三、分析學(xué)范疇

1、微積分

 

微積分學(xué)是微分學(xué)和積分學(xué)的統(tǒng)稱，它是研究函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、積分的性質(zhì)和應(yīng)用的一門(mén)數(shù)學(xué)分支學(xué)科。

 

微積分的出現(xiàn)具有劃時(shí)代意義，時(shí)至今日，它不僅成了學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)各個(gè)分支必不可少的基礎(chǔ)，而且是學(xué)習(xí)近代任何一門(mén)自然科學(xué)和工程技術(shù)的必備工具?，F(xiàn)在的微積分學(xué)的教程，通常的講授次序是先極限、再微分、后積分，這與歷史順序正好相反。

 

在微積分歷史中，最初的問(wèn)題是涉及計(jì)算面積、體積和弧長(zhǎng)的。阿基米得(公元前3世紀(jì))的方法最接近于現(xiàn)行的積分法。在17世紀(jì)探索微積分的至少有十幾位大數(shù)學(xué)家和幾十位小數(shù)學(xué)家。牛頓和萊布尼茨分別進(jìn)行了創(chuàng)造性的工作，各自獨(dú)立地跑完了“微積分這場(chǎng)接力賽的最后一棒”。

 

1609年，開(kāi)普勒為了計(jì)算行星運(yùn)動(dòng)第二定律中包含的面積，和在他的論文中討論的酒桶的體積，而借助了某種積分方法。1635年，卡瓦列利發(fā)表了一篇闡述不可分元法的論文，提出卡瓦列利原理，它是計(jì)算面積和體積的有價(jià)值的工具。1650年，沃利斯把卡瓦列利的方法系統(tǒng)化，并作了推廣。

 

微分起源于作曲線的切線和求函數(shù)的極大值或極小值問(wèn)題。雖然可以追溯到古希臘，但是第一個(gè)真正值得注意的先驅(qū)工作，是費(fèi)爾馬1629年陳述的概念。1669年，巴羅對(duì)微分理論作出了重要的貢獻(xiàn)，他用了微分三角形，很接近現(xiàn)代微分法。一般認(rèn)為，他是充分地認(rèn)識(shí)到微分法為積分法的逆運(yùn)算的第一個(gè)人。

 

至此，還有什么要做的呢？首要的是，創(chuàng)造一般的符號(hào)和一整套形式的解析規(guī)則，形成可以應(yīng)用的微積分學(xué)，這項(xiàng)工作是由牛頓和萊布尼茲彼此獨(dú)立地做出的。接著的工作是在可接受的嚴(yán)格的基礎(chǔ)上，重新推導(dǎo)基本理論，這必須等到此課題想到多方面應(yīng)用之后。柯西和他的后繼者們完成了這一工作。

 

牛頓早在1665年才23歲時(shí)，就創(chuàng)造了流數(shù)法(微分學(xué))，并發(fā)展到能求曲線上任意一點(diǎn)的切線和曲率半徑。他的《流數(shù)法》寫(xiě)于1671年，但直到死后9年的1736年才發(fā)表。牛頓考慮了兩種類(lèi)型的問(wèn)題，等價(jià)于現(xiàn)在的微分和解微分方程。他定義了流數(shù)(導(dǎo)數(shù))、極大值、極小值、曲線的切線、曲率、拐點(diǎn)、凸性和凹性，并把它的理論應(yīng)用于許多求積問(wèn)題和曲線的求長(zhǎng)問(wèn)題。

 

牛頓創(chuàng)立的微積分原理是同他的力學(xué)研究分不開(kāi)的，他借此發(fā)現(xiàn)、并研究了力學(xué)三大定律和萬(wàn)有引力定律，1687年出版了名著《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》。這本書(shū)是研究天體力學(xué)的，包括了微積分的一些基本概念和原理。

 

萊布尼茨是在1673年到1676年之間，從幾何學(xué)觀點(diǎn)上獨(dú)立發(fā)現(xiàn)微積分的。1676年，他第一次用長(zhǎng)寫(xiě)字母∫表示積分符號(hào)，象今天這樣寫(xiě)微分和微商。1684年～1686年，他發(fā)表了一系列微積分著作，力圖找到普遍的方法來(lái)解決問(wèn)題。今天課本中的許多微分的基本原則就是他推導(dǎo)出來(lái)的，如求兩個(gè)函數(shù)乘積的n階導(dǎo)數(shù)的法則，現(xiàn)在仍稱作菜布尼茲法則。萊布尼茲的另一最大功績(jī)是創(chuàng)造了反映事物本質(zhì)的數(shù)字符號(hào)，數(shù)學(xué)分析中的基本概念的記號(hào)，例如微分dx，二級(jí)微分dx?，積分∫ydx，導(dǎo)數(shù)dy/dx等都是他提出來(lái)的，并且沿用至今，非常方便。

