一題多解分數和百分數應用題(2)

山高水長 2007-02-15

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例11 學校里買來100米電線，第一次用去全長的

，第二次用去全長的45％，還剩下電線多少米？

　　【分析1】先求出第一次用去多少米，再求第二次用去多少米，最后從電線全長里分別減去兩次用的電線，即得還剩下電線的長.

　　【解法1】第一次用去電線多少米？

　　100×=40（米）

　　第二次用去電線多少米？

　　100×45％=45（米）

　　還剩下電線多少米？

　　100-40-45=15（米）

　　綜合算式：100-100×-100×45％

　　=100-40-45=15（米）.

　　【分析2】把電線全長看作整體“1”.先求剩下電線的長占全長的幾分之幾，再求剩下的電線長多少米.

　　【解法 2】剩下電線占全長的幾分之幾？

　　1--45％=15％

　　剩下的電線長多少米？

　　100×15％=15（米）

　　綜合算式：100×（1--45％）

　　=100×15％=15（米）.

　　【分析3】先求出第一次和第二次共用去電線多少米，再用電線全長減去兩次用電線和，即得還剩下多少米.

　　【解法3】100-（100×+100×45％）

　　=100-（40+45）

　　=100-85=15（米）.

　　【分析4】先求第一次和第二次共用去全長的幾分之幾，再求剩下全長的幾分之幾，最后求出剩下電線長多少米.

　　【解法4】100×[1-（+45％）]

　　=100×[1-85％]

　　=100×15％=15（米）.

　　【分析5】先求第一次和第二次共用去全長的幾分之幾，再求兩次共用去多少米，最后從電線全長中減去兩次共用的電線長，即得還剩下電線的長.

　　【解法5】100-100×（+45％）

　　=100-100×85％

　　=100-85-15

　　答：還剩下電線15米.

　　【評注】以上五種解法的思路雖不同，但它們是相互轉化，相互聯(lián)系的.解法1和解法2、解法3和解法5可通過乘法分配律相互轉化；解法1和解法3、解法2和解法4都是通過減法性質相互轉化的，其中解法2和解法4是本題較好的解法.

　　例12 自行車廠上半年已經完成全年生產計劃的，照這樣的生產速度，今年可以超產10000輛，這個廠今年上半年生產多少輛自行車？

　　【分析1】先求全年實際生產量占全年計劃生產量的幾分之幾，再求實際產量超過全年計劃的幾分之幾，由此可求全年計劃產量，最后求上半年產量.

　　【解法1】全年實際完成計劃幾分之幾？

　　實際超過全年計劃的幾分之幾？

　　-1=

　　全年計劃生產多少輛？

　　1000÷=40000（輛）

　　今年上半年生產多少輛？

　　40000×=25000（輛）

　　綜合算式：10000×（+-1）×

　　=10000÷×=25000（輛）.

　　【分析 2】把轉化為 5∶8，那么全年計劃產量為8等份，上半年產量為5等份，所以全年實際產量就是10等份，超過計劃2份，由此可求出每份多少輛，再求上半年的5份是多少輛.

　　【解法 2】10000÷（5×2-8）×5

　　=10000÷2×5

　　=5000×5=25000（輛）.

　　【分析3】由分析2進一步分析，10000輛和超產的（5×2-8）份相對應，而上半年產量是5份，可先求上半年產量是超產部分的幾倍，再求上半年的實際產量.

　　【解法 3】10000×[5÷（5×2-8）]

　　=10000×[5÷2]

　　=10000×2.5=25000（輛）.

　　【分析4】由題意可知，上半年和下半年的產量是相同的.所以上半年實際產量比計劃產量超產10000÷2=5000 （輛），它占全年計劃產量的，由此可求全年計劃產量，再求出上半年實際產量.

　　【解法 4】10000÷2÷（）×

　　=10000÷2÷×=25000（輛）

　　【分析5】根據“全年實際產量-全年計劃產量=超產量”這一等量關系列方程解.

　　【解法5】設今年上半年產車x輛.

　　x=10000÷（2-）

　　x=25000

　　【分析6】由分析2繼續(xù)分析，全年實際超產量和上半年實際產量的比，等于它們相對應的份數比，由此列出比例式.

　　【解法6】設今年上半年產車x輛.

　　10000∶x=（5×2-8）∶5

　　10000∶x=2∶5

　　x=10000×5÷2

　　=25000

　　答：這個廠今年上半年生產25000輛自行車.

　　【評注】解法1和解法4是分數應用題的通常解法.解法2和解法3的思路簡單明白，易于理解，并且計算較簡便，是本題較好解法.

　　例13 新風電視機廠，已生產電視機2400臺，比原計劃少.為使產量超過計劃15％，還要生產電視機多少臺？

　　【分析1】先求原計劃生產的臺數，再求共要生產多少臺，最后用共要生產的臺數減去已生產的臺數，即得還要生產的臺數.

