在沒有以直觀的和經(jīng)驗的方式獲得某些知識之前，在沒有預(yù)先了解、熟悉以及駕駛過飛機之前，人們就能理解原理及其過程，這是罕見的。

在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，這種討論如果以一種非數(shù)學(xué)的方式進行的話，限制將更為苛刻。討論必然會顯示出某些不良的特性，得到的結(jié)果所依據(jù)的材料決不可能充分；相反，面面俱到的膚淺的討論卻不可避免。盡管我甚至意識到，我將要提出的說法有不少短處，但是很抱歉我還是得說下去。此外，我準備表述的觀點，也完全可能不為許多其他數(shù)學(xué)家所贊同。你可能獲得一個人為的不太系統(tǒng)的印象和解釋。我提出的看法，對這些討論究竟有多少價值，也許是很小的。

在我看來，刻畫數(shù)學(xué)特點的最有力的事實，是它和自然科學(xué)的特有聯(lián)系?；蛘吒话愕卣f，它和任何一類比處于純粹描述水準更高級一些的、能對經(jīng)驗作出解釋的科學(xué)的特有聯(lián)系。大多數(shù)數(shù)學(xué)家和非數(shù)學(xué)家將會同意，數(shù)學(xué)不是一門經(jīng)驗科學(xué)，或者至少可以說它不是以某種來自經(jīng)驗科學(xué)技術(shù)的方法實現(xiàn)的，但是它的發(fā)展和自然科學(xué)卻緊密相聯(lián)。它的一個主要分支幾何學(xué)，實際上起源于自然科學(xué)、經(jīng)驗科學(xué)。某些現(xiàn)代科學(xué)中最大的靈感（我認為是最大的）清楚地來源于自然科學(xué)，數(shù)學(xué)方法滲透和支配著自然科學(xué)的許多“理論”分支。在現(xiàn)代經(jīng)驗科學(xué)中，能否接受數(shù)學(xué)方法或與數(shù)學(xué)相近的物理學(xué)方法，已愈來愈成為該學(xué)科成功與否的主要標(biāo)準。確實，整個自然科學(xué)一系列不可割斷的相繼現(xiàn)象的鏈，它們都被打上數(shù)學(xué)的標(biāo)志，幾乎和科學(xué)進步的理念是一致的，這也變得越來越明顯了。生物學(xué)變得更受到化學(xué)和物理滲透，這些化學(xué)是實驗和理論的物理，而物理是形式甚為數(shù)學(xué)化的理論物理。

有一個甚為特殊的數(shù)學(xué)性質(zhì)的兩重性，人們必須理解它，接受它，并且把它吸收到自己正在思考的主題中去。這種兩重性是數(shù)學(xué)的本來面目，我不相信無需犧牲事物的實質(zhì)，就可能簡化和單一化對事物的看法。 

因而我并不試圖為你提供一種單一化的模式，我將盡可能地，描寫數(shù)學(xué)所具有的多重現(xiàn)象。無可否認，在人們能想象的那部分純粹數(shù)學(xué)中，某些最為激動人心的靈感來自自然科學(xué)，我將提及兩個最值得紀念的事實。 

第一個例子是幾何學(xué)。幾何學(xué)是古代數(shù)學(xué)中的一個主要部分，現(xiàn)在仍然是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中幾個主要分支之一。毋庸置疑，它的古代起源是經(jīng)驗的，它開始成為一門學(xué)科并不像當(dāng)今的理論物理。離開這些跡象，就很難說“幾何學(xué)”是什么了，歐氏的公理化處理是幾何學(xué)脫離經(jīng)驗向前跨出一大步的標(biāo)志，但是它全然不能簡單地被看成是決定性的、絕對的、最終的一步。歐氏的公理化在某些方面并不能滿足現(xiàn)代絕對的公理化對嚴格性的要求，當(dāng)然這不是主要的方面。最本質(zhì)的是某些無疑是經(jīng)驗的學(xué)科，如力學(xué)和熱力學(xué)，也或多或少地常常由某些作者提出一些公理化的處理。然而所有這些都很難超出歐幾里得的程序。

