【讀音】yī cì hán shù
　　【解釋】函數(shù)的基本概念：一般地，在某一變化過程中，有兩個變量x和y，如果給定一個X值，相應(yīng)地就確定了唯一一個Y值與X對應(yīng)，那么我們稱Y是X的函數(shù)（function).其中X是自變量，Y是因變量，也就是說Y是X的函數(shù)。當(dāng)x=a時，函數(shù)的值叫做當(dāng)x=a時的函數(shù)值。

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定義與定義式

　　自變量x和因變量y有如下關(guān)系：
　　y=kx （k為任意不為零實(shí)數(shù)）
　　或y=kx+b （k為任意不為零實(shí)數(shù)，b為任意實(shí)數(shù)）
　　則此時稱y是x的一次函數(shù)。
　　特別的，當(dāng)b=0時，y是x的正比例函數(shù)。正比例是Y=kx+b。
　　即：y=kx （k為任意不為零實(shí)數(shù)）
　　定義域：自變量的取值范圍，自變量的取值應(yīng)使函數(shù)有意義；要與實(shí)際相符合。

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一次函數(shù)的性質(zhì)

　　1.y的變化值與對應(yīng)的x的變化值成正比例，比值為k
　　即：y=kx+b（k≠0) （k不等于0，且k，b為常數(shù)）
　　2.當(dāng)x=0時，b為函數(shù)在y軸上的截距。
　　3.k為一次函數(shù)y=kx+b的斜率,k=tg角1(角1為一次函數(shù)圖象與x軸正方向夾角)
　　形。取。象。交。減
　　4.正比例函數(shù)也是一次函數(shù).
　　5.函數(shù)圖像性質(zhì)：當(dāng)k相同，且b不相等，圖像平行；當(dāng)k不同，且b相等，圖像相交；當(dāng)k，b都相同時，兩條線段重合。

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一次函數(shù)的圖像及性質(zhì)

　　1．作法與圖形：通過如下３個步驟
　?。?）列表[一般取兩個點(diǎn),根據(jù)兩點(diǎn)確定一條直線]；
　?。?）描點(diǎn)；
　　（3）連線，可以作出一次函數(shù)的圖像——一條直線。因此，作一次函數(shù)的圖像只需知道２點(diǎn)，并連成直線即可。（通常找函數(shù)圖像與x軸和y軸的交點(diǎn)）
　　2．性質(zhì)：（1）在一次函數(shù)上的任意一點(diǎn)P（x，y），都滿足等式：y=kx+b(k≠0)。（2）一次函數(shù)與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)總是（0，b)，與x軸總是交于（-b/k，0）正比例函數(shù)的圖像都是過原點(diǎn)。
　　3．函數(shù)不是數(shù)，它是指某一變量過程中兩個變量之間的關(guān)系。
　　4．k，b與函數(shù)圖像所在象限：
　　y=kx時（即b等于0，y與x成正比)
　　當(dāng)k＞0時，直線必通過一、三象限，y隨x的增大而增大；
　　當(dāng)k＜0時，直線必通過二、四象限，y隨x的增大而減小。
　　y=kx+b時：
　　當(dāng) k>0,b>0, 這時此函數(shù)的圖象經(jīng)過一，二，三象限。
　　當(dāng) k>0,b<0, 這時此函數(shù)的圖象經(jīng)過一，三，四象限。
　　當(dāng) k<0,b>0, 這時此函數(shù)的圖象經(jīng)過一，二，四象限。
　　當(dāng) k<0,b<0, 這時此函數(shù)的圖象經(jīng)過二，三，四象限。
　　當(dāng)b＞0時，直線必通過一、二象限；
　　當(dāng)b＜0時，直線必通過三、四象限。
　　特別地，當(dāng)b=0時，直線通過原點(diǎn)O（0，0）表示的是正比例函數(shù)的圖像。
　　這時，當(dāng)k＞0時，直線只通過一、三象限，不會通過二、四象限。當(dāng)k＜0時，直線只通過二、四象限，不會通過一、三象限。
　　4、特殊位置關(guān)系
　　當(dāng)平面直角坐標(biāo)系中兩直線平行時，其函數(shù)解析式中K值（即一次項系數(shù)）相等
　　當(dāng)平面直角坐標(biāo)系中兩直線垂直時，其函數(shù)解析式中K值互為負(fù)倒數(shù)（即兩個K值的乘積為-1）