 

牛頓與萊布尼茨的創(chuàng)造性工作有很大的不同。主要差別是牛頓把x和y的無(wú)窮小增量作為求導(dǎo)數(shù)的手段，當(dāng)增量越來(lái)越小的時(shí)候，導(dǎo)數(shù)實(shí)際上就是增量比的極限，而萊布尼茲卻直接用x和y的無(wú)窮小增量(就是微分)求出它們之間的關(guān)系。

 

這個(gè)差別反映了他們研究方向的不同，在牛頓的物理學(xué)方向中，速度之類(lèi)是中心概念；而在萊布尼茲的幾何學(xué)方向中，卻著眼于面積體積的計(jì)算。其它差別是，牛頓自由地用級(jí)數(shù)表示函數(shù)，采用經(jīng)驗(yàn)的、具體和謹(jǐn)慎的工作方式，認(rèn)為用什么記號(hào)無(wú)關(guān)緊要；而萊布尼茲則寧愿用有限的形式來(lái)表示函數(shù)，采用富于想象的、喜歡推廣的、大膽的工作方式，花費(fèi)很多時(shí)間來(lái)選擇富有提示性的符號(hào)。

 

    到1700年，現(xiàn)在大學(xué)且學(xué)習(xí)的大部分微積分內(nèi)容已經(jīng)建立起來(lái)。第一部微積分課本出版于1696年，是洛比達(dá)寫(xiě)的。1769年，歐拉論述了二重積分。1773年，拉格朗日考察了三重積分。1837年，波爾查諾給出了級(jí)數(shù)的現(xiàn)代定義。19世紀(jì)分析學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)化，是由柯西奠基的?，F(xiàn)在課本中的極限、連續(xù)性定義、把導(dǎo)數(shù)看作差商的極限、把定積分看做和的權(quán)限等等，實(shí)質(zhì)上都是柯西給出的。進(jìn)一步完成這一工作的是威爾斯特拉斯，他給出了現(xiàn)在使用的精確的極限定義，并同狄德金、康托于19世紀(jì)70年代建立了嚴(yán)格的實(shí)數(shù)理論，使微積分有了堅(jiān)固可靠的邏輯基礎(chǔ)。

　

2、微分方程

 

凡是表示未知函數(shù)和未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以及自變量之間的關(guān)系的方程，就叫做微分方程。如果未知函數(shù)是一元函數(shù)，則稱為常微分方程，如果未知函數(shù)是多元函數(shù)，則稱為偏微分方積。微分方程的基本問(wèn)題是在一定條件下，從所給出的微分方程解出未知函數(shù)。

 

微分方程幾乎是與微積分同時(shí)發(fā)展起來(lái)的，由于它與力學(xué)、物理學(xué)的淵源很深，所以在13世紀(jì)便已自成一門(mén)獨(dú)立的學(xué)科了。兩個(gè)多世紀(jì)來(lái)，這一學(xué)科已發(fā)展得相當(dāng)完善。

 

1676年，萊布尼茲在致牛頓的信中，首先提出了“微分方程”這個(gè)名稱。在他們兩人的著作中，都包含了許多微分方程的實(shí)例。早期的研究側(cè)重于探討各類(lèi)一階方程的解法，并由此導(dǎo)致了方程的分類(lèi)。18世紀(jì)，歐拉解決了全微分方程和“歐拉方程”(一類(lèi)高階變系數(shù)線性微分方程)，提出了通解和特解的概念，指出了n階線性方程通解的結(jié)構(gòu)。其后，泰勒得到了方程的奇解；拉格朗日推導(dǎo)了非齊次線性方程的常數(shù)交易法。

 

對(duì)于微分方程組的研究，始于達(dá)朗貝爾。19世紀(jì)前半葉，柯西開(kāi)始研究解的存在性和唯一性。19世紀(jì)后半葉，數(shù)學(xué)家們開(kāi)始利用群論來(lái)研究微分方程，由此建立連續(xù)群和李群的新理論。龐加萊引入了極限環(huán)的概念，李雅普諾夫引入了微分方程組解的穩(wěn)定性概念。他們的方法都不必直接求解，稱為定性理論。1927年，畢爾霍夫建立了“動(dòng)力系統(tǒng)”的一段定性理論。