盡管自歐幾里得以來，在使幾何學(xué)與經(jīng)驗脫離方面已經(jīng)逐步地取得了進展，但是哪怕在今天，它也沒有變得十分完備。非歐幾何學(xué)的討論提供了這方面的一個好的說明。

廣義相對論的發(fā)現(xiàn)，迫使人們對關(guān)于幾何學(xué)相互關(guān)系的觀點進行修正。這種修正是在全新的背景下進行的。最后，人們就能接觸到一幅完成了的可供比較的圖景。這最后的進展是由這樣一代人完成的，他們看到了歐氏公理方法已被現(xiàn)代公理派邏輯數(shù)學(xué)家處理成為完全非經(jīng)驗的和抽象的。這兩種表面上似乎是沖突的態(tài)度，完美地合并成一種數(shù)學(xué)思想；因此，希爾伯特在公理幾何學(xué)和廣義相對論方面都作出了重要的貢獻。

第二個例子是微積分，或者說是由它生成的數(shù)學(xué)分析。微積分是近代數(shù)學(xué)的最早的成果，它的重要性怎樣評價都不過分。微積分的起源顯然是經(jīng)驗的，開普勒嘗試著做的最早的積分，被叫做小桶的量度——即量度由曲面包圍起來的物體的容積。這是非公理化的，經(jīng)驗的幾何學(xué)，而不是歐幾里得以后的那種幾何學(xué)，開普勒是完全知道這些的。牛頓和萊布尼茲的那些主要成果和主要發(fā)現(xiàn)確實起源于物理學(xué)。牛頓發(fā)明的“流數(shù)”運算，本質(zhì)上是為了力學(xué)。事實上，這兩門學(xué)科，微積分和力學(xué)，是由它們或多或少地結(jié)合在一齊而得到發(fā)展的。

對任何數(shù)學(xué)家來說，很難相信數(shù)學(xué)是一門純粹經(jīng)驗科學(xué)，或者說，所有數(shù)學(xué)概念都起源于經(jīng)驗主體。首先讓我們來考察陳述的第二部分?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)中有各種各樣重要部分，它的經(jīng)驗來源是不可追溯的。代數(shù)符號是為了數(shù)學(xué)本身的使用而發(fā)明的。當(dāng)然也可以合理地斷言：它加強了與經(jīng)驗的聯(lián)系，但是，現(xiàn)代的抽象代數(shù)，已經(jīng)愈來愈朝著與經(jīng)驗很少相聯(lián)的方向發(fā)展。關(guān)于拓撲也可以這樣講。在所有這些領(lǐng)域，數(shù)學(xué)家主觀上的成功標(biāo)準和作用價值，是自身相容、符合美學(xué)和脫離（或幾乎脫離）經(jīng)驗。

在集合論中，這更為明顯，一個無窮的“冪”和“序”，可以是有限數(shù)概念的推廣，但是在他們的無限形式中（特別是“冪”），它們和這個世界很難有任何聯(lián)系。然后在十年之后，有的可能在一個世紀之后，卻變得對物理學(xué)十分有用。它們主要地仍然是在追求象征性的、抽象的、非應(yīng)用的精神。

數(shù)學(xué)概念來源于經(jīng)驗，盡管有時系譜是長遠的曲折的，這種說法是一個適當(dāng)?shù)膶φ胬淼谋平?。真理是太?fù)雜了，以至能容納任何事物，而不是逼近。但是一旦它們被設(shè)想出來后，這個主題開始按它自己特有的活力生長，并且在幾乎完全按美學(xué)動機給出的創(chuàng)造物方面；它將比任何事物，特別是經(jīng)驗科學(xué)來得好。

但是也有一種重大的危險，學(xué)科只沿著遠離根源的流一直持續(xù)展開下去，并且分割成多種沒有意義的分支，學(xué)科將變成一種繁煩的資料堆積。換言之，遠離經(jīng)驗來源，一直處于“抽象的”近親交配之中，一門數(shù)學(xué)學(xué)科將有退化的危險。開始時，風(fēng)格是古典的，當(dāng)它顯示出怪異時，危險就來了。要給出這樣的例子是容易的，它們沿著一些特殊進展進入怪異的，以至高度奇異的狀態(tài)，但是細說這些就太技術(shù)化了。