　　【解法 1】原計劃生產電視多少臺？

　　2400÷（1-）=3200（臺）

　　實際共要生產電視多少臺？

　　3200×（1+15％）=3200×115％=3680（臺）

　　還要生產多少臺？

　　3680-2400=1280（臺）

　　綜合算式：2400÷（1-）×（1+15％）-2400

　　=2400÷×115％-2400

　　=3680-2400=1280（臺）.

　　【分析2】先求出原計劃生產多少臺，再求還要生產的臺數占原計劃臺數的百分之幾，最后求出還要生產的臺數.

　　【解法 2】原計劃生產電視多少臺？

　　2400÷（1-）=2400×=3200（臺）

　　還要生產原計劃的百分之幾？

　　+15％=40％

　　還要生產多少臺？

　　3200×40％=1280（臺）

　　綜合算式： 2400÷（1-）×（+15％）

　　=2400÷×40％

　　=3200×40％=1280（臺）

　　【分析3】用倍比解法.先求出還要生產的臺數是已生產的幾分之幾，最后再求還要生產多少臺.

　　【解法3】還要生產的是已產的幾分之幾？

　?。?img doc360img-src='http://image.360doc.com/DownloadImg/19650/367297_40.JPG' src="http://pubimage.360doc.com/wz/default.gif" align=absMiddle>+15％）÷（1-）=

　　還要生產多少臺？

　　2400×=1280（臺）

　　綜合算式： 2400×[（+15％）÷（1-）]

　　=2400×[40％÷]

　　=2400×=1280（臺）.

　　【分析4】把轉化為25％，那么題中的兩個分率（25％和15％）的分數單位及標準都是統(tǒng)一的.由題意可知，已生產的2400臺占100-25=75份，還要生產的臺數占25+ 15=40份，由此可先求出每份是多少臺，再求還要生產的40份是多少臺.

　　【解法4】=25％

　　2400÷（100-25）×（25+15）

　　=2400÷75×40=32×40=1280（臺）。

　　答：還要生產電視機1280臺.

　　【評注】解法1和解法2都是先求出標準量（計劃產量），再求還要生產的臺數.這兩種思路最容易想到，也最好理解和掌握，但運算較繁.解法3和解法4不通過求標準量，而另辟思路求出還要生產的臺數.思路直接、簡明，運算簡便，是本題的較好解法.

　　例14 有一批貨物，第一天運走了總數的20％，第二天運走了余下的，第二天比第一天多運走了195噸，這批貨物原有多少噸？

　　【分析1】先求第二天運走這批貨的幾分之幾，再求出第二天運貨與第一天的分率差，即195噸的對應分率.最后求這批貨的原有噸數.

　　【解法1】第二天運走貨物的幾分之幾？

　?。?/font>1-20％）×=50％

　　第一天與第二天相差幾分之幾？

　　50％-20％=30％

　　這批貨物原有多少噸？

　　195÷30％=650（噸）

　　綜合算式： 195÷[（1-20％）×-20％]

　　=195÷[80％×-20％]

　　=195÷30％=650（噸）.

　　【分析2】先求第二天比第一天多運了這批貨的百分之幾，再求這批貨是它的幾倍，最后求出這批貨物的原有噸數.

　　【解法 2】第二天比第一天多運這批貨的幾分之幾？

　　（ 1-20％）×-20％=30％

　　這批貨的總量是兩天運貨相差數的幾倍？

　　1÷30％=（倍）

　　這批貨原有多少噸？

　　195×=650（噸）

　　綜合算式： 195×

　　=195×=195×=650（噸）.

　　【分析 3】先求第二天運貨與第一天運貨的比，再運用歸一解法求出第一天運多少噸，最后求這批貨物原有多少噸.

　　【解法3】第二天與第一天運貨的比？

　?。?/font>1-20％）×∶20％=5∶2

　　第一天運貨物多少噸？

　　195÷（ 5-2）× 2=130（噸）

　　這批貨物原有多少噸？

　　130÷20％=650（噸）

　　【分析 4】根據“第二天運貨量-第一天運貨量=195噸”這一等量關系，列方程解.

　　【解法4】設這批貨物原有x噸.

　?。?/font>1-20％）x×-20％x=195

　　50％x-20％x=195

　　30％x=195

　　x=650

　　答：這批貨物原有650噸.

　　【評注】解法 1是常用解法，易于理解且最容易想到，但計算較繁.解法3的思路簡捷通暢，是本題較好解法.

　　例15 某小學四年級學生有136人，占全校學生總數的，五年級學生是全校學生數的18％，五年級有學生多少人？

　　【分析 1】用四年級的136人除以它的對應分率，即得全校總人數.再乘以五年級人數的對應分率18％，即得五年級有多少人.