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確定一次函數(shù)的表達(dá)式

　　已知點(diǎn)A（x1，y1）；B（x2，y2），請確定過點(diǎn)A、B的一次函數(shù)的表達(dá)式。
　?。?）設(shè)一次函數(shù)的表達(dá)式（也叫解析式）為y=kx+b。
　?。?）因?yàn)樵谝淮魏瘮?shù)上的任意一點(diǎn)P（x，y），都滿足等式y(tǒng)=kx+b。所以可以列出2個方程：y1=kx1+b …… ① 和 y2=kx2+b …… ②
　?。?）解這個二元一次方程，得到k，b的值。
　?。?）最后得到一次函數(shù)的表達(dá)式。

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一次函數(shù)在生活中的應(yīng)用

　　1.當(dāng)時間t一定，距離s是速度v的一次函數(shù)。s=vt。
　　2.當(dāng)水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水時間t的一次函數(shù)。設(shè)水池中原有水量S。g=S-ft。

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常用公式

　　1.求函數(shù)圖像的k值：（y1-y2)/(x1-x2)
　　2.求與x軸平行線段的中點(diǎn)：|x1-x2|/2
　　3.求與y軸平行線段的中點(diǎn)：|y1-y2|/2
　　4.求任意線段的長：√(x1-x2)^2+(y1-y2)^2 （注：根號下（x1-x2)與（y1-y2)的平方和）
　　5.求個兩一次函數(shù)式圖像交點(diǎn)坐標(biāo)：解兩函數(shù)式
　　兩個一次函數(shù) y1=k1x+b1 y2=k2x+b2 令y1=y2 得k1x+b1=k2x+b2 將解得的x=x0值代回y1=k1x+b1 y2=k2x+b2 兩式任一式 得到y(tǒng)=y0 則(x0,y0)即為 y1=k1x+b1 與 y2=k2x+b2 交點(diǎn)坐標(biāo)
　　6.求任意2點(diǎn)所連線段的中點(diǎn)坐標(biāo)：[（x1+x2）/2，（y1+y2）/2]
　　7.求任意2點(diǎn)的連線的一次函數(shù)解析式：（X-x1）/(x1-x2)=(Y-y1)/(y1-y2) (其中分母為0，則分子為0)
　　k b
　　+ + 在一象限
　　+ - 在四象限
　　- + 在二象限
　　- - 在三象限
　　8.若兩條直線y1=k1x+b1∥y2=k2x+b2，那么k1=k2，b1≠b2
　　9.如兩條直線y1=k1x+b1⊥y2=k2x+b2，那么k1×k2=-1
　　10.左移X則B+X，右移X則B-X
　　11.上移Y則X項+Y，下移Y則X項-Y
　　(有個規(guī)律.b項的值等于k乘于上移的單位在減去原來的b項。）
　?。ù颂幉蝗?愿有人補(bǔ)充）
　　上移：(a為移動的數(shù)量)Y=k（X+a）+b
　　Y=kX+ak+b
　　下移：(a為移動的數(shù)量)Y=k（X-a）+b
　　Y=kX-ak+b