 

一階偏微分方程的研究首先是從幾何學(xué)問(wèn)題開(kāi)始的。拉格朗日指出，解一階線性偏微分方程的技巧，在于把它們化為常微分方程。一階非線性偏微分方程的研究，始于歐拉和拉格朗日，蒙日為偏微分方程的幾何理論奠定了基礎(chǔ)。到18世紀(jì)末葉，在引入奇解、通解、全積分、通積分、特積分等概念之后，偏微分方程已形成一門(mén)獨(dú)立的學(xué)科。

 

二階偏微分方程的研究，始于18世紀(jì)的弦振動(dòng)理論。通常見(jiàn)的二階偏微分方程均來(lái)自物理或力學(xué)的實(shí)際問(wèn)題，它們構(gòu)成了這門(mén)學(xué)科中一個(gè)獨(dú)立的系統(tǒng)—數(shù)學(xué)物理方程。

 

積分方程源于阿貝爾1826年的工作，但是直到1888年杜·波阿·雷蒙的著作中，才正式提出了積分方程這個(gè)名詞。1896年開(kāi)始，伏特拉給出了兩類(lèi)積分方程的一般理論；不久，弗雷德荷姆大體上完成了一類(lèi)重要的線性積分方程理論。由于這類(lèi)積分方程常出現(xiàn)在一些物理問(wèn)題中，因此積分方程論常被包含在數(shù)學(xué)物理方程內(nèi)。

 

    現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)，如空間技術(shù)、現(xiàn)代物理學(xué)、力學(xué)等，都有許多問(wèn)題需要用微分方程來(lái)求解，甚至在化學(xué)、生物學(xué)、醫(yī)藥學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等方面，微分方程的應(yīng)用也越來(lái)越多。

　

3、微分幾何

 

微分幾何這門(mén)分支學(xué)科主要研究三維歐氏空間中曲線和曲面的內(nèi)在性質(zhì)，所謂內(nèi)在性質(zhì)就是同幾何對(duì)象在空間中的位置無(wú)關(guān)的性質(zhì)。它以微積分、微分方程這些分支學(xué)科的理論為研究工具?；蚝?jiǎn)單地說(shuō)，微分幾何就是用分析方法研究幾何性質(zhì)。

 

微分幾何的發(fā)端可見(jiàn)于1731年克萊洛的著作中。蒙日1809年的著作包含了這一學(xué)科的雛型；歐拉研究了曲面的一般理論；高斯1827年的《關(guān)于曲面的一般研究》一書(shū)，論述了曲面理論，創(chuàng)立了內(nèi)蘊(yùn)幾何學(xué)，奠定了曲面微分幾何的基礎(chǔ)。1887～1896年，達(dá)布的《曲面一般理論的講義》集曲線和曲面微分幾何之大成。

 

    變換理論對(duì)于微分幾何的影響，產(chǎn)生了射影微分幾何、仿射微分幾何等分支。二十世紀(jì)初，出現(xiàn)了對(duì)非充分光滑曲線和曲面以及曲線曲面的整體問(wèn)題的研究，形成現(xiàn)代微分幾何。1923年，嘉當(dāng)提出了一般聯(lián)絡(luò)的理論。1945年，陳省身建立了代數(shù)拓?fù)浜臀⒎謳缀蔚穆?lián)系，他又是纖維叢概念的創(chuàng)建人之一。

　

4、函數(shù)論

 

函數(shù)論包括復(fù)變函數(shù)論和實(shí)變函數(shù)論，但有時(shí)也單指復(fù)變函數(shù)論(或復(fù)分析)而言。

 

復(fù)數(shù)概念出現(xiàn)于16世紀(jì)，但對(duì)它的全面掌握和廣泛運(yùn)用，卻遲至18世紀(jì)。自變量是復(fù)數(shù)的函數(shù)，叫做復(fù)變函數(shù)。如果復(fù)變函數(shù)在某一區(qū)域內(nèi)除了可能有有限個(gè)例外點(diǎn)之外，處處有導(dǎo)數(shù)，那么這個(gè)伏辯函數(shù)叫做在這個(gè)區(qū)域內(nèi)的解析函數(shù)；例外點(diǎn)叫做奇點(diǎn)。復(fù)變函數(shù)論主要研究解析函數(shù)的性質(zhì)。