　　【解法1】全校有學生多少人？

　　136÷=850（人）

　　五年級有學生多少人？

　　850 ×18％=153（人）

　　綜合算式：136÷×18％=136×=153（人）.

　　【分析2】先求出四年級和五年級的人數比，再運用歸一解法求出五年級的人數.

　　【解法 2】四年級和五年級的人數比？

　　∶18％= 8∶9

　　五年級有學生多少人？

　　136÷ 8 ×9=153（人）

　　綜合算式：136÷（÷18％）=136÷=153（人）.

　　【分析3】用倍比解法.把四年級人數看作“1”倍量，先求出五年級人數是四年級的幾倍，再求出五年級有多少人.

　　【解法3】五年級人數是四年級的幾倍？

　　18％÷=（倍）

　　五年級有學生多少人？

　　136×=153（人）

　　綜合算式： 136×（18％÷）

　　=136×=153（人）.

　　【分析4】根據“四年級和五年級人數分別除以它們的對應分率，都等于全校人數”這一等量關系，列方程解.

　　【解法 4】設五年級有學生x人.

　　136÷=x÷18％

　　850=x÷18％

　　x=850×18％

　　x=153

　　答：五年級有學生153人.

　　【評注】解法 1和解法 3思路簡單明白，易于理解和掌握，運算簡便，是本題較好解法.

　　例16 糧庫有一堆稻谷，第一次運走12噸，第二次比第一次多運走，兩次共運走這堆稻谷的60％，這堆稻谷有多少噸？

　　【分析 1】先求出兩次共運走多少噸，再除以它的對應分率60％，即得這堆稻谷噸數.

　　【解法 1】兩次共運稻谷多少噸？

　　12×（ 1+1+）=27（噸）

　　這堆稻谷共有多少噸？

　　27÷60％=45（噸）

　　綜合算式： 12×（1+1+）÷60％

　　=12×=45（噸）.

　　【分析2】用歸一解法.由題意可知，第一次運的稻谷可分為4等份，第二次運了（4+1）份，由此可求出兩次共運噸數.而兩次運的稻谷又可分為60等份，可先求每份噸數，再求這堆稻谷（100等份）有多少噸.

　　【解法2】 12÷4×（4+4+1）÷60×100

　　=12÷4×9÷60×100=45（噸）.

　　【分析 3】根據“兩次運稻谷噸數和等于稻谷總數的60％”這一等量關系，列方程解，

　　【解法3】設這堆稻谷有x噸.

　　12×（1+1+）=60％x

　　27=x

　　x=45

　　答：這堆稻谷有45噸.

　　【評注】解法 1和解法 3是常用解法，其中解法 1的思路通順，易于理解，是較好解法.

　　例17 水果店花去960元買進香蕉、桃子共1000千克，香蕉斤數是桃子斤數的，桃子單價是香蕉單價的.求香蕉和桃子每千克價各是多少？

（湖北省天門市）

　　【分析 1】用1000千克除以它的對應分率（1+），即得桃子斤數，進一步求出香蕉斤數：600×.因為桃子單價是香蕉單價的，所以600千克桃子的總價相當于（600×）千克香蕉的總價.由此可先求香蕉單價，再求桃子單價.

　　【解法 1】桃子有多少千克？

　　1000÷（1+）=600（千克）

　　香蕉有多少千克？

　　600×=400（千克）

　　600千克桃子的總價相當于多少千克香蕉？

　　600×=400（千克）

　　香蕉單價是多少？

　　960÷（400+400）=1.20（元）

　　桃子單價是多少？

　　1.2×=0.80（元）.

　　【分析 2】運用按比例分配的方法分別求出桃子和香蕉各多少千克，再求出香蕉重量相當于桃子重量.由此可先求出桃子的單價，再求香蕉的單價.

　　【解法2】桃子有多少千克？

　　1000×=600（千克）

　　香蕉有多少千克？

　　1000×=400（千克）

　　400千克香蕉的總價相當于多少千克桃子？

　　400÷=600（千克）

　　桃子的單價是多少？

　　960÷（600+600）=0.80（元）

　　香蕉的單價是多少？

　　0.80÷=1.20（元）

　　【分析 3】因為香蕉的重量是桃子的，而桃子的單價又是香蕉的，所以香蕉和桃子的總價是相等的.由此可先求桃子、香蕉的總價各是多少，再分別求它們的單價.

　　【解法3】香蕉或桃子的總價是多少？

　　960÷2=480（元）

　　桃子有多少千克？

　　1000÷（ 2+3）×3=600（千克）

　　香蕉有多少千克？

　　1000÷（2+3）×2=400（千克）

　　香蕉單價是多少？

　　480÷400=1.20（元）

　　桃子單價是多少？

　　480÷600=0.80（元）

　　綜合算式：桃子： 960÷2÷[1000÷（2+3）×3]

　　=960÷2÷600=0.80（元）

　　香蕉：0.80÷=1.20（元）.