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應(yīng)用

　　一次函數(shù)y=kx+b的性質(zhì)是：（1）當(dāng)k>0時，y隨x的增大而增大；（2）當(dāng)k<0時，y隨x的增大而減小。利用一次函數(shù)的性質(zhì)可解決下列問題。
　　一、確定字母系數(shù)的取值范圍
　　例1. 已知正比例函數(shù) ，則當(dāng)k<0時，y隨x的增大而減小。
　　解：根據(jù)正比例函數(shù)的定義和性質(zhì)，得 且m<0，即 且 ，所以 。
　　二、比較x值或y值的大小
　　例2. 已知點(diǎn)P1（x1，y1）、P2（x2，y2）是一次函數(shù)y=3x+4的圖象上的兩個點(diǎn)，且y1>y2，則x1與x2的大小關(guān)系是（ ）
　　A. x1>x2 B. x1<x2 C. x1=x2 D.無法確定
　　解：根據(jù)題意，知k=3>0，且y1>y2。根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)“當(dāng)k>0時，y隨x的增大而增大”，得x1>x2。故選A。
　　三、判斷函數(shù)圖象的位置
　　例3. 一次函數(shù)y=kx+b滿足kb>0，且y隨x的增大而減小，則此函數(shù)的圖象不經(jīng)過（ ）
　　A. 第一象限 B. 第二象限
　　C. 第三象限 D. 第四象限
　　解：由kb>0，知k、b同號。因?yàn)閥隨x的增大而減小，所以k<0。所以b<0。故一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過第二、三、四象限，不經(jīng)過第一象限。故選A . 典型例題:
　　例1. 一個彈簧，不掛物體時長12cm,掛上物體后會伸長，伸長的長度與所掛物體的質(zhì)量成正比例.如果掛上3kg物體后，彈簧總長是13.5cm，求彈簧總長是y(cm)與所掛物體質(zhì)量x(kg)之間的函數(shù)關(guān)系式.如果彈簧最大總長為23cm，求自變量x的取值范圍.
　　分析：此題由物理的定性問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)的定量問題，同時也是實(shí)際問題，其核心是彈簧的總長是空載長度與負(fù)載后伸長的長度之和，而自變量的取值范圍則可由最大總長→最大伸長→最大質(zhì)量及實(shí)際的思路來處理.
　　解：由題意設(shè)所求函數(shù)為y=kx+12
　　則13.5=3k+12，得k=0.5
　　∴所求函數(shù)解析式為y=0.5x+12
　　由23=0.5x+12得：x=22
　　∴自變量x的取值范圍是0≤x≤22
　　例2
　　某學(xué)校需刻錄一些電腦光盤，若到電腦公司刻錄，每張需8元，若學(xué)校自刻，除租用刻錄機(jī)120元外，每張還需成本4元，問這些光盤是到電腦公司刻錄，還是學(xué)校自己刻費(fèi)用較??？
　　此題要考慮X的范圍
　　解:設(shè)總費(fèi)用為Y元，刻錄X張
　　電腦公司：Y1=8X
　　學(xué)校 ：Y2=4X+120
　　當(dāng)X=30時，Y1=Y2
　　當(dāng)X>30時，Y1>Y2
　　當(dāng)X<30時，Y1<Y2
　　【考點(diǎn)指要】
　　一次函數(shù)的定義、圖象和性質(zhì)在中考說明中是C級知識點(diǎn)，特別是根據(jù)問題中的條件求函數(shù)解析式和用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式在中考說明中是D級知識點(diǎn).它常與反比例函數(shù)、二次函數(shù)及方程、方程組、不等式綜合在一起，以選擇題、填空題、解答題等題型出現(xiàn)在中考題中，大約占有8分左右.解決這類問題常用到分類討論、數(shù)形結(jié)合、方程和轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法.
　　例2.如果一次函數(shù)y=kx+b中x的取值范圍是-2≤x≤6，相應(yīng)的函數(shù)值的范圍是-11≤y≤9.求此函數(shù)的的解析式。
　　解：（1）若k＞0，則可以列方程組 -2k+b=-11
　　6k+b=9
　　解得k=2.5 b=-6 ，則此時的函數(shù)關(guān)系式為y=2.5x—6
　?。?）若k＜0，則可以列方程組 -2k+b=9
　　6k+b=-11
　　解得k=-2.5 b=4，則此時的函數(shù)解析式為y=-2.5x+4
　　【考點(diǎn)指要】
　　此題主要考察了學(xué)生對函數(shù)性質(zhì)的理解，若k＞0，則y隨x的增大而增大；若k＜0，則y隨x的增大而減小。
　　一次函數(shù)解析式的幾種類型
　?、賏x+by+c=0[一般式]
　?、趛=kx+b[斜截式]
　?。╧為直線斜率，b為直線縱截距，正比例函數(shù)b=0）
　?、踶-y1=k(x-x1)[點(diǎn)斜式]
　?。╧為直線斜率,(x1,y1)為該直線所過的一個點(diǎn)）
　?、埽▂-y1）/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)[兩點(diǎn)式]
　?。ǎ▁1,y1）與（x2,y2）為直線上的兩點(diǎn)）
　?、輝/a-y/b=0[截距式]
　?。╝、b分別為直線在x、y軸上的截距）
　　解析式表達(dá)局限性：
　?、偎钘l件較多（3個）；
　?、?、③不能表達(dá)沒有斜率的直線（平行于x軸的直線）；
　?、軈?shù)較多，計算過于煩瑣；
　?、莶荒鼙磉_(dá)平行于坐標(biāo)軸的直線和過圓點(diǎn)的直線。
　　傾斜角：x軸到直線的角（直線與x軸正方向所成的角）稱為直線的傾斜 角。設(shè)一直線的傾斜角為a，則該直線的斜率k=tg(a)