阿基米德
古希臘物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家，靜力學(xué)和流體動(dòng)力學(xué)的奠基人。 公元前287年，阿基米德出生于西西里島的敘拉古（今天意大利的錫拉庫(kù)薩）。他的父親是天文學(xué)家和數(shù)學(xué)家。他11歲時(shí)被送到古希臘世界文化中心亞歷山大里亞城學(xué)習(xí)，期間對(duì)數(shù)學(xué)、天文和力學(xué)表現(xiàn)出了濃厚的興趣。他在學(xué)習(xí)天文學(xué)時(shí)，發(fā)明了用水力推動(dòng)的星球儀，并用他模擬太陽(yáng)、行星和月亮的運(yùn)行及表演日食和月食現(xiàn)象。為解決用尼羅河水灌溉土地的難題，他發(fā)明了圓筒狀的螺旋揚(yáng)水器。后人稱之為“阿基米德螺旋”。公元前240年，他回到敘拉古后，當(dāng)了國(guó)王亥厄洛的顧問(wèn)，幫助國(guó)王解決生產(chǎn)實(shí)踐、軍事技術(shù)和日常生活中的各種科學(xué)技術(shù)問(wèn)題。傳說(shuō)他晚年所發(fā)明的作戰(zhàn)機(jī)械把羅馬入侵者阻止于敘拉古城外長(zhǎng)達(dá)數(shù)年。另一難以置信的傳說(shuō)是，他曾讓許多人手執(zhí)凹面鏡會(huì)聚陽(yáng)光，燒毀了羅馬軍隊(duì)的木制戰(zhàn)艦。公元前212年，敘拉古城失陷，正在聚精會(huì)神地研究科學(xué)問(wèn)題的阿基米德，不幸被蠻橫的羅馬士兵殺害。 阿基米德的主要科學(xué)貢獻(xiàn)是： 1、系統(tǒng)總結(jié)并嚴(yán)格證明了杠桿原理，為靜力學(xué)奠定了基礎(chǔ)。在總結(jié)前人經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，阿基米德系統(tǒng)地研究了物體的重心和杠桿原理，提出了精確地確定物體重心的方法，指出物體在重心處支撐起來(lái)，就能保持平衡。在《論平面圖形的平衡》一書(shū)中，進(jìn)一步確定了各種平面圖形的重心，并對(duì)杠桿平衡條件做了嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明，得出重物的重量和它們離支點(diǎn)的距離成反比的杠桿定律。運(yùn)用這個(gè)定律，阿基米德設(shè)計(jì)過(guò)杠桿滑輪系統(tǒng)，創(chuàng)造了用小力把大船拉到水里的奇跡。為了說(shuō)明杠桿原理的威力，他曾說(shuō)過(guò)，“假如給我一個(gè)支點(diǎn)，我就能推動(dòng)地球”。 2、發(fā)現(xiàn)了浮力定律，從而奠定了流體靜力學(xué)的基礎(chǔ)。傳說(shuō)亥厄洛王召見(jiàn)了阿基米德，讓他鑒定純金王冠是否摻假。他冥思苦想多日，也沒(méi)有想出好辦法。當(dāng)他一天跨進(jìn)澡盆洗澡時(shí)，看到了水面的上升和腳的減輕。他由此得到啟示，作出了關(guān)于浮體問(wèn)題的重大發(fā)現(xiàn)，并通過(guò)王冠排出的水量解決了國(guó)王的疑問(wèn)，在著名的《論浮體》一書(shū)中，他詳細(xì)闡述了這個(gè)發(fā)現(xiàn)，總結(jié)出了著名的阿基米德原理：放在液體中的物體受到的向上的浮力，其大小等于物體所排開(kāi)的液體的重量，從而使人們對(duì)物體的沉浮有了科學(xué)的認(rèn)識(shí)。 3、確定了各種幾何圖形的面積和物體的表面積、體積的計(jì)算方法，創(chuàng)立了“窮竭法”。他精通幾何學(xué)，先后發(fā)現(xiàn)了幾十條定理。他提出了計(jì)算圓的周長(zhǎng)、面積及扇形面積的準(zhǔn)確公式，用圓內(nèi)接多邊形和外切多邊形邊數(shù)增多來(lái)逼進(jìn)圓的周長(zhǎng)，并算出π的值在3又10/71到3又1/7之間。在《論拋物線的求積法》、《論球和圓柱》等著作中，阿基米德計(jì)算了拋物線弓形面積和球、橢球、旋轉(zhuǎn)拋物體等的表面積和體積，進(jìn)一步發(fā)展了“窮竭法”，這是現(xiàn)代微積分方法的先導(dǎo)。 和他的前輩及同時(shí)代的一些學(xué)者相比，阿基米德的學(xué)術(shù)活動(dòng)有一個(gè)顯著的特點(diǎn)，那就是既重視科學(xué)的嚴(yán)密性、準(zhǔn)確性，要求對(duì)每一個(gè)問(wèn)題都進(jìn)行精確的、合乎邏輯的證明；又非常注意科學(xué)知識(shí)的實(shí)際應(yīng)用，親自設(shè)計(jì)制造過(guò)多種機(jī)械裝置和建筑物，開(kāi)創(chuàng)了理論研究和實(shí)際應(yīng)用密切結(jié)合的學(xué)風(fēng)。 