　　答：桃每千克0.80元，香蕉每千克1.20元.

　　【評注】解法1和解法2是以總價為定量，使香蕉和桃子的重量作等價轉換，求出它們的單價，以上這三種解法各有特點，解法1是運用一般的分數應用題的解法，解法2是運用按比例分配的方法，解法3運用的是歸一應用題的解法.其中解法3的思路最簡捷，運算最簡便，是本題的最佳解法.

　　例18 某校圖書室，藏有一批圖書，其中連環(huán)畫比故事書多48本，兩種書被同學們各借走12本后，余下連環(huán)畫本數的等于故事書本數的.圖書室有連環(huán)畫多少本？

　　【分析1】兩種書各借走12本后，仍相差48本.因為余下連環(huán)畫本數的等于余下故事書的，根據比例的基本性質可求出兩種書余下本數的比，從而求出48本對應的份數，進一步求出連環(huán)畫余下本數，再加上借走的本數即得原有本數.

　　【解法1】因為余下連環(huán)畫本數×=余下故事書本數×，所以余下連環(huán)畫本數∶余下故事書本數

　　=∶=7∶5

　　余下連環(huán)畫有多少本？

　　48÷（7-5）×7=168（本）

　　連環(huán)畫原有多少本？

　　168+12=180（本）.

　　【分析2】因為余下連環(huán)畫本數的等于余下故事書的，所以余下故事書的本數恰是3個.把余下連環(huán)畫本數看作標準“1”，求出48本的對應分率，即可求出余下連環(huán)畫的本數，再求連環(huán)畫原有的本數.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　【解法2】余下故事書是余下連環(huán)畫的幾分之幾？

　　×3=

　　余下的連環(huán)畫有多少本？

　　48÷（1-）=168（本）

　　連環(huán)畫原有多少本？

　　168+12=180（本）

　　綜合算式： 48÷（1-×3）+12

　　=48÷+12=168+12=180（本）.

　　【分析3】把余下連環(huán)畫本數的看作標準“1”，那么余下連環(huán)畫的本數是這個標準的倍，余下故事書的本數是這個標準的倍.由此可求出48本的對應倍數（-），再求出1倍是多少本，乘以即得余下連環(huán)畫的本數，最后加上借走的12本，即得連環(huán)畫原有本數.

　　【解法3】48÷（-）×+12

　　=48÷×+12=168+12=180（本）.

　　【分析4】根據分數基本性質把轉化為，那么余下故事書可分為15等份，余下連環(huán)畫可分為21等份，它們相差6份（21-15），由此可求每等份多少本，再求出連環(huán)畫原有本數.

　　【解法4】把和的分子統(tǒng)一，=，并且和表示相同的本數.

　　余下連環(huán)畫和余下故事書相差幾等份？

　　21-15=6（份）

　　余下連環(huán)畫有多少本？

　　48÷6×21=168（本）

　　連環(huán)畫原有多少本？

　　168+12=180（本）.

　　【分析5】根據“余下連環(huán)畫本數的等于余下故事書本數的”這一等量列方程.

　　【解法5】設連環(huán)畫原有x本.

　?。?/font>x-12）×=（x-48-12）×

　　x-12=（x-60）××

　　x-12=-84

　　-x=84-12

　　x-180

　　答：圖書室有連環(huán)畫180本.

　　【評注】解法 1是運用比例基本性質求出兩種書的本數比，進而尋找解題思路；解法3是把兩書相等部分看作“1”，從而找出倍數差，進一步使問題得解；解法4是運用分數基本性質找出兩種書的份數差，使問題得解，解法5是列方程求解.盡管這四種解法的思路靈活、新穎，但運算都較繁；而解法2的思路簡單，運算簡便，是本題最佳解法.

　　例19 有一池水，第一天放出60噸，第二天放出65噸，剩下的水比原來這池水的少5噸，原來水池有多少噸水？

　　【分析 1】從前兩天放水總噸數里減去 5噸，所得的差恰好占原來這池水的（1-），由此可求原來水池有水多少噸.

　　【解法 1】（60+65-5）÷（ 1-）

　　＝120÷=160（噸）.

　　【分析 2】由題意可知，原來水池的水可分為 4等份，前兩天放水的和減去5噸，所得差恰好占3份（4-1）.由此可先求每份的水，再求4份的水，即原水池的水.

　　【解法 2】（60+65-5）÷（4-1）×4

　　=120÷3×4=40×4=160（噸）.

　　【分析3】根據“剩下的水比原來這池水的少5噸”這一等量關系，列方程解.

　　【解法3】設原來水池有水x噸.

　　x-60-65=x-5

　　x-125=x-5

　　x-x=125-5