 

復(fù)變函數(shù)的研究是從18世紀(jì)開(kāi)始的。30～40年代，歐拉利用冪級(jí)數(shù)詳細(xì)討論了初等復(fù)變函數(shù)的性質(zhì)。達(dá)朗貝爾于1752年得出復(fù)變函數(shù)可微的必要條件(即“柯西—黎曼條件”)。拉普拉斯也考慮過(guò)復(fù)變函數(shù)的積分。

 

復(fù)變函數(shù)的全面發(fā)展是在19世紀(jì)。1825年，柯西討論了虛限定積分，1831年他實(shí)質(zhì)上推出了柯西積分公式，并在此基礎(chǔ)上建立了一整套復(fù)變函數(shù)微分和積分的理論。黎曼1851年的博士論文《復(fù)變函數(shù)論的基礎(chǔ)》，奠定了復(fù)變函數(shù)論的基礎(chǔ)。他推廣了單位解析函數(shù)到多位解析函數(shù)；引入了“黎曼曲面”的重要概念，確立了復(fù)變因數(shù)的幾何理論基礎(chǔ)；證明了保角映射基本定理。威爾斯特拉斯完全擺脫了幾何直觀，以冪級(jí)數(shù)為工具，用嚴(yán)密的純解析推理展開(kāi)了函數(shù)論。定義解析函數(shù)是可以展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)的函數(shù)，圍繞著奇點(diǎn)研究函數(shù)的性質(zhì)。近幾十年來(lái)，復(fù)變函數(shù)論又有很大的推進(jìn)。

 

復(fù)變函數(shù)論是解決工程技術(shù)問(wèn)題的有力工具，飛機(jī)飛行理論、熱運(yùn)動(dòng)理論、流體力學(xué)理論、電場(chǎng)和彈性理論等中的很多問(wèn)題。

 

實(shí)變函數(shù)的發(fā)展較晚，其中積分論是它的重要組成部分。容度和測(cè)度是線段長(zhǎng)度概念的推廣，是為了推廣積分的概念而建立起來(lái)的。1893年，約當(dāng)給出了“約當(dāng)容度”的概念，并用于討論積分。1894年，斯提捷首先推廣了積分概念，得到了“斯提捷積分”。1898年，波萊爾改進(jìn)了容度的概念，他稱之為‘測(cè)度”。下一步?jīng)Q定性的進(jìn)展是1902年勒貝格改進(jìn)了測(cè)度理論，建立了“勒貝格測(cè)度”、“勒貝格積分”等概念。1904年，他完全解決了黎曼可積性的問(wèn)題。后來(lái)，數(shù)學(xué)家們對(duì)積分的概念又作了種種推廣和探索。

 

    實(shí)變函數(shù)的另一個(gè)領(lǐng)域是函數(shù)構(gòu)造論。1885年，威爾斯特拉斯證明：連續(xù)函數(shù)必可表示為一致收斂的多項(xiàng)式級(jí)數(shù)。這一結(jié)果和切比雪夫斯基最佳逼近論，是函數(shù)構(gòu)造論的開(kāi)端。近年來(lái)，這個(gè)方向的研究十分活躍。

　

5、泛函分析

 

本世紀(jì)初，出現(xiàn)了一個(gè)廣闊的新領(lǐng)域——泛函分析，它是古典分析觀點(diǎn)的推廣。近幾十年來(lái)，由于分析學(xué)中許多新分支的形成，從而發(fā)現(xiàn)在代數(shù)、幾何、分析中不同領(lǐng)域之間的某些方面的類(lèi)似。其次，幾何與集合論的結(jié)合產(chǎn)生了抽象空間的理論，將函數(shù)看成函數(shù)空間中的點(diǎn)。再加上實(shí)變函數(shù)論以及近世代數(shù)的感念和方法的影響，就產(chǎn)生了泛畫(huà)分析。它綜合函數(shù)論，幾何和代數(shù)的觀點(diǎn)，研究無(wú)窮維向量空間上的函數(shù)、算子和極限理論。

 

    19世紀(jì)末，弗爾太拉和二十世紀(jì)初阿達(dá)瑪?shù)闹髦幸殉霈F(xiàn)泛函分析的萌芽。隨后希爾伯特、海令哲開(kāi)創(chuàng)了“希爾伯將空間”的研究，黎斯、馮·諾伊曼等人在這方面都有重要的建樹(shù)。