近代數(shù)學(xué)史家倍爾（Eric Temple Bell,1883——1960年）曾說(shuō)過(guò)："任何一張關(guān)于有史以來(lái)最偉大的數(shù)學(xué)家的名單中，必定會(huì)包括阿基米德。另外兩個(gè)通常是牛頓和高斯。不過(guò)，以他們的豐功偉績(jī)和所處的時(shí)代背景來(lái)對(duì)比，拿他們影響當(dāng)代和后世的深邃久遠(yuǎn)來(lái)比較，還應(yīng)首推阿基米德。" A·艾鮑博士在《早期數(shù)學(xué)史選篇》中所說(shuō)的：如果說(shuō)歐幾里德《幾何原本》是前人工作的匯編的話，那么，阿基米德的每一篇論文都為數(shù)學(xué)知識(shí)寶庫(kù)作出了嶄新的貢獻(xiàn)。 阿基米德用杠桿原理研究拋物線旋轉(zhuǎn)體的體積 現(xiàn)在有一個(gè)拋物線 x=y2，繞著 x 軸旋轉(zhuǎn)，如下圖：
阿基米德推測(cè)這個(gè)拋物線旋轉(zhuǎn)體體積的方法如下。他用一個(gè)垂直于 x 軸的平面和這個(gè)旋轉(zhuǎn)體相交，每一個(gè)橫截面都是一個(gè)圓；他把這些圓的面積通通湊起來(lái)，就得到了旋轉(zhuǎn)體的體積。
那么這個(gè)圓柱體的底部半徑是2，高是4。如圖取一個(gè)平面垂直于 x 軸，這個(gè)平面在這兩個(gè)旋轉(zhuǎn)體的橫截面都是圓。如果這個(gè)平面在 OU 線段之上變動(dòng)。我們就得到所有可能的橫截面。
如果把原點(diǎn)想象成杠桿的支點(diǎn)，x 軸想象成杠桿，把圓柱體橫截面留在原來(lái)的位置。把拋物線旋轉(zhuǎn)體的橫截面搬到支點(diǎn)左側(cè)距離 4 的位置，根據(jù)杠桿原理，可以得到一個(gè)平衡的狀態(tài)。如果對(duì)于每一個(gè)橫截面都這么做，那么杠桿左邊相當(dāng)于一個(gè)質(zhì)量
杠桿右側(cè)則相當(dāng)于在支點(diǎn)右側(cè)距離 2 的位置擺上一個(gè)質(zhì)量 阿基米德用杠桿原理得到球的體積公式 上述對(duì)球體面積和體積公式中，一個(gè)令人非常疑惑的問(wèn)題是，阿基米德是怎樣發(fā)現(xiàn)這樣的公式的？因?yàn)椴](méi)有任何直觀的證據(jù)可以表明這種公式的存在。球的面積是其大圓面積的4倍，為何是4，而不是4.01或其他？球的體積與其外接圓柱的體積之比為2：3，阿基米德是如何發(fā)現(xiàn)這樣的數(shù)值的？ 其實(shí)，秘密在于阿基米德同時(shí)也是杠桿原理的發(fā)現(xiàn)者，而且這個(gè)原理在阿基米德的頭腦中有著神奇的用途。阿基米德是利用杠桿原理“稱”出了球體積公式。
在離支點(diǎn)x處切一鉛直狹條，寬度記為Δx。旋轉(zhuǎn)后得到的是厚為Δx的圓盤。這些薄片體積的近似值分別是： 球部分：πx(2r-x) Δx， 圓柱部分：πr2Δx， 圓錐部分：πx2Δx。 阿基米德將從球和圓錐割出的兩個(gè)薄片吊在端點(diǎn)T，它們的合力矩（重力×重力臂）為 這正好是圓柱部分薄片吊在原處力矩x·πr2Δx的4倍。 把從N到T所有割出的薄片加在一起，將球和圓錐用繩子吊在S點(diǎn)，其力臂是2r，把圓柱的重心吊在O點(diǎn)，它的力臂是r。它們的力矩也應(yīng)滿足4倍關(guān)系，即球和圓錐吊在S點(diǎn)與4個(gè)圓柱吊在O點(diǎn)杠桿平衡，于是 2r(球體積+圓錐體積)=4r(圓柱體積)。 已知 圓錐體積= 圓柱體積=2πr3， 代入后立得 球體積= 由此公式可得球體積是它的外切正圓柱體積的 這便是阿基米德對(duì)杠桿原理的妙用。 |
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來(lái)自： 天成98 > 《數(shù)學(xué)》
軸，PS 繞著 x 軸旋轉(zhuǎn)可以得到一個(gè)圓柱體。
的鉛球（如下圖），V1 是拋物線旋轉(zhuǎn)體的體積，ρ 是密度。
的小鉛球，其中 V2，是圓柱體的體積。那么，根據(jù)杠桿原理， 
，也就是說(shuō)，
。拋物線旋轉(zhuǎn)體的體積是等底等高的圓柱體體積的一半。
用一根長(zhǎng)為球直徑2倍的長(zhǎng)桿，即為4r的桿，確定一個(gè)支點(diǎn)N。將桿的中點(diǎn)支于支點(diǎn)。兩端點(diǎn)設(shè)為S、T。NT的中點(diǎn)為O。以O(shè)為心，以球半徑r為半徑畫(huà)圓，并畫(huà)圓的外切正方形及等腰三角形NBC，使∠CNT=∠BNT=45°。這圖形繞ST旋轉(zhuǎn)得到球、圓柱和圓錐。
