題5:現(xiàn)在,你知道張老漢是否吃虧了嗎?吃虧了多少?

 

  追問:如果將張老漢所租的正方形土地的一邊減少b米,相鄰另一邊增加b米, 現(xiàn)在的土地面積是多少?原來的土地面積是多少?兩者相比,發(fā)生了怎樣的變化?請你將圖(1)重新拼圖,驗證結(jié)論的正確性.它說明了什么公式?   

    

  [設(shè)計意圖]使學生直觀地經(jīng)歷變化的過程,從數(shù)形結(jié)合的角度加深對公式的理解.

 

(五)鞏固運用,內(nèi)化新知 

 

開心一試 真我巧變

 

1.你能用□和○分別代表ab來表示平方差公式嗎?

 

 (+)(□-○) =2-○2

 

2.請你根據(jù)等式在□和○里填數(shù)或式

 

如( 2a +⑤)(2a -⑤)=2a2-2

 

教師可根據(jù)學生的回答,補充多項式的形式.

 

  小結(jié):其中□(即a)和○(即b)可以表示數(shù),單項式或多項式.

 

  [設(shè)計意圖] 這道開放題的設(shè)計,以剖析a、b的廣泛含義為目的,對于認清公式的結(jié)構(gòu)特征起到事半功倍的作用,在后面公式的運用中相信學生會更加得心應手.

 

鋒芒畢露  模擬演練  

 

  3.填一填  

 

[設(shè)計意圖] 設(shè)計此題旨在將算式中的各項與公式里的ab進行對照,進一步體會字母a、b的含義,舉一反三,加深對字母含義廣泛性的理解.

 

   你挑我選  慧眼識珠

 

  4.判斷對錯,如果有錯,如何改正?(大組競賽)

 

(1)x-2)(x+2=x2-2             ( ) (2)2a+5)(2a-5=2a2-25  ( )

 

(3)-1+3m)(1+3m=1-9m2         ( ) (4)a+b)(b-a=a2-b2     ( )

 

(5)1/3-4xy(1/3+4xy)=1/9-16x2y2( ) (6)4x+3b)(4x-3b=16x2-9( )

 

  [設(shè)計意圖] 對學生常出現(xiàn)的錯誤,進行預設(shè),防微杜漸.

 

  例 題:計算

 

110298     2)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5  

 

大顯身手  巧用善用 

 

  5.計算

 

(1)5149        (2)3x+4)(3x4)-(x+3)(x2

 

  [設(shè)計意圖] 通過轉(zhuǎn)化,利用公式計算,體會平方差公式的便捷.

 

爭我風采  易如反掌    

 

6.變式練習

 

  (1)填空: ① (-m+___)(n+____)=n2-m2

 

      ?、?寫出與(-a+b)相乘能用平方差公式的因式___________________

 

       ③(5a+b+3c)(5a+b-3c)=A2-B2,A=_______B=______.

 

  (2)計算:  (x+y)(x-y)(x2+y2),并根據(jù)此題自編一道類似的題,同桌交換做一做.

 

 ?。?span>320082-20092007

 

[設(shè)計意圖] 通過變式訓練,讓學生學會逆向思維和發(fā)散思維,從而加強學生對公式結(jié)構(gòu)特征的理解,連續(xù)使用平方差公式是對公式應用的拓展與提高.

 

 ?。┬〗Y(jié)梳理,布置作業(yè) 

 

1.小結(jié)

 

1)本節(jié)課你學到了什么數(shù)學知識?

 

a+b)(a-b=a2-b2 

 

 ?。?span>2)平方差公式的結(jié)構(gòu)特征是什么?

 

左邊:兩個因式中一定有相同項和相反項

 

右邊:相同項的平方減去相反項的平方.

 

 ?。?span>3)本節(jié)課你感悟到哪些數(shù)學思想方法?(轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合)

 

  2.作業(yè)

 

 ?。?span>1)課內(nèi)作業(yè) 

 

①、P156  T1

 

②、先化簡,再求值    x(x+2)-(x+1)(x-1),其中x=1/2

 

 ?。?span>2)課外探究

 

從邊長為a的大正方形紙板中,挖去一個邊長為b的小正方形后,將其裁成四個相同的等腰梯形,再拼成一個平行四邊形.如圖所示,那么通過計算平行四邊形的面積,可以驗證公式     ________

   

[設(shè)計意圖] 數(shù)形結(jié)合,從幾何意義上理解代數(shù)公式,多方位的去理解新知、運用新知,加深學生對平方差公式的理解.

 

六、目標檢測設(shè)計

 

(一)選擇題

 

1、下列各式計算中,結(jié)果正確的是( 

 

A、(x-3)(x+3=x2-6     B、(x+5)(3x-5=3x2-25

 

C、(-x-y)(x+y=x2-y2   D、(2ab-c)(c+2ab=4a2b2-c2

 

2、下列各式相乘,能用平方差公式計算的是( 

 

1)(2a-3b)(3b-2a     2)(-2a+3b)(-2a-3b   

 

3)(2a+3b)(-2a-3b    4)(2a+3b+c)(2a+3b-c

 

A、1       B2        C、3         D、4

 

()計算

 

1)(-3x+2)(-3x-2           2)(4x-3)(4x+3-x-2(2-x)

 

(三)填一填

 

1)(-x+__(___-2y)= x2-4y2   2(-6m+___)(2n+___)=4n2-36m2

 

(四)小強去商店買了9.8千克的食品,每千克10.2元,售貨員正準備拿計算器計算,小強卻一口說出了答案,你能像小強那樣快速算出答案嗎?

 

[設(shè)計意圖]設(shè)計不同形式的問題,考察學生對平方差公式的理解與應用.對學生的學習效果進行檢測,給學生自我評價的機會,對“教”與“學”及時反饋.師生一起查漏補缺,揚長避短,自我完善.

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